湖北省襄阳市第四中学2014届高三收心考试数学(理)试题及答案

一．选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合}|,1||{},1,0,1{A a a x x B A ∈-==-=，则B A 中的元素的个数为（ ▲ ） A.2 B.4 C.6 D.8 2.设a 是实数，若复数
112
a i
i -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则a 的值为（ ▲ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
3.将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ▲ ） A. 12
B. 24
C. 36
D. 72
4.已知命题:(,0),34x x p x ∃∈-∞<；命题:(0,),tan 2
q x x x
π
∀∈>则下列命题中真命题是（ ▲ ）
A ．p q ∧ B.()p q ∨⌝ C.()p q ∧⌝ D.()p q ⌝∧
5.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是（ ▲ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 6. 等差数列{}n a 中564a a +=，则3101
22log (2222)a a a
a ⋅⋅⋅⋅=…（ ▲ ）
A. 10
B. 20
C. 40
D. 22log 5+
7.若在直线l 上存在不同的三点A 、B 、C ，使得关于实数x 的方程2
0x OA xOB BC ++=有解（点O 不在直线l 上），则此方程的解集为（ ▲ ）
A ．φ
B ．{一1，0}
C ．{－1}
D ． ⎪⎪⎩
⎭
8.已知双曲线22
22100(,)x y a b a b
-=>>，12A A 、是实轴顶点， F 是右焦点，0(,)B b 是
虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点12(,)i P i =，使得1212(,)
i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ▲ ）
A ．)+∞ B. 12(
,)+∞ C. 112(,) D. 1
2)
9.在区间[0，2]上随机取两个数x 、y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ▲ ）
C
A.
1ln 22- B. 32ln 24- C. 1ln 22+ D. 12ln 2
2
+ 10.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ▲ ） A ．3或8
B ．8或11
C ．5或8
D ．3或11
二．填空题:本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在
答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必做题（11~14题） 11.已知61
1
e n dx x =⎰
，那么3()n x x
-展开式中含2x 项的系数为__▲__. 12.已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤1
1y y x x
y ，则函数y x z 24=的最大值为 ▲ ．
13．若一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ▲ ． 14．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素
的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,
,}n C c c c =，
若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<
<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则
称M 为“完并集合”.
（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为__▲__.（写出一个即可） （2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中， 其元素乘积最小的集合是__▲__.
(二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.（《几何证明选讲》选做题）如图：直角三角形ABC 中，∠B ＝90 o ，AB ＝4，以BC
为直径的圆交边AC 于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为
．
16. (《坐标系与参数方程选讲》选做题)已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+则点7(2,
)4
A π
到这条直线的距离为 ． 三．解答题:(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17（本小题满分12分）
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点. （1）若3
4
x π=
，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值; （2）若[0,
]2
x π
∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的
最小值及对应的x 值. 18（本小题满分12分）
O
车速
70 75 80 85 90 95 100
0.01 0.02 0.04
0.06 0.05 频率 组距 我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段： [70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，统计后得到如图的频率分布直方图． （1）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值.
（2）从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，求车速在[80,85)，[85,90)内都有车辆的概率.
（3）若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望.
19(本小題满分12分）
如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，A D = A B = 2， B C = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABCD 沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 A D 、B C 、AC 得(图2)所示六面体.
（1）求证：EG 丄平面CFG; （2）求二面角A —CD-E 的余弦值. 20(本小題满分12分）
已知数列{},()n a n N ∈满足11a =，且对任意非负整数,()m n m n ≥均有：
221
1()2m n m n m
n a a m n a a +-++--=
+. （1）求02,a a ；
（2）求证：数列*1{}()m m a a m N +-∈是等差数列，并求*
()n a n N ∈的通项； （3）令*
31()n n c a n n N =+-∈，求证：1134n
k k
c =<∑ 21(本小題满分13分）
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>
的焦距为,
离心率为2,其右焦点为F ,过点
(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .
（1）若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;
（2）若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 22221
3
x y a b +=相交于两点G 、H ，设P 为N 上一点，
且满足OG OH tOP +=（O 为坐标原点），当25
3
PG PH -<时，求实数t 的取值范围. 22（本小题满分14分）
已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))． （1）求(+1)
()+1
f x
g x x x =
-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （2）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021
()()
()f x f x f x x x -'=-成立，求
证：x 1<x 0<x 2；
（3）已知数列{a n }满足a 1=1，1211
(1)2n n n a a n
+=++(n ∈N +)，求证：11
4n a e <（e 为自然对
数的底数）．
三．解答题
17解：（Ⅰ） 设(,0)D t （01t ≤≤），又(C
所以(OC OD t +=-
+
所以 2
2211
||122
OC OD t t +=
-++=-+
21
((01)22
t t =-
+≤≤
所以当t =
||OC OD +………………6分 （Ⅱ）由题意得(cos ,sin )C x x ,(cos 1,sin )m BC x x ==+ 则2
2
1cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--
1)4
x π
=+ ……………9分
因为[0,
]2
x π
∈,所以524
4
4
x π
π
π≤+
≤
所以当24
2
x π
π
+=
，即8
x π
=
时，sin(2)4
x π
+
取得最大值1
所以8
x π
=
时，1)4
m n x π
⋅=-+
取得最小值1
所以m n ⋅的最小值为18
x π
=
…………………………12分
18． 解：（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.………2分
∴这40辆小型汽车车速众数的计值为87.5，中位数的估计值为87.5.………4分 （Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有（0.2+0.3）⨯40=20辆.速在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.
记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，
车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，
则2112
81281233
202086472
()()114095
C C C C P A P B C C 鬃+=+==.………………………8分 （Ⅲ）车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75,80)的车辆数为x ，则x 的可能取值为1,2,3.
21
243
641
(1)205C C P C x ×====，…………………………………………………9分 12243
6123
(2)205C C P C x ×====，…………………………………………………10分 03243
641
(3)205
C C P C x ×====，…………………………………………………11分 故分布列为
∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为131
1232555
E x =???.………12分
19.证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE
∴四边形ABFE 为矩形
∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC
连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥
⊥∴EG 平面CFG …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥
⊥∴FC 平面ABFE
BF FC ⊥∴ ………………………………………7分
方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）
设1=()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=
⎩⎨
⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==z
y x
y 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(
2=
n 为平面CDEF 的法向量，
设二面角E CD A --为θ，则3
21442=++=
，即32
cos =θ …12分
方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点，
连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ，
由DE =1，得EP =2，则EH =
52
，5
3,1=∴=AH AE =
∠∴AHE cos 32即3
2
cos =θ……………12分 20解：（1）令m n =得01a =，…………………………1分 令0n =，得2423m m a a m =+-，∴23a =……………………2分
（2）令1n =，得：11221
2()22
m m m m a a m a a a m +-++-=+=+
∴112m m m m a a a a +--=-+，又212a a -=，
∴数列1{}m m a a +-是以2为首项，2为公差的等差数列.∴*
12()m m a a m m N +-=∈
∴1
*11
1
()(1)1()m m k k k a a a
a m m m N -+==+
-=-+∈∑
∴*
(1)1()n a n n n N =-+∈………………………………8分 （3）
2*312()n n c a n n n n N =+-=+∈∴
11(2)
n c n n =+ ∴
1
1
1111113113
(1)2324
24212(2)4
n
k k
c
n n n n ==
-+-++
-=--<+++∑（）…………12分 21解：
(Ⅰ)
由题意知：c =2
c e a =
=
，又222
a b c -=
，
解得：a b 椭圆C 的方程为：22
16
3
x y += …………………………2分 可得：B
，F ,设00(,)A x y ，则00(
)AB x y
=-
，(3,BF =，
6AB BF ⋅=-
，00)6y =-
，即00y x =由220000
163x y
y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧
⎪⇒⎨=⎪⎩
0x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
即(0,A
，或A …………………………………………………………4分 ①当A 的坐标为(0,时，OA OB OF ==∴ABF ∆外接圆是以O 为圆心，
223x y +=……………………………………………………………5分
②当A 的坐标为(
33
时，1AF k =，1BF k =-，所以ABF ∆为直角三角形，其外接
圆是以线段AB 为直径的圆，圆心坐标为，半径为12AB =
，
ABF ∴∆外接圆的方程为225
((3
x y -
+=
综上可知：ABF ∆外接圆方程是223x y +=，或225
((3
x y += ……7分
22121222
882
,1212k k x x x x k k -+==++
25
3PG PH -<，253
HG ∴<12x -<
21
4
k ∴>
，结合（*）得： ………………………………………………11分 OG OH tOP +=，1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=
从而2122
8(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k
y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，22222
84[]2[]2(12)(12)
k k t k t k -∴+=++，整理得：222
16(12)k t k =+
即2
28812t k =-
+，2t ∴-<<2t <<………………………………13分
22．解：（Ⅰ）由已知有(+1)
()+1
f x
g x x x =
-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11
x
g x x x '=
--
+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．
所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是
g (0)=0． ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =
2121
()()
f x f x x x --，于是
02ln ln x x -=
21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211
221
ln ln ln 1x x x x x x x ----
=121121
ln ln 1x x x x x x ---=21
21
ln
11x x x x --，
令
21x x =t (t >1)，ln ln 1()111
t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．
令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t t
ϕ'=-<()，
∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．
仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，12
11
(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111
(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n
+=+
+≤++++， 所以12
11
ln ln ln(1)2n n n a a n +≤++
+． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为12
11ln ln 2n n n a a n +<++． 即11
2
11
ln ln 2(1)k k k a a k ---<
+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得
112
1222111111
ln ln +++
)[]22212
(1)n n a a n --<++++
-（
122111111
1)[]2122334
(2)(1)
n n n -<++++++
⨯⨯--(-
=111111111
1)[1()()(
)]24233421
n n n -+++-+-++---(- =11111
1)1)2421
n n -+++--(-
(
1111111=
4214
n n --<--， 即11111
ln ln 44
n a a <+=，所以11
4n a e <．……………………………………14分。