江苏省震泽中学2018_2019学年高一数学下学期第二次月考试题1

江苏省震泽中学2018-2019学年高一数学下学期第二次月考试题1
（满分150分，考试时间120分钟）
一．选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分。

将正确答案填在答卷纸上） 1.复数z 满足i
i
z -=
12则复数z 的虚部为( ▲ ) A ．－1 B ．1 C ．i D ．－i 2.命题p ：2x ∀>，230x
->的否定是( ▲) A.2x ∀>,230x
-≤ B .2x ∀≤,230x
->
C.02x ∃>,230x -≤
D.02x ∃>,230x
->
3.设m ，n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是( ▲ ) A ．m n ⊥，//m αn α⇒⊥ B ．m n ⊥，m α⊥//n α⇒ C. //m n ，m α⊥n α⇒⊥ D ．//m n ，//m α//n α⇒
4.等比数列{a n }中，2,81
1==q a ，则4a 与8a 的等比中项是( ▲ ) A.±4 B.4 C.41±
D. 41
5．“2
1
=
m ”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的(▲) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
6.若a >0,b >0, 2a +b = 6，则12a b +
的最小值为 (▲) A. 23
B.
43
C.
53 D.
8
3
7.在△ABC 中,若bc c b a -+=2
22,4=bc ,则△ABC 的面积为(▲)
A 21
B.1
C. 3
D. 2
8. 给出下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为假命题： ②命题“若，则
”的否命题是“若
，则
”；
③若“”为真命题，“”为假命题，则为真命题，为假命题； ④函数
有极值的充要条件是
或
.
其中正确的个数有(▲) A.
B.
C.
D.
9.直线l 过双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>焦点F 且与实轴垂直,A ,B 是双曲线C 的两个
顶点, 若在l 上存在一点P ,使60APB ∠=︒,则双曲线离心率的最大值为(▲) A ．
23
3
B ．3
C ．2
D ．3 10．过抛物线2
4y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A B C 、、点，令
1AF BF λ=，2BC BF
λ=，则当=3π
α时，12+λλ的值为(▲)
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则
有(▲) A.
B.
C. D.
12．已知函数()ln x
f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是(▲)
A ．10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,e C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(),e -∞
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.将正确答案填在答卷纸上） 13.已知复数11i
z i
-=
+，其中i 为虚数单位，那么||z = ▲ ．
14．已知四面体P ABC -四个顶点都在球O 的球面上，若 PB ABC ⊥平面 ，AB AC ⊥，且1AC =，2AB PB ==，则球O 的表面积为 ▲ ．
15.下列四个命题：①当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是y x 3
4
2=
；②已知双曲线的右焦点为（5，0）
，一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的标准方程是
120
52
2=-y x ；③抛物线a
y a ax y 41
)0(2
-
=≠=的准线方程为；④已知双曲线1422=+m y x ，其离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（－12，0）.其中正确命题的序号是 ▲ ． （把你认为正确命题的序号都填上）
16.已知直线l ：4x-3y+8=0，若p 是抛物线y 2
=4x 上的动点，则点p 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为 ▲ ．
三．解答题：（本题共6答题，10分+10分+12分+12分+12分+14分=70分）
17．已知命题p ：方程22167x y m m
-=+-表示椭圆，命2:,2210q x R mx mx m ∃∈++-≤.
（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∨为真，p ⌝为真，求实数m 的取值范围. 18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足
13
a =，
1
23n n S a ++=.
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且
11
T a =，
33
T a =，求
数列11
{
}n n b b +的前n 项和Q n ．
19．已知圆()2
2:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， R m ∈. （1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A B 、； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.
20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==. （1）求证：EF ∥平面DCP ；
（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.
21．如图，椭圆22
2:
1(02)4x y E b b
+=<<，点(0,1)P 在短轴CD 上，且2PC PD •=-u u u r u u u r . （1）求椭圆E 的方程及离心率；
（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得
OA OB PA PB λ•+•u u u r u u u r u u u r u u u r
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
22．设函数()()ln f x mx n x =+.若曲线()y f x =在点()()
,P e f e 处的切线方程为
2y x e =-（e 为自然对数的底数）.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式2
()(1)f x x λ≤-在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数λ的取值范围.
2018~2019学年第二学期江苏省震泽中学高一第二次月考
（杨嘉墀班）数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟）
二．选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分。

将正确答案填在答卷纸上） 1.复数z 满足i
i
z -=12则复数z 的虚部为( ▲ )B A ．－1
B ．1
C ．i
D ．－i
2.命题p ：2x ∀>，230x
->的否定是( ▲ )C A.2x ∀>,230x
-≤ B .2x ∀≤,230x
->
C.02x ∃>,230x -≤
D.02x ∃>,230x
->
3.设m ，n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是( ▲ )C
A ．m n ⊥，//m αn α⇒⊥
B ．m n ⊥，m α⊥//n α⇒ C. //m n ，m α⊥n α⇒⊥ D ．//m n ，//m α//n α⇒
4.等比数列{a n }中，2,81
1==q a ，则4a 与8a 的等比中项是( ▲ )A A.±4 B.4 C.41±
D. 41
5．“2
1
=
m ”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的(▲)B A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
6.若a >0,b >0, 2a +b = 6，则12a b +的最小值为 (▲)B A.
2
3
B.
43
C.
53 D.
8
3
7.在△ABC 中,若bc c b a -+=2
22,4=bc ,则△ABC 的面积为(▲)C
A 21
B.1
C. 3
D. 2
8. 给出下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为假命题： ②命题“若，则
”的否命题是“若
，则
”；
③若“”为真命题，“”为假命题，则为真命题，为假命题； ④函数
有极值的充要条件是
或
.
其中正确的个数有(▲)B A.
B.
C.
D.
9.直线l 过双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>焦点F 且与实轴垂直,A ,B 是双曲线C 的两个
顶点, 若在l 上存在一点P ,使60APB ∠=︒,则双曲线离心率的最大值为(▲)A A ．
23
B ．3
C ．2
D ．3 10．过抛物线2
4y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A B C 、、点，令
1AF BF λ=，2BC BF
λ=，则当=3π
α时，12+λλ的值为(▲)B
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则
有(▲)C A.
B.
C. D.
12．已知函数()ln x
f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是(▲)A
A ．10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,e C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(),e -∞
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.将正确答案填在答卷纸上）
13.已知复数11i
z i
-=
+，其中i 为虚数单位，那么||z = ．1 14．已知四面体P ABC -四个顶点都在球O 的球面上，若 PB ABC ⊥平面 ，AB AC ⊥，且1AC =，2AB PB ==，则球O 的表面积为______．9π
15.下列四个命题：①当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是y x 3
4
2=
；②已知双曲线的右焦点为（5，0）
，一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的标准方程是
120
52
2=-y x ；③抛物线a
y a ax y 41
)0(2
-
=≠=的准线方程为；④已知双曲线1422=+m y x ，其离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（－12，0）.
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）①②③④ 16.已知直线l ：4x-3y+8=0，若p 是抛物线y 2
=4x 上的动点，则点p 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为_______．
7
5
三．解答题：（本题共6答题，10分+10分+12分+12分+12分+14分=70分）
17．已知命题p ：方程22167x y m m
-=+-表示椭圆，命2:,2210q x R mx mx m ∃∈++-≤.
（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∨为真，p ⌝为真，求实数m 的取值范围. （1）命题为真，当
时，
，
； …… …… 2分
当
时，不等式恒成立.…………4分
综上知，
.…………5分
（2）若为真，则且 ………………7分
若
为真，为真，
为假，为真.
……………………9分
.……………………10分
18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足
13
a =，
1
23n n S a ++=.
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且
11
T a =，
33
T a =，求
数列11
{
}n n b b +的前n 项和Q n ．
18.解：（1）当1n =时，29a =，------1分 由123n n S a ++=得123n n S a -+=（2n ≥），
两式相减得112()n n n n S S a a -+-=-，又1n n n S S a --=， ∴13n n a a +=（2n ≥）， -------3分
又213a a =，∴13n n a a +=（*n N ∈）， ---4分 显然0n a ≠，
1
3n n
a a +=，即数列{}n a 是首项为3、公比为3的等比数列， ∴1333n n
n a -=⨯=； -----------5分
（2）设数列{}n b 的公差为d ，则有13b =，由33T a =得13327b d +=，解得6d =， ∴36(1)3(21)n b n n =+-=-， ---------6分 又
111111
()9(21)(21)182121
n n b b n n n n +==--+-+--------8分 ∴111111[(1)()()]183352121
n Q n n =
-+-++--+L 11
(1)1821n =
-+9(21)
n n =
+．----------------10分 19．已知圆()2
2:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， R m ∈. （1）求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A B 、；
（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线. 19．证明：（1）圆()2
2:25C x y ++=的圆心为()2,0C -，半径为5， 所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=的距离
2
2
2121511m m
m
m
-++=
<++.
所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；………………5分 （2）设中点为(),M x y ，
因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-，…………6分 当直线CM 的斜率存在时， 2
MC y k x =+，又1
2AB y k x -=+，
∵1AB AC k k ⋅=-，∴
1122
y y
x x -⋅=-++ 化简得()()2
2
112224x y x ⎛
⎫++-=≠- ⎪⎝
⎭.………………9分
当直线CM 的斜率不存在时， 2x =，
此时中点为()2,1M -，也满足上述方程.……………………10分
所以M 的轨迹方程是()2
2
11224x y ⎛
⎫++-= ⎪⎝
⎭，………………11分
它是一个以12,
2⎛
⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12
为半径的圆.………………12分 20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==. （2）求证：EF ∥平面DCP ；
（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值. 20.案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M ,Θ分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21
,//=∴，
E Θ为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21
,//=∴，
DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形
⊄∴EF DM EF Θ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC ---6分
（2）⊥PA Θ平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A - 则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222
E F
设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11
(,,1)22
FC =-u u u r
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF ， 即⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+021
2
10z y x z y x ，取()2,1,31-=n -----8分
则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-u u u r
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
022n PC n PD ， 即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ， 取()1,0,12=n -------10分
12
121231102157cos ,14||||142
n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅⨯u r u u r
u r u u r u r u u r .
∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为
14
7
5. -------12分 21．如图，椭圆22
2:
1(02)4x y E b b
+=<<，点(0,1)P 在短轴CD 上，且2PC PD •=-u u u r u u u r . （1）求椭圆E 的方程及离心率；
（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得
OA OB PA PB λ•+•u u u r u u u r u u u r u u u r
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
21．（1）由已知可得，点的坐标分别为
，，
又点的坐标为
，且
，即
，
解得，所以椭圆的方程为.
因为，所以离心率.…………………………5分
（2）当直线的斜率存在时，设直线
的方程为
，
的坐标分别为
，联立得， 其判别式，所以，，，………………………………7分 从而
， ……………9分 所以，当时，， 即
为定值，…………11分 当直线斜率不存在时，直线即为直线， 此时
， 故存在常数，使得为定值.…………………12分
22．设函数()()ln f x mx n x =+.若曲线()y f x =在点()()
,P e f e 处的切线方程为 2y x e =-（e 为自然对数的底数）.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式2()(1)f x x λ≤-在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数λ的取值范围.
22． （1）函数()f x 定义域为()0,+∞.()ln mx n f x m x x
+'+=得()f e e =， ()2f e '=，即0,
{2,me n me n m e
+=++=所以1,0m n ==.所以()ln f x x x =， ()ln 1f x x ='+. 函数()f x 的单调递减区间是10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.…………6分
（2）由题得函数()()2ln 1H x x x x λ=--对任意[)1,x ∈+∞恒成立，
即不等式()()01H x H ≤=对任意[)1,x ∈+∞恒成立.
又()ln 12H x x x λ+'=-，当()ln 120H x x x λ=+-≤'即
ln 12x x λ+≤恒成立时， 函数()H x 递减，设()ln 1x r x x +=，则()2ln 0x r x x
'-=≤，所以()()max 11r x r ==，即1122
λλ≤⇔≥，符合题意；……………………8分 当0λ≤时， ()ln 120H x x x λ=+-≥'恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是不等式()()10H x H ≥=对任意[)1,x ∈+∞恒成立，不符合题意；………………10分 当102
λ<<
时，设()()ln 12q x H x x x λ==+-'， 则()120q x x λ-'== 112x λ⇒=>；…………………12分 当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时， ()120q x x λ-'=>，此时()()ln 12q x H x x x λ==+-'单调递增， ()ln 12H x x x λ+'=- ()1120H λ>=->'， 故当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 递增.于是当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时, ()0H x >成立，不符合题意；………………13分
综上所述，实数λ的取值范围为： 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.………………………………14分。