第三章插补原理及控制方法
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得： xi+1= xi + 1
yj = yj
则 M1点的偏差为：
A M(xi,yj) M1( xi +1, y j ) x
y
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye
= x e y j - ( xi + 1) ye
αi
α
o
=( x e y j - xi ye ) – ye
Fi+1,j = Fi,j - ye
第三章 插补原理及控制方法 2
插补计算就是对数控系统输入的基本数据， ( 如直线起点、终点坐标值，圆弧起点、圆心、 圆弧终点坐标值、进给速度等 ) ，运用一定的算 法计算，由数控系统实时地算出各个中间点的坐 标。即需要“插入补上”运动轨迹各个中间点的 坐标，通常将这个过程称为“插补”。 插补结果是输出运动轨迹的中间点坐标值， 机床伺服系统根据此坐标值控制各坐标轴的相互 协调运动，走出预定轨迹。
o
α
αi
第三章 插补原理及控制方法
x
16
当M点在直线上方时，+ΔX
(αi> α) (αi< α)
Fi,j > 0
Fi,j < 0
y
A (Xe,Ye)
当M点在直线下方时, + Δ Y
M (xi,yj)
当M点在直线上时， + Δ X
(αi= α)
Fi,j = 0
o
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
17
25
第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j < 0，应+ΔY 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i , y j +1 ) 得： xi = xi yj+1 = yj +1 则 M1点的偏差为：
A M1( xi , y j+1 ) y
Fi,j+1 = x e y j+1 - x i ye = x e (y j +1)- xi ye =( x e y j - xi ye ) + xe
向，从而按规定的图形加工出合格的零件。
第三章 插补原理及控制方法
12
逐点比较法特点是：计算机每控制机床坐标 （刀架）走一步时都要完成四个工作节拍。 第一、位置判别 判别实际加工点相对规定几 何轨迹的偏离位置，然后决定刀具走向； 第二、坐标进给 控制某坐标轴工作台进给一 步，向规定的几何轨迹靠拢，缩小偏差； 第三、偏差计算 计算新的加工点对规定轨迹 的偏差，作为下一步判别走向的依据； 第四、终点判别 判别是否到达程序规定的加 工终点，若到达终点则停止插补，否则再回到 第一拍。
tg α=ye / xe
A (xe,ye)
y M (xi,yj)
=(xe yj-xi ye) / xe xi
令：Fi , j
xe y j xi ye
αi
x
为偏差函数
α
o
第三章 插补原理及控制方法
24
若 F i , j > 0，应 -ΔX 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i+1 , y j )
第三章 插补原理及控制方法
10
※ 常用的插补算法
数字积分插补计算法（简称数字积分法） 采用数字积分法进行插补的优点： 运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐 标联动或多坐标空间曲线的插补，在轮廓控制数 控系统中应用广泛。
第三章 插补原理及控制方法
11
3.1 逐点比较法插补
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法） 又称区域判别法。 其原理是：计算机在控制加工轨迹过程中 逐点计算和判断加工偏差以控制坐标进给方
偏差函数
Fi , j xe y j xi ye
是决定进给方向的判据。
求算偏差时，需要乘法、减法，比较麻烦； 一个简便的方法是：
“递推法”
y
A (Xe,Ye)
M (xi,yj)
o
α
αi
x
18
第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j > 0，应+ΔX 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i+1 , y j )
+ ΔY
N
终点？ 结束
第三章 插补原理及控制方法 29
作 业
试推导逐点比较法直线插补第三象限 直线的递推公式，并画出程序流程图。
注意：1、正确设定偏差函数
2、进给运动后的坐标增量均为数值增加。
第三章 插补原理及控制方法
30
二、逐点比较法圆弧插补—第一象限
设要加工第 I 象线逆圆弧AE, M为某一时刻加 工点，其坐标为（xi , y j） 当M点在圆外时，-ΔX (Rm> R) 当M点在圆内时, + Δ Y (Rm < R) 当M点在圆上时， - Δ X (Rm= R)
当M点在圆内时,
(F < 0)
+ΔY
Yj+1= Yj + 1
y
Xi = Xi
则 M1点的偏差为：
Fi,j+1=
=(Xi2 +
Xi2 +
当 Fi,j > 0时，X轴向目标进给一步（I、IV象 限+ΔX , II、III象限-ΔX ）, 其坐标值加一。
y
Fi,j < 0 ， ΔY， Yj+1=Yj+1 Fi,j +1 = Fi,j +Xe 当Fi,j < 0时，y轴向目标进给 一步（I、II象限+ΔY, III、IV 象限 -ΔY ）, 其坐标值加一。
Fi,j > 0
x
Fi,j < 0
o
Fi,j > 0
Fi,j < 0
第三章 插补原理及控制方法
28
程序流程
N Y
G01 Fi,j < 0
N N
Y
II、III?
I、II?
Y
- ΔX
Xi+1=Xi+1 Fi+1,j = Fi,j - Ye
+ ΔX
- ΔY
Yj+1=Yj+1 Fi,j +1 = Fi,j +Xe
第三章 插补原理及控制方法
8
※ 常用的插补算法
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法）
数字积分插补计算法（简称数字积分法） 时间分割插补计算法（简称时间分割法）
最小偏差插补计算方法等。
第三章 插补原理及控制方法
9
※ 常用的插补算法
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法） 开环数控机床采用，可实现直线、圆弧、其 他二次曲线（椭圆、抛物线、双曲线等）插补。 特点：运算直观，最大插补误差≤1个脉冲当 量，脉冲输出均匀，调节方便。
插补器： 数控装置中完成插补运算工作的装置或程序。 插补器分：硬件插补器 软件插补器 软硬件结合插补器 早期NC数控系统： 硬件插补器，由逻辑电路组成，运算速度快， 但灵活性差， 结构复杂，成本较高。
第三章 插补原理及控制方法
6
※插补方法的分类
CNC数控系统： 多采用软件插补器，通过计算机程序来完成 各种插补功能，结构简单，灵活易变，但速度较 慢。 现代CNC数控系统： 软件插补或软、硬件插补结合的方法，由软 件完成粗插补，硬件完成精插补。 粗插补采用软件方法，将加工轨迹分割为线段， 精插补采用硬件插补器，将粗插补分割的线段进 一步密化数据点。 粗、精插补结合的方法对数控系统运算速度 要求不高，可节省存储空间，且响应速度和分辨 率都较高。
o
α
αi
M( x i , y j ) x
F i ,j +1 = Fi ,j +x e
第三章 插补原理及控制方法 20
Fi,j > 0 ，+ΔX ，Fi+1,j = Fi,j – ye
Fi,j < 0 ，+ ΔY，Fi,j +1 = Fi,j +xe
由此可见，新加工点的偏差值可以用前 一点的偏差值递推出来，即下一点的偏差可 由当前点的偏差计算出来。而当前点的偏差 又可知（如：初始点F0,0 =0 ）因而依次可得 以后各点的偏差。
第三章 插补原理及控制方法
21
举例说明直线插补过程
设在第一象限加工一直线段OA，起点为坐 标原点，终点坐标为 x e ＝4， ye ＝5。
第三章 插补原理及控制方法
22
第三章 插补原理及控制方法
23
3.1 逐点比较法插补---不同象限直线插补
第二象限
tg αi= yj / xi
tg αi- tg α = yj/ xi –ye / xe
第三章 插补原理及控制方法
13
一、 逐点比较法插补---直线插补
设要加工直线OA, M为某一时刻加工点，其 坐标为（xi ，y j） 当M点在直线上方时，+ΔX (αi> α) 当M点在直线下方时, + Δ Y (αi< α) 当M点在直线上时， + Δ X (αi= α)
o y M (x i y j ) A
19
第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j < 0，应+ΔY 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i , y j +1 ) 得： xi= xi yj+1 = yj +1 则 M1点的偏差为：
y M1( xi , y j+1 ) A
Fi,j+1 = x e y j+1 - x i ye = x e (y j +1)- xi ye =( x e y j - xi ye ) + xe
第三章 插补原理及控制方法
数控技术
※插补的概念
插补(Interpolation)：根据给定进给速度 和给定轮廓线形的要求，在轮廓的已知点 之间，确定一些中间点的方法，这种方法 称为插补方法或插补原理。 插补技术是数控系统的核心技术。数控 加工过程中，数控系统要解决控制刀具或 工件运动轨迹的问题。刀具或工件一步步 移动，移动轨迹是一个个小线段构成的折 线，不是光滑曲线。刀具不能严格按照所 加工零件的廓形运动，而用折线逼近轮廓 线型。
得： xi+1= xi + 1
yj = yj
则 M1点的偏差为：
y M( x i , y j ) A
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye
= x e y j - ( xi + 1) ye
=( x e y j - xi ye ) – ye
o
α
αi
M1( xi+1 , y j ) x
Fi+1 , j = F i , j - ye
第三章 插补原理及控制方法
7
※插补方法的分类
直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型， CNC系统都有直线插补、圆弧插补两种基本功能 。 三坐标以上联动的CNC系统中，一般还有螺 旋线插补等功能。 一些高档CNC系统中，已出现了抛物线插补 、渐开线插补、正弦线插补、样条曲线插补和球 面螺旋线插补等功能。
o y E
M (Xi,Yj)
Rm R
A
x
第三章 插补原理及控制方法
31
由勾股定理得：
R m2 = Xi2 + Yj2
比较R m与R 只需比较R2m与R2的大小
令偏差函数：
F = R2m- R2 = Xi2+Yj2 - R2
y
E
M (Xi,Yj)
Rm R o
第三章 插补原理及控制方法
A x
32
当M点在圆外时，
则 M1点的偏差为：
Fi+1,j =
= (Xi
-
Xi+1 2 +
Yj -
2
R2
y
E M1( xi +1, y j ) Rm R o
M (Xi,Yj)
1)2 - R2
=(Xi2 + Yj2 - R2) – 2 Xi + 1
递推公式： Fi+1,j = Fi,j – 2 Xi + 1
A
x
第三章 插补原理及控制方法 34
15
其中 tg αi= y j / xi
tgα= y e / x e
tg αi -tgα= y j / xi - y e / x e
= (x e y j – x i y e ) / x e x i
令： Fi , j xe y j xi ye 为偏差函数
y A (Xe,Ye)
M (xi,yj)
第三章 插补原理及控制方法
3
Y 8 7 5 6 A(5,3)
4 3
2 O 1 X
插补轨迹
第三章 插补原理及控制方法 4
数控系统使用的插补方法决定刀具沿什么 路线进给。 虽然存在插补拟合误差，但脉冲当量相当 小（ mm、nm、μm级），插补拟合误差在加 工误差范围内。
第三章 插补原理及控制方法
5
※插补方法的分类
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
14
当M点在直线上方时，+ΔX (αi> α) tg αi> tg α 当M点在直线下方时, + Δ Y (αi< α) (αi= α) tg αi< tg α tg αi= tg α
y M (x i y j ) A
当M点在直线上时， + Δ X
o
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
(F> 0) (F < 0) (F= 0) -ΔX +ΔY -ΔX Xi+1=时, Yj+1= Yj + 1 Xi+1= Xi - 1 当M点在圆上时,
E
M (Xi,Yj)
Rm R o
A x
第三章 插补原理及控制方法
33
当M点在圆外和圆上时， (F> 0) -ΔX Xi+1= Xi - 1
M(xi,yj) x
αi
α
o
Fi,j+1 = Fi,j + xe
26
第三章 插补原理及控制方法
为什么要变 象限？
Fi,j < 0
y
Fi,j > 0
x o
Fi,j > 0
Fi,j < 0
第三章 插补原理及控制方法
27
小结
Fi,j > 0 ，ΔX ，Xi+1=Xi+1 Fi+1,j = Fi,j – Ye
yj = yj
则 M1点的偏差为：
A M(xi,yj) M1( xi +1, y j ) x
y
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye
= x e y j - ( xi + 1) ye
αi
α
o
=( x e y j - xi ye ) – ye
Fi+1,j = Fi,j - ye
第三章 插补原理及控制方法 2
插补计算就是对数控系统输入的基本数据， ( 如直线起点、终点坐标值，圆弧起点、圆心、 圆弧终点坐标值、进给速度等 ) ，运用一定的算 法计算，由数控系统实时地算出各个中间点的坐 标。即需要“插入补上”运动轨迹各个中间点的 坐标，通常将这个过程称为“插补”。 插补结果是输出运动轨迹的中间点坐标值， 机床伺服系统根据此坐标值控制各坐标轴的相互 协调运动，走出预定轨迹。
o
α
αi
第三章 插补原理及控制方法
x
16
当M点在直线上方时，+ΔX
(αi> α) (αi< α)
Fi,j > 0
Fi,j < 0
y
A (Xe,Ye)
当M点在直线下方时, + Δ Y
M (xi,yj)
当M点在直线上时， + Δ X
(αi= α)
Fi,j = 0
o
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
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第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j < 0，应+ΔY 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i , y j +1 ) 得： xi = xi yj+1 = yj +1 则 M1点的偏差为：
A M1( xi , y j+1 ) y
Fi,j+1 = x e y j+1 - x i ye = x e (y j +1)- xi ye =( x e y j - xi ye ) + xe
向，从而按规定的图形加工出合格的零件。
第三章 插补原理及控制方法
12
逐点比较法特点是：计算机每控制机床坐标 （刀架）走一步时都要完成四个工作节拍。 第一、位置判别 判别实际加工点相对规定几 何轨迹的偏离位置，然后决定刀具走向； 第二、坐标进给 控制某坐标轴工作台进给一 步，向规定的几何轨迹靠拢，缩小偏差； 第三、偏差计算 计算新的加工点对规定轨迹 的偏差，作为下一步判别走向的依据； 第四、终点判别 判别是否到达程序规定的加 工终点，若到达终点则停止插补，否则再回到 第一拍。
tg α=ye / xe
A (xe,ye)
y M (xi,yj)
=(xe yj-xi ye) / xe xi
令：Fi , j
xe y j xi ye
αi
x
为偏差函数
α
o
第三章 插补原理及控制方法
24
若 F i , j > 0，应 -ΔX 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i+1 , y j )
第三章 插补原理及控制方法
10
※ 常用的插补算法
数字积分插补计算法（简称数字积分法） 采用数字积分法进行插补的优点： 运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐 标联动或多坐标空间曲线的插补，在轮廓控制数 控系统中应用广泛。
第三章 插补原理及控制方法
11
3.1 逐点比较法插补
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法） 又称区域判别法。 其原理是：计算机在控制加工轨迹过程中 逐点计算和判断加工偏差以控制坐标进给方
偏差函数
Fi , j xe y j xi ye
是决定进给方向的判据。
求算偏差时，需要乘法、减法，比较麻烦； 一个简便的方法是：
“递推法”
y
A (Xe,Ye)
M (xi,yj)
o
α
αi
x
18
第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j > 0，应+ΔX 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i+1 , y j )
+ ΔY
N
终点？ 结束
第三章 插补原理及控制方法 29
作 业
试推导逐点比较法直线插补第三象限 直线的递推公式，并画出程序流程图。
注意：1、正确设定偏差函数
2、进给运动后的坐标增量均为数值增加。
第三章 插补原理及控制方法
30
二、逐点比较法圆弧插补—第一象限
设要加工第 I 象线逆圆弧AE, M为某一时刻加 工点，其坐标为（xi , y j） 当M点在圆外时，-ΔX (Rm> R) 当M点在圆内时, + Δ Y (Rm < R) 当M点在圆上时， - Δ X (Rm= R)
当M点在圆内时,
(F < 0)
+ΔY
Yj+1= Yj + 1
y
Xi = Xi
则 M1点的偏差为：
Fi,j+1=
=(Xi2 +
Xi2 +
当 Fi,j > 0时，X轴向目标进给一步（I、IV象 限+ΔX , II、III象限-ΔX ）, 其坐标值加一。
y
Fi,j < 0 ， ΔY， Yj+1=Yj+1 Fi,j +1 = Fi,j +Xe 当Fi,j < 0时，y轴向目标进给 一步（I、II象限+ΔY, III、IV 象限 -ΔY ）, 其坐标值加一。
Fi,j > 0
x
Fi,j < 0
o
Fi,j > 0
Fi,j < 0
第三章 插补原理及控制方法
28
程序流程
N Y
G01 Fi,j < 0
N N
Y
II、III?
I、II?
Y
- ΔX
Xi+1=Xi+1 Fi+1,j = Fi,j - Ye
+ ΔX
- ΔY
Yj+1=Yj+1 Fi,j +1 = Fi,j +Xe
第三章 插补原理及控制方法
8
※ 常用的插补算法
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法）
数字积分插补计算法（简称数字积分法） 时间分割插补计算法（简称时间分割法）
最小偏差插补计算方法等。
第三章 插补原理及控制方法
9
※ 常用的插补算法
逐点比较插补计算法（简称逐点比较法） 开环数控机床采用，可实现直线、圆弧、其 他二次曲线（椭圆、抛物线、双曲线等）插补。 特点：运算直观，最大插补误差≤1个脉冲当 量，脉冲输出均匀，调节方便。
插补器： 数控装置中完成插补运算工作的装置或程序。 插补器分：硬件插补器 软件插补器 软硬件结合插补器 早期NC数控系统： 硬件插补器，由逻辑电路组成，运算速度快， 但灵活性差， 结构复杂，成本较高。
第三章 插补原理及控制方法
6
※插补方法的分类
CNC数控系统： 多采用软件插补器，通过计算机程序来完成 各种插补功能，结构简单，灵活易变，但速度较 慢。 现代CNC数控系统： 软件插补或软、硬件插补结合的方法，由软 件完成粗插补，硬件完成精插补。 粗插补采用软件方法，将加工轨迹分割为线段， 精插补采用硬件插补器，将粗插补分割的线段进 一步密化数据点。 粗、精插补结合的方法对数控系统运算速度 要求不高，可节省存储空间，且响应速度和分辨 率都较高。
o
α
αi
M( x i , y j ) x
F i ,j +1 = Fi ,j +x e
第三章 插补原理及控制方法 20
Fi,j > 0 ，+ΔX ，Fi+1,j = Fi,j – ye
Fi,j < 0 ，+ ΔY，Fi,j +1 = Fi,j +xe
由此可见，新加工点的偏差值可以用前 一点的偏差值递推出来，即下一点的偏差可 由当前点的偏差计算出来。而当前点的偏差 又可知（如：初始点F0,0 =0 ）因而依次可得 以后各点的偏差。
第三章 插补原理及控制方法
21
举例说明直线插补过程
设在第一象限加工一直线段OA，起点为坐 标原点，终点坐标为 x e ＝4， ye ＝5。
第三章 插补原理及控制方法
22
第三章 插补原理及控制方法
23
3.1 逐点比较法插补---不同象限直线插补
第二象限
tg αi= yj / xi
tg αi- tg α = yj/ xi –ye / xe
第三章 插补原理及控制方法
13
一、 逐点比较法插补---直线插补
设要加工直线OA, M为某一时刻加工点，其 坐标为（xi ，y j） 当M点在直线上方时，+ΔX (αi> α) 当M点在直线下方时, + Δ Y (αi< α) 当M点在直线上时， + Δ X (αi= α)
o y M (x i y j ) A
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第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j < 0，应+ΔY 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i , y j +1 ) 得： xi= xi yj+1 = yj +1 则 M1点的偏差为：
y M1( xi , y j+1 ) A
Fi,j+1 = x e y j+1 - x i ye = x e (y j +1)- xi ye =( x e y j - xi ye ) + xe
第三章 插补原理及控制方法
数控技术
※插补的概念
插补(Interpolation)：根据给定进给速度 和给定轮廓线形的要求，在轮廓的已知点 之间，确定一些中间点的方法，这种方法 称为插补方法或插补原理。 插补技术是数控系统的核心技术。数控 加工过程中，数控系统要解决控制刀具或 工件运动轨迹的问题。刀具或工件一步步 移动，移动轨迹是一个个小线段构成的折 线，不是光滑曲线。刀具不能严格按照所 加工零件的廓形运动，而用折线逼近轮廓 线型。
得： xi+1= xi + 1
yj = yj
则 M1点的偏差为：
y M( x i , y j ) A
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye
= x e y j - ( xi + 1) ye
=( x e y j - xi ye ) – ye
o
α
αi
M1( xi+1 , y j ) x
Fi+1 , j = F i , j - ye
第三章 插补原理及控制方法
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※插补方法的分类
直线和圆弧是构成零件轮廓的基本线型， CNC系统都有直线插补、圆弧插补两种基本功能 。 三坐标以上联动的CNC系统中，一般还有螺 旋线插补等功能。 一些高档CNC系统中，已出现了抛物线插补 、渐开线插补、正弦线插补、样条曲线插补和球 面螺旋线插补等功能。
o y E
M (Xi,Yj)
Rm R
A
x
第三章 插补原理及控制方法
31
由勾股定理得：
R m2 = Xi2 + Yj2
比较R m与R 只需比较R2m与R2的大小
令偏差函数：
F = R2m- R2 = Xi2+Yj2 - R2
y
E
M (Xi,Yj)
Rm R o
第三章 插补原理及控制方法
A x
32
当M点在圆外时，
则 M1点的偏差为：
Fi+1,j =
= (Xi
-
Xi+1 2 +
Yj -
2
R2
y
E M1( xi +1, y j ) Rm R o
M (Xi,Yj)
1)2 - R2
=(Xi2 + Yj2 - R2) – 2 Xi + 1
递推公式： Fi+1,j = Fi,j – 2 Xi + 1
A
x
第三章 插补原理及控制方法 34
15
其中 tg αi= y j / xi
tgα= y e / x e
tg αi -tgα= y j / xi - y e / x e
= (x e y j – x i y e ) / x e x i
令： Fi , j xe y j xi ye 为偏差函数
y A (Xe,Ye)
M (xi,yj)
第三章 插补原理及控制方法
3
Y 8 7 5 6 A(5,3)
4 3
2 O 1 X
插补轨迹
第三章 插补原理及控制方法 4
数控系统使用的插补方法决定刀具沿什么 路线进给。 虽然存在插补拟合误差，但脉冲当量相当 小（ mm、nm、μm级），插补拟合误差在加 工误差范围内。
第三章 插补原理及控制方法
5
※插补方法的分类
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
14
当M点在直线上方时，+ΔX (αi> α) tg αi> tg α 当M点在直线下方时, + Δ Y (αi< α) (αi= α) tg αi< tg α tg αi= tg α
y M (x i y j ) A
当M点在直线上时， + Δ X
o
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
(F> 0) (F < 0) (F= 0) -ΔX +ΔY -ΔX Xi+1=时, Yj+1= Yj + 1 Xi+1= Xi - 1 当M点在圆上时,
E
M (Xi,Yj)
Rm R o
A x
第三章 插补原理及控制方法
33
当M点在圆外和圆上时， (F> 0) -ΔX Xi+1= Xi - 1
M(xi,yj) x
αi
α
o
Fi,j+1 = Fi,j + xe
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第三章 插补原理及控制方法
为什么要变 象限？
Fi,j < 0
y
Fi,j > 0
x o
Fi,j > 0
Fi,j < 0
第三章 插补原理及控制方法
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小结
Fi,j > 0 ，ΔX ，Xi+1=Xi+1 Fi+1,j = Fi,j – Ye