【备战高考】2019年高考数学一轮复习第6章第3节《等比数列及其前n项和》

备战高考
2019年高考数学一轮复习
第6章 数列
第3节 等比数列及其前n 项和
考试要求：
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3.了解等比数列与指数函数的关系.
知识梳理，自主学习
一、基础知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：a n
a n －1
＝q (n ≥2，q 为非零常数).
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝
a 1（1－q n ）
1－q ＝a 1－a n q 1－q .
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .
二、双基自测训练
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )
(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )
1－a
.( × )
(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q ＝______.
答案 12
解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝1
2
.
3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2
b 2的值为________．
答案 －1
2
解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，
∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.
又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2
>0，∴b 2＝
2，
∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12
.
5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2＝________.
答案 －11
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，
∴S 5S 2＝a 1(1－q 5
)1－q ·1－q a 1(1－q 2)
＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4
＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)． 答案 48
解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，
则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).
考点突破，深度剖析
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.
(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，
S 6＝63
4，则a 8＝________.
解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .
由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2
＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，
②
①
得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.
(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩
⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6
＝a 1（1－q 6
）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，
q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝1
4×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32
【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A.－2 B.－1 C.1
2
D.23
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.
解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×3
2a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.
(2)设等比数列{a n }的公比为q ，
∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2
＝10，
a 1q ＋a 1q 3
＝5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)
＝2－n 22＋7n
2.
记t ＝－n 22＋7n 2＝－1
2(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64
考点二 等比数列的性质及应用
【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12
B.10
C.8
D.2＋log 35
(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40
B.60
C.32
D.50
解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.
(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B
【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数
列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 9
1－a 4·a 8的值是( )
A.－ 3
B.－1
C.－33
D. 3
(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3
＝3，则S 9
S 6
＝________. 解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3
，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6
＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
－7π3＝－tan π3＝－ 3. (2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6
＝7
3.
法二 因为{a n }为等比数列，由S 6
S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9
－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.
答案 (1)A (2)7
3
考点三 等比数列的判定与证明
【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32，求λ.
(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝1
1－λ，a 1≠0.
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，
由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λ
λ－1.
因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1
的等比数列，
于是a n ＝
11－λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－1n －1
.
(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫
λλ－1n
. 由S 5＝3132，得1－⎝
⎛⎭⎪⎫λλ－15
＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15
＝1
32. 解得λ＝－1.
【训练3】 (2017·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.
(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，
所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，
所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，
于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2
＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.
思想方法
分类讨论思想在等比数列中的应用
典例 (12分)已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：S n ＋1S n ≤13
6
(n ∈N *)．
思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答
(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，
所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－1
2.[2分]
又a 1＝3
2，所以等比数列{a n }的通项公式为
a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·3
2n (n ∈N *)．[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－1
2n ， S n ＋1
S n
＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭
⎫－1
2n
＝⎩⎨⎧
2＋1
2n (2n ＋1)
，n 为奇数，2＋
1
2n
(2n
－1)，n 为偶数.
[6分]
当n 为奇数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝13
6.[8分]
当n 为偶数时，S n ＋1
S n 随n 的增大而减小，
所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝25
12.[10分]
故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤13
6.[12分]
自我检测，夯实智能
一、选择题
1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列
B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列
C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列
D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C
2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝5
2，则a 1＝( ) A.2
B.4
C. 2
D.2 2
解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4
＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2
＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2
q ＝4.
答案 B
3．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10
S 5等于( )
A ．－3
B ．5
C ．－31
D ．33
答案 D
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q
6＝2
18，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 10
1－q
5＝1＋q 5＝33，故选D. 4．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23
答案 B
解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×3
2a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.
5．(2017·张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12
a 6－a 8的值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
答案 B
解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5
a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，
则a 10－a 12a 6－a 8
＝q 4＝4. 6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.
答案 B
7.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18
B.－18
C.578
D.558
解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，则8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A
8.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2
B.－ 2
C.± 2
D. 2
解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B
9.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…
＋a 2n 等于( )
A.(3n －1)2
B.12(9n －1)
C.9n －1
D.14(3n －1)
解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，
又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，
故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.
因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n
）1－9＝12(9n －1).
答案 B
二、填空题
10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 答案 4
解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.
11.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.
解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5.
答案 5
12．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 2n －1
解析 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，q ＝12.
又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的前n 项和为1－2n
1－2
＝2n －1.
13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①
∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②
由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12
(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，
则a n ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝12n . 答案 12n
14.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n
＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.
解析 由a 2n ＋1a n
＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0， ∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n
＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列， ∴S 9＝2（1－29）1－2
＝1 022. 答案 1 022
15.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.
解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝
b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，
∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，
∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2
. 答案 a n ＝n （n ＋1）2
三、解答题
16.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.
解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得
⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1
＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .
(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）
＝23[(－2)n －1]，
则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，
所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝
2S n ，
∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.
17.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.
解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，
即a n ＋1－a n ＝2＝d ，
所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.
等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，
所以q ＝3，b n ＝3n －1.
数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3
＝3n －12.
T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.
18.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.
(1)推导{a n }的前n 项和公式；
(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.
解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，
当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①
qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n, ②
①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，
∴S n ＝a 1（1－q n
）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *，
(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，
a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，
a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q
k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.
∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾.
故数列{a n ＋1}不是等比数列.
19．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
n ∈N *.
(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；
(2)求T 2n .
解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，
∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，
∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12
a n . ∵
b n ＝a 2n ＋a 2n －1，
∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12
，
∵a 1＝1，a 1·a 2＝12
， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32
. ∴{b n }是首项为32，公比为12
的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12
a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12
为首项，以12
为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )
＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
＝3－32n .。