学案1：10.2 电势差

10.2 电势差
【学习目标】
1．理解电势差的概念，知道电势差与电势零点的选择无关．
2．掌握两点间电势差的表达式，知道两点之间电势差的正负号与这两点的电势高低之间的对应关系．
3．会用U AB ＝φA －φB 及U AB ＝W AB
q
进行有关计算． 【预习导学】 [基础梳理] 一、电势差
1．定义：电场中两点间 的差值．
2．电场中两点间的电势差与零电势点的选择 ．
3．公式U AB ＝φA －φB ，U BA ＝ ，可见U AB ＝ ． 4．电势差是 ，可以是正值，也可以是负值，也叫 ． 5．电势差的单位是 ，符号是 ． 二、静电力做功与电势差的关系
1．公式推导：电荷q 在电场中从A 点移到B 点，由静电力做功与电势能变化的关系可得：W AB ＝E p A －E p B ，由电势能与电势的关系φ＝E p
q 可得E p A ＝qφA ，E p B ＝qφB ．所以W AB ＝q (φA －
φB )＝qU AB ，所以有U AB ＝W AB
q
． 2．公式：U AB ＝W AB
q
．
3．物理意义：电场中A 、B 两点间的电势差等于静电力做的功与电荷量q 的比值． [自我检测] 1.判一判
(1)电势差就是电场中两点间的电势之差．( )
(2)电势差是矢量，有正负之分，电势差的正、负表示两点间电势的高、低．( ) (3)电势和电势差均是描述电场能的性质的物理量，都与零电势点的选取有关，具有相对性．( )
(4)由公式U AB ＝W AB /q 可知，电势差U AB 与电场力做的功W AB 成正比、与电荷的电荷量q 成反比．( )
(5)公式W AB ＝qU AB 适用于任何电场，不必考虑静电力的大小和电荷移动的路径，对于静电力是变力时，也同样适用．( )
2.如图所示，a 、b 是电场线上的两点，将一点电荷q 从a 点移到b 点，电场力做功W ，且知a 、b 间的距离为d ，以下说法中正确的是( )
A ．a 、b 两点间的电势差为W q
B ．a 点的电场强度为E ＝W
qd
C ．b 点的电场强度为E ＝W qd
D ．a 点的电势为W
q
【课堂互动】
知识点一 电势与电势差的关系
1．关于电势差的四点说明
(1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关．在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值． (2)求电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差．A 、B 间的电势差记为U AB ，B 、A 间的电势差记为U BA ．
(3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低． (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关． 2．电势差公式U AB ＝W AB
q
的理解 (1)U AB ＝
W AB
q
中，W AB 为q 从初位置A 移动到末位置B 静电力做的功，W AB 可为正值，也可为负值，q 为电荷所带电荷量，正电荷取正值，负电荷取负值．
(2)公式U AB ＝W AB
q 不能认为U AB 与W AB 成正比、与q 成反比，只是可以利用W AB 、q 来测量A 、
B 两点间的电势差U AB ．
(3)由U AB ＝W AB
q 可以看出，U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时电场力所做的功
W AB ．若移动单位正电荷做正功，U AB 为正值；若移动单位正电荷做负功，则U AB 为负值． (4)公式W AB ＝qU AB 适用于任何电场，U AB 为电场中A 、B 两点间的电势差，W AB 仅是电场力做的功，式中各量均有正负，计算中W 与U 的角标要对应，即：W AB ＝qU AB ，W BA ＝qU BA ． 3．电势差与电势
概念
比较 内容
电势φ
电势差U
区别
定义
电势能与电量的比值φ＝E p
q
电场力做功与电量的比值U ＝W
q
决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定 相对性
有，与电势零点的选取有关
无，与电势零点的选取无关
例1(多选)关于电势差U AB和电势φA、φB的理解，正确的是()
A．U AB＝W AB
q说明，两点间电势差U AB与W AB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．U AB和U BA是不同的，它们有关系：U AB＝－U BA
C．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
D．若φB＝0，则φA＝U AB
[思路点拨] (1)电势差由电场本身决定，与q无关．
(2)U AB＝φA－φB＝－U BA．
命题视角2对电势差的求解
例2在电场中把一个带电荷量为6×10－6 C的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功3×10－5 J，再将电荷从B点移到C点，电场力做功1．2×10－5 J，求：
(1)A与B，B与C两点间电势差；
(2)以B点为零电势点时，A、C两点的电势各为多少？
[方法技巧]
电势差求解技巧
(1)采用直接代入符号运算的方法，会更加便捷，但要注意正负号的运用．
(2)电场中各点间的电势差可依次用代数方法相加，但要注意角标的排序，如U AD＝U AB＋U BC ＋U CD，U AB＝－U BA．
(3)利用U AB的正负能判断电场中两点的电势高低．
[题组突破]
1．对于电场中A、B两点，下列说法中正确的是()
A．电势差的定义式U AB＝W AB
q，说明两点间的电势差U AB与电场力做功W AB成正比，与移
动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移动到B点静电力所做的功
C．将1 C正电荷从A点移动到B点，静电力做功为1 J，这两点间的电势差为1 V
D．电荷由A点移动到B点的过程中，除受静电力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功
2．在电场中A、B两点间的电势差U AB＝75 V，B、C两点间的电势差U BC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为()
A．φA>φB>φC B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
知识点二电荷在电场中的能量问题
1．电荷在电场中运动与力学问题相比，从功的角度看多了一个静电力做功，从能量角度看，多了一个电势能．
2．在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒，有时也会用到功能关系．应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)．应用能量守恒解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化．应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系．
命题视角1电场力做功和电势能变化的关系
例3为了使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线由A点匀速运动到B点，必须对该电荷施加一个恒力F．如图所示，若AB＝0.4 m,θ＝37°,q＝－3．0×10－7 C，F＝1.5×10－4 N，A 点电势φA＝100 V．(不计电荷所受到的重力)
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势；
(2)求q在由A点运动到B点的过程中电势能的改变量是多少？
[思路点拨] (1)根据等势面与电场线垂直画出等势面．
(2)电势能的改变量等于电场力做功．
命题视角2电场中的功能转化关系
例4如图所示，在O点放置一个正电荷．在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q．小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O 为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，
∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h．若小球通过B点的速度为v，试求：
(1)小球通过C点的速度大小；
(2)小球由A到C的过程中电势能的增加量．
[思路点拨] 带正电小球在变力作用下的曲线运动问题，动力学公式无法解决，φB＝φC这一条件提示运用动能定理来求解末速度．
[方法技巧]
电场中的能量转化问题
(1)只有电场力做功：只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能和动能之和保持不变，它们之间的大小关系为：W电＝－ΔE电＝ΔE k．
(2)只有电场力和重力做功：只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能的大小关系为：W电＋W G＝－(ΔE电＋ΔE p)＝ΔE k．(3)多个力做功：多种形式的能参与转化，要根据不同力做功和不同形式的能转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，其关系为：W电＋W其他＝ΔE k．
[题组突破]
1．一带电油滴在匀强电场E中的运动轨迹如图中虚线所示，电场方向竖直向下．若不计空气阻力，则此带电油滴从a运动到b的过程中，能量变化情况为()
A．动能减少B．电势能增加
C．动能和电势能之和减少D．重力势能和电势能之和增加
2．如图，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°．不计重力．求A、B两点间的电势差．
【随堂检测】
1．(多选)下列说法正确的是()
A．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
B．电势差是一个标量，但是有正值和负值之分
C．由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D．A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，所以U AB＝U BA
2．如图所示，虚线1、2、3、4为静电场中的等势面，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为零．一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b两点时的动能分别为26 eV和5 eV，当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV时，它的动能应为()
A．8 eV B．13 eV C．20 eV D．34 eV
3．如图所示，虚线为电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等．一个带正电的点电荷在A点的电势能大于其在B点的电势能，则下列说法正确的是()
A．A点的电势比B点的高B．无法比较A、B两点的电势高低
C．A点的电场强度比B点的大D．无法比较A、B两点的场强大小
4．如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为3gh．求：
(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；
(2)A、B两点间的电势差．
【参考答案】
【预习导学】 [基础梳理] 一、电势差 1．电势 2．无关
3．φB －φA －U BA 4．标量 电压 5．伏特 V [自我检测] 1.判一判
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2.选A ．由W ＝qU 知a 、b 两点间的电势差U ＝W
q ，所以A 项正确；由于不知该电场是否是
匀强电场，电场力可能不为恒力，所以B 、C 项错；题中没有指明零电势点，所以D 项错． 【课堂互动】
知识点一 电势与电势差的关系
命题视角1 对电势差的理解
例1 [解析] 电势差由电场本身决定，与电场力做功、电荷量均无关，A 错；U AB ＝－U BA ，B 正确；电势虽有正、负之分，但电势是标量，C 错；由U AB ＝φA －φB 知，若φB ＝0时，φA ＝U AB ，D 正确． [答案] BD
命题视角2 对电势差的求解
例2 [解析] (1)由A 到B 电场力做负功 W AB ＝－3×10－
5 J
所以U AB ＝W AB q ＝－3×10－
5－6×10－6
V ＝5 V 由B 到C 电场力做正功，W BC ＝1．2×10－
5 J 所以U BC ＝W BC q ＝1．2×10－
5－6×10－6 V ＝－2 V ． (2)以B 为零电势点时，
U AB ＝φA －φB ，φB ＝0，则φA ＝5 V U BC ＝φB －φC ，φB ＝0，则φC ＝2 V ．
[答案] (1)5 V －2 V (2)5 V 2 V [题组突破]
1．解析：选C ．根据电势差的定义，电场中两点间的电势差等于将单位正电荷从一点移到另一点时静电力所做的功，仅由电场及两点的位置决定，与移动电荷的电荷量及做功的多少无关，即U ＝W
q 也是比值定义式，所以选项A 、B 错误，选项C 正确；电势能的变化只取决
于静电力做的功，与其他力是否做功、做功的多少都没有关系，选项D 错误．
2．解析：选C ．由U AB ＝φA －φB 知U AB ＝75 V 表示φA 比φB 高75 V ，U BC ＝－200 V ，表示φC 比φB 高200 V ，所以三点电势高低为φC >φA >φB ，故选C ．
知识点二 电荷在电场中的能量问题
命题视角1 电场力做功和电势能变化的关系
例3 [解析] 电荷q 由A 点匀速运动到B 点，说明电荷q 受到的静电力与力F 大小相等，方向相反，故电场线方向与力F 方向相同，等势线垂直于该点的电场线，如图所示．电荷由A 点运动到B 点的过程中，静电力所做的功为
W ＝Eq ·AB ·cos θ＝－F ·AB ·cos θ＝－1．5×10－
4×0．4×0．8 J ＝－4．8×10－
5 J ． 根据功能关系可知，电势能将增加4．8×10－5 J ． 根据W ＝q (φA －φB )得，B 点电势为φB ＝φA －W
q ＝－60 V ．
[答案] (1)如解析图所示 (2)4．8×10－
5 J 命题视角2 电场中的功能转化关系
例4 [解析] (1)因B 、C 两点电势相等，小球由B 到C 只有重力做功，由动能定理得 mgR ·sin 30°＝12m v 2C －12m v 2 得：v C ＝v 2＋gR ．
(2)由A 到C 应用动能定理得W AC ＋mgh ＝12m v 2C －0
得：W AC ＝12m v 2C －mgh ＝12m v 2＋1
2mgR －mgh 由电势能变化与电场力做功的关系得： ΔE p ＝－W AC ＝mgh －12m v 2－1
2mgR ．
[答案] (1)v 2＋gR (2)mgh －12m v 2－1
2
mgR
[题组突破]
1．解析：选C ．由于轨迹向合力的方向弯曲，可知油滴受到的电场力大于重力，合力的方向向上，合力做正功，由动能定理可知动能增加，A 错误；电场力做正功，电势能减少，B 错误；因油滴由a 运动到b 的过程中重力势能增加，动能增加，由能量守恒定律可知，D 错误，C 正确．
2．解析：设带电粒子在B 点的速度大小为v B ．粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即 v B sin 30°＝v 0sin 60° ① 由此得v B ＝3v 0
②
设A 、B 两点间的电势差为U AB ，由动能定理有 qU AB ＝12m (v 2B －v 20) ③
联立②③式得U AB ＝m v 20q
．
答案：m v 20
q
【随堂检测】
1．解析：选BC ．两点间的电势差等于电势之差，由电场中两点的位置决定，与零电势点的选取无关，故A 错误．电势差是标量，正负表示大小，故B 正确．电场力做功跟移动电荷的路径无关，由公式W ＝qU 知电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关，故C 正确．A 、B 两点的电势差是恒定的，但有顺序之分，U AB ＝－U BA ，故D 错误． 2．解析：选C ．由于电荷在电场中移动时只有静电力做功，因此能量之间的转化只有动能和电势能之间的转化．1、2、3、4为等差等势面，等势面3的电势为零，从等势面1到等势面4电荷减少的动能为21 eV ，所以从1到3减少的动能为14 eV ，故电荷在等势面3上的动能为12 eV ，故当电势能为－8 eV 时，动能为20 eV ．故选C ．
3．解析：选A ．正电荷在电场中，在电势高的位置，电势能越大，故A 正确，B 错误；等差等势面的疏密代表场强的大小，故A 点的场强小于B 点的场强，故C 、D 错误． 4．解析：因为Q 是正电荷，所以以Q 为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A 到B 过程中静电力是变力，所以不能直接用W ＝Fx 来解，只能考虑应用功能关系求解．
(1)因为杆是光滑的，所以小球从A 到B 过程中只有两个力做功：静电力做功W 和重力做功mgh ，由动能定理得： W ＋mgh ＝12m v 2B
代入已知条件v B ＝3gh 得静电力做功 W ＝12m ·3gh －mgh ＝12
mgh ．
(2)U ＝W q ＝mgh 2q
由于φA <φB ，所以U AB ＝－mgh 2q
． 答案：(1)12mgh (2)－mgh 2q。