直线与平面、平面与平面垂直的性质 课件
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直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线 平行 ． (2)图形语言：
a⊥α
(3)符号语言：
b⊥α
⇒a∥b.
(4)作用：
பைடு நூலகம்
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线．
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言： 两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于 交线 的直 线与另一个平面 垂直 ．
[一点通] 已知条件是线面垂直和面面垂直，要 证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平 面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得 到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系 蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面 垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
[例3] (12分)已知：如图，平面 PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC， AE⊥平面PBC，E为垂足．
[例2] 如图所示，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥ 平面PBC. 求证：BC⊥AC.
[思路点拨] 若BC⊥AC，则会有BC⊥平面PAC，故 只要在平面PAC内再找一线与BC垂直即可．由已知平面 PAC⊥平面PBC.故可由两平面垂直的性质在面PAC中作 交线PC的垂线可证．
[精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且 AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴AD⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α⊥β α∩β＝l
a⊂α a⊥l
⇒a⊥β.
(4)作用：
①面面垂直⇒ 线面 垂直；
②作面的垂线．
[例1] 如图所示，正方体 A1B1C1D1—ABCD中，EF与异 面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1.
[思路点拨] 转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥ 平面AB1C.
[精解详析] 连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示． ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.同理 BD1⊥B1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，
(1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证： △ABC是直角三角形．
[思路点拨] 本题主要考查面面垂直的性质的 应用，关键是用好垂直关系．(1)需证PA与平面 ABC内的两条相交直线垂直，可由面面垂直来构 造直线；(2)只需证AB⊥平面PAC即可．
[精解详析] (1)在平面ABC内任取一点D，作
(7分)
(9分)
(11分) (12分)
[一点通] 线线、线面、面面垂直关系的综合应 用主要体现了垂直的转化．
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
[一点通] (1)解决本题的关键是找到同时与EF和BD1垂直的 平面，这要借助于丰富的空间想象能力和对正方体的 全面准确理解． (2)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直 线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定 理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利 用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面
ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
(2分)
∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证，DG⊥PA.
(4分)
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(5分)
(2)连接BE并延长交PC于点H. ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH. 又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE. ∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
a⊥α
(3)符号语言：
b⊥α
⇒a∥b.
(4)作用：
பைடு நூலகம்
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线．
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言： 两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于 交线 的直 线与另一个平面 垂直 ．
[一点通] 已知条件是线面垂直和面面垂直，要 证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平 面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得 到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系 蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面 垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
[例3] (12分)已知：如图，平面 PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC， AE⊥平面PBC，E为垂足．
[例2] 如图所示，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥ 平面PBC. 求证：BC⊥AC.
[思路点拨] 若BC⊥AC，则会有BC⊥平面PAC，故 只要在平面PAC内再找一线与BC垂直即可．由已知平面 PAC⊥平面PBC.故可由两平面垂直的性质在面PAC中作 交线PC的垂线可证．
[精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且 AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴AD⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α⊥β α∩β＝l
a⊂α a⊥l
⇒a⊥β.
(4)作用：
①面面垂直⇒ 线面 垂直；
②作面的垂线．
[例1] 如图所示，正方体 A1B1C1D1—ABCD中，EF与异 面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1.
[思路点拨] 转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥ 平面AB1C.
[精解详析] 连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示． ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.同理 BD1⊥B1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，
(1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证： △ABC是直角三角形．
[思路点拨] 本题主要考查面面垂直的性质的 应用，关键是用好垂直关系．(1)需证PA与平面 ABC内的两条相交直线垂直，可由面面垂直来构 造直线；(2)只需证AB⊥平面PAC即可．
[精解详析] (1)在平面ABC内任取一点D，作
(7分)
(9分)
(11分) (12分)
[一点通] 线线、线面、面面垂直关系的综合应 用主要体现了垂直的转化．
∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
[一点通] (1)解决本题的关键是找到同时与EF和BD1垂直的 平面，这要借助于丰富的空间想象能力和对正方体的 全面准确理解． (2)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直 线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定 理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利 用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面
ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
(2分)
∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证，DG⊥PA.
(4分)
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(5分)
(2)连接BE并延长交PC于点H. ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH. 又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE. ∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．