2021年辽宁省辽阳市灯塔第一高级中学高三数学理月考试题含解析

2021年辽宁省辽阳市灯塔第一高级中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为，，若，则满足条件的直线l（）
A．有1条
B．有2条
C．有3条
D．有4条
参考答案：
D
2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则
=
A. B.2 C.0 D.
参考答案：
B
略
3. 命题，则是A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 在△ABC中，给出下列四个命题：
①若，则△ABC必是等腰三角形；
②若，则△ABC必是直角三角形；
③若，则△ABC必是钝角三角形；
④若，则△ABC必是等边三角形.
以上命题中正确的命题的个数
是
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
5. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为（）
A、 B、 C 、 D、
参考答案：
B
6. 在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；
（2）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数
为偶函数；
③函数的单调递增区间为． 其中所有正确说法的个数为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案： C 略
7. 已知函数
的图象如图所示，则的值为（ ）
A.
B.
C. D.
参考答案：
C
，
，
，选C
8. 将函数的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把图象上各点的横坐标
扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 参考答案：
B 略
9. 284和1024的最小公倍数
是
（ ）
A ．1024
B ．142
C ．72704
D ．568 参考答案： C
10. 已知函数f (x )＝满足对任意x 1≠x 2，都有<0成立，则a 的取值范围是
( )
A ．(0,3)
B ．(1,3)
C ．(0，]
D ．(－∞，3)
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若A 为不等式组
表示的平面区域，则当a 从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A
中的那部分区域的面积为
．
参考答案：
【考点】7B ：二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．
【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，
动直线x+y=a （即y=﹣x+a ）在y 轴上的截距从﹣2变化到1．
知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形， 所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =
故答案为：．
12. 若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B= ．
参考答案：
{﹣1，0，1}
【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}． 故答案为：{﹣1，0，1}．
13. 已知实数满足，则
的最大值为 ．
参考答案：
-2
14. 15. 16.
14. （09 年聊城一模理）电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是 . 参考答案：
答案：
15. 对于函数y=f （x ），若存在区间[a ，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka ，kb]（k ＞0），则称y=f （x ）为k 倍值函数，若f （x ）=lnx+2x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．
参考答案：
（2，2+）
【考点】对数函数的值域与最值． 【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由于f （x ）在定义域{x|x ＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g （x ）的极大值为：g （e ）
=2+，当x 趋于0时，g （x ）趋于﹣∞，当x 趋于∞时，g （x ）趋于2，因此当2＜k ＜2+时，直线y=k 与曲线y=g （x ）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围． 【解答】解：∵f（x ）=lnx+2x ，定义域为{x|x ＞0}， f （x ）在定义域为单调增函数， 因此有：f （a ）=ka ，f （b ）=kb ，
即：lna+2a=ka ，lnb+2b=kb ，即a ，b 为方程lnx+2x=kx 的两个不同根．
∴k=2+
，令 g （x ）=2+
，g'（x ）=
，
当x ＞e 时，g'（x ）＜0，g （x ）递减，当0＜x ＜e 时，g'（x ）＞0，g （x ）递增， 可得极大值点x=e ，故g （x ）的极大值为：g （e ）=2+， 当x 趋于0时，g （x ）趋于﹣∞，当x 趋于∞时，g （x ）趋于2， 因此当2＜k ＜2+ 时，直线y=k 与曲线y=g （x ）的图象有两个交点，
方程 k=2+有两个解．
故所求的k 的取值范围为（2，2+）， 故答案为 （2，2+）．
【点评】本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
16. 在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为________________．
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标;
图形与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系.
【试题分析】直线
化为普通方程为
，点
对应直角坐标系中的点为
,设点
关于直线的对称的点为，则，解得，所以点的坐标
为，化为极坐标系中的点为.
17. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是▲。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知
(1)求的值； (2)求的值
参考答案：
略19. 求下列函数的解析式：
（1）已知,求二次函数的解析式;
（2）已知,求的解析式.
参考答案：
(1)设,则
,,所以
所以,解得所以.
（2）令,,则,..
20. 已知函数（，），．
(1)证明：当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有成立；
(2)记，
(ⅰ)若在上单调递增，求实数的取值范围；
（文科不做）(ⅱ)证明：.
参考答案：
故在上单调递减，从而，
故．21. 已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若存在实数x，使得f（x）﹣a≤|x|，求实数a的最小值．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；
（2）不等式可化为|x+|﹣|x|≤1+，求出左边的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）x≤﹣时，﹣1﹣2x+x≥2，∴x≤﹣3；
﹣时，2x+1+x≥2，∴x，不符合；
x≥0时，x+1≥2，∴x≥1，
综上所述，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；
（2）不等式可化为|x+|﹣|x|≤1+，
∵||x+|﹣|x||≤|x+﹣x|=
∴1+≥﹣，
∴a≥﹣3，
∴a的最小值为﹣3．
22. （本小题满分14分）已知四棱锥如图5-1所示，其三视图如图5-2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.
（Ⅰ）求此四棱锥的体积；
(Ⅱ)若E是PD的中点，求证：平面PCD；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若F是的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面.
参考答案：
（Ⅰ）由题意可知，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其面积，高
，所以┅┅┅┅ 4分
(Ⅱ)由三视图可知，平面，∴┅┅┅┅┅┅ 5分
∵是正方形，∴┅┅┅┅┅┅ 6分
又，平面，平面
∴平面，┅┅┅┅┅┅ 7分
∵平面，∴┅┅┅┅┅┅ 8分
又是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴┅┅┅┅┅┅ 9分
又，平面，平面∴平面. ┅┅┅┅┅┅ 10分
(Ⅲ)∵分别是的中点，∴且
又∵且，∴且
∴四边形是梯形，┅┅┅┅┅┅ 13分是梯形的两腰，故与所在的直线必相交。

所以，直线AE和直线BF既不平行也不异面. ┅┅┅┅┅┅ 14分。