山东省青岛市2007-2008学年度高三数学第一次质量检测试题

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（第7题）
山东省青岛市2007-2008学年度高三数学第一次质量检测试题
第Ⅰ部分（满分160分，答卷时间120分钟）
一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 复数z ＝（m －1）i ＋ m 2－1是纯虚数，则实数m 的值是 ．
2． 化简：AB DF CD BC +++u u u r u u u r u u u r u u u r
＝ ．
3． 设211()1x x f x x x
-<⎧⎪
=⎨⎪⎩≥1，，，，则f （f （2））的值是 ．
4． 若数列{a n }的通项公式a n ＝
2
1
(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1)f ，(2)f ，(3)
f 的值，推测出()f n ＝ ．
5． 函数y ＝cos x 的图象在点（
π
3
，12）处的切 线方程是 ．
6． 已知α，β均为锐角，且2
1
sin sin -=-βα，
1cos cos 3
αβ-=，则cos()αβ-= ． 7． 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线
是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），
可得这个几何体的体积是 cm 3．
8． 某海域上有A ，B ，C 三个小岛，已知A ，B
之间相距8 n mile ，A ，C 之间相距5 n mile ，
在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相
距 n mile ．
9． 某班级共有学生54人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3
号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是 ． 10．若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 ． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
11．集合A ＝{x | | x |＜2＝，B ＝{x | x 2－5x －6＜0 ＝，则A ∩B ＝ （ ）
A ．（－2，6）
B ．（－2，－1）
C ．（－1，2）
D ．（2，3） 12．直线l 1∥l 2的一个充分条件是 （ ）
A ．l 1，l 2都平行于同一个平面
B ．l 1，l 2与同一个平面所成的角相等
C ．l 1平行于l 2所在的平面
D ．l 1，l 2都垂直于同一个平面 13．下列各函数中，最小值为2的函数是 （ ）
A ．1
y x x
=+
B ．1sin sin y x x =+
，π0 2
x ∈（，）
C
．2y =
D ．4
2x x
y e e =+
- 14． 依据下列算法的伪代码：
x ←2 i ←1 s ←0
While i ≤4 s ←s ×x ＋1 i ←i +1
End While Print s
运行后输出的结果是 （ ） A ．3 B ．7 C ．15 D ．17
三、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6．
（1）将这颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问两数之和是3的倍数的概率是多少？ （2）将这颗骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，问三数之和为16的概率是多少？
16．（本题满分14分）
已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面三角形的 各边长都等于a ，点D 为BC 的中点．求证： （1）平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1； （2）A 1B ∥平面AC 1D ．
17．（本题满分15分）
已知向量a =（3sin α，cos α），b =(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π
2π2
，）
，且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(
π
2
3
α
+
)的值． （第16题） A B C A 1 B 1 C 1
18．（本题满分15分）
已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆224936x y +=有相同的焦点． （1）求双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
19．（本题满分16分）
已知各项均为正数的等差数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n ＝a n 2＋5a n ＋6；等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 15；数列{c n }满足c n ＝a n b n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{c n }的前n 项和T n ． 20．（本题满分16分）
已知函数()3225f x x ax x =+-+． （1）若函数f x （）
在（2
3
，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a 的值； （2）是否存在正整数a ，使得f x （）
在（13，1
2
）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，
A O
E C （第8题）
试求出a 的值，若不存在，请说明理由．
第Ⅱ部分（满分40分，答卷时间30分钟）
一、填空题：本大题共6小题，其中第3题~第6题为选做题，只要在这四题中任选两题作答，如果多做，
则按所做题的前两题记分．每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．
1．计算：4
21
d x x
=⎰
． 2．若ξ的分布列为：
其中m ∈（0，1），则E ξ＝ ． 3．（选修4－1：几何证明选讲）过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，若AB ＝8cm ，AB 的弦心距为3cm ，则P A ＝ cm ． 4．（选修4－2：矩阵与变换）矩阵1001⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
的属于特征值－1的一个特征向量是 ．
5．（选修4－4：坐标系与参数方程）若曲线的极坐标方程为222
400
16cos 25sin ρθθ
=
+ ，则这条曲线化为直角坐标方程为 ． 6．（选修4－5：不等式选讲）设| a ＋b |＜－c ，给出下列四个不等式：①a ＜－b －c ；②a ＋b ＞c ；③| a |＋c ＜| b | ；④a ＋c ＜b ．其中成立的不等式是 ．
二、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答下列各题必须写出必要的步骤． 7． 在某市的一次调研测试中，8道填空题中有4道必做题和4道选做题，某考生按规定做4道必做题和
2道选做题．
（1）该考生有多少种选题方案？
（2）若该考生必做题不放在最后做，他可以选择多少种不同的答题顺序？
8． 如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，E 是OC 的中点．
（1）求异面直线BE 与A C 所成角的余弦值；
（2）求二面角A －BE －C 的余弦值．
参考答案
第I 部分（满分160分，答卷时间120分钟）
O
A
B
C
A 1
B 1
C 1
（第16题）
一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把答案填写在答题纸相应位置上．
1．－1 2．AF u u u r 3．0 4．2
1n n ++
5．12y +--
＝0 6．59
72
7．640＋80π 8．7 9．16 10．1
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
11．C 12．D 13．D 14．C
三、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6．
（1）将这颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问两数之和是3的倍数的概率是多少？ （2）将这颗骰子先后抛掷3次，观察向上的点数，
问三数之和为16的概率是多少？
解：（1）P （A ）＝
25411
663
+++=⨯； ……………
……………………………7分 （2）P （B ）＝
331
66636
+=
⨯⨯． 答：两数之和是3的倍数的概率是13
；三数之和为16
的概率是
136
．…………14分 16．（本题满分14分）
已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面三角形 的各边长都等于a ，点D 为BC 的中点．求证： （1）平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1； （2）A 1B ∥平面AC 1D ．
证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱BB 1⊥平面ABC ． 又BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴侧面BCC 1B 1⊥平面ABC ． 在正三角形ABC 中，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ． 由面面垂直的性质定理，得AD ⊥平面BCC 1B 1． 又AD ⊂平面AC 1D ，
∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1．……………………7分
（2）连A 1C 交AC 1于点O ，四边形ACC 1A 1是平行四边形，
O 是A 1C 的中点．又D 是BC 的中点，连OD ，由三角形 中位线定理，得A 1B 1∥OD ．
∵OD ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ，∴A 1B ∥平面AC 1D ． …………………14分 17．（本题满分15分）
已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π
2π2
，）
，且a ⊥b ． （1）求tan α的值；
（2）求cos(π
23
α+)的值．
解：（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)， 故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0．……………………………………2分 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4 ＝0．
解之，得tan α＝－
43，或tan α＝1
2
．……………………………………………6分 ∵α∈（3π
2π2，）
，tan α＜0，故tan α＝12（舍去）．∴tan α＝－43
．…………7分 （2）∵α∈（3π
2π2，）
，∴3ππ24α∈（，）． 由tan α＝－43，求得1tan 22α=-，tan 2
α
＝2（舍去）．
∴sin cos 2
2
αα=12分 cos(
π
23
α
+
)＝ππcos cos sin sin 2323αα-
＝12 ＝． ………………………………15分 18．（本题满分15分）
已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆224936x y +=有相同的焦点． （1）求双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
解：（1）由题意，椭圆224936x y +=的焦点为（），…………………………2分
即c ，∴设所求双曲线的方程为22
22
15x y a a -=-．……………………………… 4分
∵双曲线过点（3，－2），∴2294
15a a -=-．
∴23a =，或215a =（舍去）． …………………………………………………………7分
∴所求双曲线的方程为22
132
x y -=．……………………………………………………8分
（2）由（1），可知双曲线的右准线为
x =．
设所求抛物线的标准方程为220y px p =->（），则
p =． ……………………12分
∴所求抛物线的标准方程为2y x =． …………………………………………15分 19．（本题满分16分）
已知各项均为正数的等差数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n ＝a n 2＋5a n ＋6；等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 15；数列{c n }满足c n ＝a n b n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{c n }的前n 项和T n ．
解（1）∵10S n ＝a n 2＋5a n ＋6， ① ∴10a 1＝a 12＋5a 1＋6．
解之，得a 1＝2，或a 1＝3．……………………………………………………………2分
又10S n－1＝a n－12＋5a n－1＋6（n≥2），②
由①－②，得10a n＝（a n2－a n－12）＋6（a n－a n－1），即（a n＋a n－1）（a n－a n－1－5）＝0．∵a n＋a n－1＞0，∴a n－a n－1＝5（n≥2）．………………………………………………5分
当a1＝3时，a3＝13，a15＝73．a1，a3，a15不成等比数列，∴a1≠3．
当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有a32＝a1a15．…………………………………………7分∴数列{b n}是以6为公比，2为首项的等比数列，b n＝2×6n－1．……………………9分（2）由（1）知，a n＝5n－3 ，c n＝2（5n－3）6n－1．
∴T n＝2[2＋7×6＋12×62＋…＋（5n－3）6n－1]，……………………………………11分
6 T n＝2[2×6＋7×62＋12×63＋…＋（5n－3）6n]，
∴－5 T n＝2[5×6＋5×62＋…＋5×6n－1] ＋4－2（5n－3）6n………………………13分
＝
1
106(16)
16
n-
⨯-
-
＋4－2（5n－3）6n＝（8－10n）6n－8．
T n＝8(810)6
55
n
n
-
-．…………………………………………………………………16分
20．（本题满分16分）
已知函数()3225
f x x ax x
=+-+．
（1）若函数f x
（）在（2
3
，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；
（2）是否存在正整数a，使得f x
（）在（1
3
，
1
2
）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，
试求出a的值，若不存在，请说明理由．
解（1）∵()3225
f x x ax x
=+-+在（2
3
，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，……………………………………………………………2分
f′（1）＝0，∴a＝－1
2
．………………………………………………………………6分
（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．
∵△＝4a2＋24＞0，∴方程有两个实根，………………………………………………8分分别记为x1 x2．由
于x1·x2＝－2
3
，说明x1，x2一正一负，
即在（2
3
，1）内方程f′（x）＝0不可能有两个解．…………………………………10分
故要使得f x
（）在（1
3
，
1
2
）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是
f′（1
3
）·f′（
1
2
）＜0，即（
1
3
＋
2
3
a－2）（
3
4
＋a－2）＜0．………………………13分
解得55
42
a
<<．………………………………………………………………………15分
∵a是正整数，∴a＝2．………………………………………………………………16分
第Ⅱ部分（满分40分，答卷时间30分钟）
1．ln2 2．n 3．203 4．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦
5．22
12516x y += 6．①②③ 二、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答下列各题必须写出必要的步骤． 7．在某市的一次调研测试中，8道填空题中有4道必做题和4道选做题，某考生按规定做4道必做题和2
道选做题．
（1）该考生有多少种选题方案？
（2）若该考生必做题不放在最后做，他可以选择多少种不同的答题顺序？ 解（1）24C ＝6（种）． …………………………………………………………………5分 （2）解法一：第一步选择2道选做题，有24C =6种方法，
第二步，先确定最后解答的一题，有12C =2种方法， 第三步，确定其它各题的解答顺序。

有55A =120种方法，
综上所述，该同学共有6×2×120=1440种选择．
答：（1）该考生有6种选题方案；（2）他可以选择1440种不同的答题顺序． ……10分 解法二：先确定最后解答的一题，有14C =4种方法，
再确定必做题的解答顺序，有45A =120种方法，
最后确定另一道选做题，有13C =3种方法．
综上所述，该同学共有4×120×3=1440种选择． 答：（1）该考生有6种选题方案；（2）他可以选择1440种不同的答题顺序． ……10分 8． 如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，
E 是OC 的中点．
（1）求异面直线BE 与A C 所成角的余弦值； （2）求二面角A －BE －C 的余弦值．
解：（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有A （0，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），E （0，1，0）． 2 0 00 1 02 1 00 2 1EB AC =-=-=-u u u r u u u r （，，）（，，）（，，），（，，）， ……………………………2分
cos<,EB AC u u u r u u u r >2
555
=
=-⋅． ………………………………………………………4分
由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是2
5
．……………………5分 （2）(2 0 1)AB =-u u u r
，，
，(0 1 1)AE =-u u u r ，，， 设平面ABE 的法向量为1()x y z =，，n ，
则由1AB ⊥u u u r n ，1AE ⊥u u u r n ，得20,
0.x z y z -=⎧⎨-=⎩
取n ＝（1，2，2），
平面BEC 的一个法向量为n 2＝（0，0，1）， ………………………………………7分
121212
2
cos ||||3144⋅<>===⋅++，n n n n n n ． …………………………………………9分
由于二面角A －BE －C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，其余弦值是－2
3
．…10分。