Ch2-1 随机变量分布函数及离散型
离散型随机变量公式
离散型随机变量公式
1.非负性：对于所有可能取的值x，P(X=x)≥0。
2.规范性：所有可能取的值的概率之和为1，即∑P(X=x)=1
3.可数可加性：对于所有可能取的值x1和x2，当x1≠x2时，
P(X=x1)+P(X=x2)即为两个事件同时发生的概率。
E(X)=∑xP(X=x)·x
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)。
这个公式可以理解为将每个可能的结果乘以其发生的概率，然后将所有结果的期望值相加得到。
Var(X) = ∑x [P(X=x)·(x - E(X))^2]
其中，∑表示对所有可能取的值x进行求和，并乘以对应的概率质量函数的值P(X=x)和(x-E(X))^2、这个公式可以理解为将每个可能的结果与期望值的差的平方乘以其发生的概率，然后将所有结果的加权平均值得到。
σ = √Var(X)
其中，Var(X)表示离散型随机变量X的方差。
标准差可以理解为方差的平方根，它与原始数据集的单位保持一致。
标准差越大，说明数据的离散程度越大；标准差越小，说明数据的离散程度越小。
总结起来，离散型随机变量的公式主要包括概率质量函数（PMF）的定义以及期望值、方差、标准差的计算公式。
这些公式可以用于描述和衡量离散型随机变量的特点和性质。
概率论与数理统计ch2随机变量及其概率分布精品PPT课件
10
X0
1
2
3
p p p(1-p) (1-p)2p (1-p)3
11
例：若随机变量X的概率分布律为
P( X k ) c k ，k 0,1, 2,, 0
k!
求常数c.
12
解：
1 P{X k}
k 0
k
c
ce
k0 k !
求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车 的概率； (2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单 位时间至少有3人候车的概率。
29
解：1 P(X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P(X 2)
1 e 4.8 (1 4.8 4.82 ) 0.8580 2!
2 设5个单位时间内有Y个单位时间是
15
对于一个随机试验，如果它的样本空间只
包含两个元素，即 S {e1, e2} ，我们总能
在S上定义一个服从（0－1）分布的随机
变量。
0, X X (e) 1,
当e e1, 当e e2.
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿 的性别进行登记，检验种子是否发芽以 及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都 可以用（0－1）分布的随机变量来描述 。
P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
21
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0，1，，n
并称X服从参数为p的二项分布，记
X ~ B(n，p)
n
注：1 ( p q)n Cnk pk qnk 其中q 1 p k 0
22
推导：以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }
2-1,2 随机变量的概念 离散型随机变量
k k
k!
…
e
…
称X为泊松分布. 记为: π(λ)或P(λ), ( 0)
P{ X k }
k
k!
e , k 0,1, 2, ,
1 放射性物质在一段时间内的放射次数 2 在一定容积充分摇匀的水中的细菌数
3 野外一定空间中的某种昆虫数
4 一段时间寻呼台接到的呼叫次数, 5 一段时间的交通事故数，
Y表示抽取结果 ω Y(ω) 红 100 黄 1000 绿 10000 白
100000
Y(ω)为从样本空间S到实数R的一个函数
例4 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面H反面 T的情况，样本空间是. S={ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT } 以X记三次投掷得到正面H的总数
0 1 10
1
6 10
2
3 10
3 1 1 2 C3 C32 C2 C3 C2 P( X 0) 3 P( X 1) 3 P( X 2) 3 C5 C5 C5
例5 汽车需经过四盏信号灯,每盏信号灯禁止汽 车通过的概率为p,X表示汽车首次停下时已通过 信号灯的盏数,求X的分布律 解 X 0 P p
从一批产品中任取一件
A A
正品
投中
A A
次品
没有投中
投一次篮球
2) n重伯努利试验
将伯努利试验独立重复n次 例如 1 某人重复射击10,每次1发子弹； 2 观察100只相同灯泡的寿命； 3 从一批产品中任取一件观察其为正品还 是次品,然后放回,重复1000次.
例 8 一批产品的废品率为 0.1 ，每次抽取 1 个， 观察后放回去，下次再取1个，求重复抽取3次恰 有2次取到废品的概率. 解 设Ai ={第i次取到废品} i 1,2,3 X--抽取3次取到的废品数
离散型随机变量优质课课件(精)
在可靠性问题中应用
寿命分布
通过分析产品的寿命数据，拟合 出合适的离散型随机变量分布， 预测产品的可靠性和使用寿命。
故障间隔时间分布
统计产品故障发生的时间间隔，用 离散型随机变量描述故障间隔时间 的概率分布，为产品的维修和保养 计划提供依据。
系统可靠性评估
基于离散型随机变量的概率分布， 计算系统的可靠度、可用度等指标 ，评估系统的整体性能和可靠性水 平。
定义
超几何分布描述了从有 限N个物件（其中包含K 个指定种类的物件）中 抽出n个物件，成功抽 出指定种类物件的次数 X的分布情况。
性质
超几何分布的期望EX =
nK/N，方差DX
=
nK(N-K)(N-n)/N^2(N-
1)。
应用场景
常用于描述不放回抽样 问题，如从一副扑克牌 中随机抽取若干张牌， 计算抽到某种特定牌型 的概率等。
定义
离散型随机变量是指其可能取值的个 数是有限的或可列的随机变量。
性质
离散型随机变量具有可数性和间断性 。可数性是指其可能取值的个数是有 限的或可列的；间断性是指其可能取 值之间存在“空隙”或“间隔”。
常见离散型随机变量类型
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验 中，成功的次数服从二项分布 。
几何分布
在伯努利试验中，首次成功所 需的试验次数服从几何分布。
0-1分布
随机变量只取0和1两个值，常 用于描述伯努利试验的结果。
泊松分布
描述单位时间内随机事件发生 的次数，常用于描述稀有事件 的概率分布。
超几何分布
从有限总体中不放回地抽取n 个样本，其中成功样本的个数 服从超几何分布。
分布律与概率质量函数
06
总结回顾与拓展延伸
概率论与数理统计离散性随机变量及其分布函数
求分布率一定要说 并且 解：X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 明 k 的取值范围！ 4 C k 1 PX k=—— k 5， 6， ， 10. 5
C 10
具体写出，即可得 X 的分布律：
X P
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
.
"
其中p
他答对题数" m这个随机变量 ~ B(5,1 / n) n k n k pk P ( m k ) p ( 1 p ) , ( k 0,1, ,5) k 5 1 p3 p4 p5 3 4 4 4 4 4 5 4 0.10
概率分布的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
k 1
规范性
二、离散型随机变量的分布函数
F ( x) P( X x) P( ( X xk ))
xk x
xk x
P( X x
k
)
xk x
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为p.
X=0
X =1
X =2
X =3
X =4
男 女
X的概率函数是：
k k P{X k}C4 p (1 p)4k ,
X可取值0,1,2,3,4.
k 0,1,2,3,4
试求 PX 4．
随机变量分布函数
随机变量分布函数在概率论中，随机变量是一个实数值函数，其取值是由试验结果的概率分布所决定的。
随机变量的分布函数描述了随机变量在实数轴上的取值范围及其概率分布情况。
在数学上，随机变量分布函数可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量分布函数：离散型随机变量的取值为一系列离散的数值。
随机变量的分布函数F(x)可以表示为：F(x)=P(X≤x)，其中X表示随机变量，P(X≤x)表示随机变量小于或等于x的概率。
例如，考虑一个掷硬币的试验，随机变量X表示掷硬币正面朝上的次数。
X的取值范围为0、1和2，掷硬币正面朝上的概率分别为1/4、1/2和1/4、则X的分布函数为：F(x)=0（x<0）F(x)=1/4（0≤x<1）F(x)=3/4（1≤x<2）F(x)=1（x≥2）。
连续型随机变量分布函数：连续型随机变量的取值为一个连续的数值区间。
随机变量的分布函数F(x)可以表示为：F(x)=P(X≤x)，其中X表示随机变量，P(X≤x)表示随机变量小于或等于x的概率。
例如，考虑一个随机变量X符合标准正态分布（均值为0，方差为1），其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = ∫(−∞，x)f(t)dt，其中f(t)表示X的概率密度函数。
从分布函数可以推导出随机变量的概率密度函数，概率密度函数是分布函数的导数。
对于离散型随机变量，概率密度函数在取值点上的导数是0，其他点的导数是无穷大；对于连续型随机变量，概率密度函数在所有点上的导数都存在。
随机变量的分布函数具有以下性质：1.F(x)是非减函数，即对于任意x1≤x2，有F(x1)≤F(x2)。
2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤13. F(x)在负无穷处的极限为0，即lim(x→−∞)F(x) = 0。
4. F(x)在正无穷处的极限为1，即lim(x→+∞)F(x) = 1随机变量分布函数在概率论和统计学中都有广泛应用。
通过分布函数，我们可以计算出随机变量在一些特定取值上的概率，也可以计算出随机变量的期望值、方差等统计量。
随机变量的分布函数
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
《概率统计》
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结束
§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.
第二节离散型随机变量及其分布
这时X的分布函数为：
F
(
x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
例3 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取
一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P( A1 )P( A2 )P( Ak1 )P( Ak )
55%k145%，k 1,2,
P{ X取偶数} P{ X 2k} 55%2k145%
k 1
k 1
11 31
)
21 36
1. 2
注：一般，设离散型随机变量X的分布律为：
P( X xi ) pi，i 1，2，
则X的分布函数为： F ( x) P( X x) P( X xi )，
即
F ( x) pi .
xi x
xi x
例2. 将3封信随机地投入3个信箱(每个信箱至少可容纳3 封信)，
设X表示装了信的信箱个数，求(1) X的分布律，(2) X的分布函数.
若用泊松定理作近似计算, 这时 np 6.
于是C610000.09.9090610000.96090!9e5996916e!e6
6
0.00248, 6e6 0.01487,
p 0.98269.
故 P( X 2) 1 0.00248 0.01487 0.98265.
第二节离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其概率分布
将暴雨发生看做稀有事件, 利用泊松分布来建 立上海市一个夏季暴雨发生 k (k = 0,1,2,L) 次的概率分 布模型.
设 X 表示夏季发生暴雨的次数, 由于 故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为
λ = np = 153 ×
180 = 2.9, 63 × 153
P{ X = k} =
2.9 k − 2.9 e , k!
k = 0,1,2,L.
由上述 X 的概率分布计算63年中上海市夏季发 生 k 次暴雨的理论年数 63P{X = k}, 并将它与资料记 载的实际年数作对照, 这些值及 的值均列入 下表.
P{ X = k}
课堂练习
1.某类灯泡使用时数在 1000 小时以上的 概率是 0.2, 求三个灯泡在使用 1000 小时以后 最多只有一个坏了的概率. 2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均 设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿 与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种 信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次 遇到红灯前已通过的路口的个数, 求 X 的概率 分布.
i
X
i
i
X pi
x1 p1
x2 L p2 L
xn L pn L
二、常用离散分布
退化分布 两点分布 个点上的均匀 分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布：泊松分布是概率论中最重 要的几个分布之一. 实际问题中许多随机 现象都服从或近似服从泊松分布.
三、二项分布的泊松近似
定理1 定理 (泊松定理) 在 n 重伯努利试验中, 事件 A 在每次试验中发生的概率为 (注意这与试验的 次数 n 有关), 如果 n → ∞ 时, np → λ ( λ > 0 为常数), 则对任意给定的 k , 有
离散型随机变量(优质课课件)
离散型随机变量的分类
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试验只有两种可能 的结果，例如抛硬币、摸球等。
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的概率为p，则成 功的次数k服从参数为n和p的二项分布。
泊松分布
在单位时间内（或单位面积上）随机事件的次数服从泊松 分布，其中泊松分布的参数λ是单位时间内（或单位面积 上）随机事件的平均发生率。
保险精算
离散型随机变量可以用来 进行保险精算，如生命表 、风险评估等。
在计算机科学中的应用
数据压缩
离散型随机变量可以用来 进行数据压缩，如熵编码 、算术编码等。
加密算法
离散型随机变量可以用来 设计加密算法，如伪随机 数生成器、流密码等。
机器学习
离散型随机变量可以用来 进行分类、聚类等机器学 习任务，如朴素贝叶斯分 类器、决策树等。
离散型随机变量(优质课课件)
汇报人：可编辑
2023-12-27
CONTENTS
• 离散型随机变量的定义与性质 • 离散型随机变量的概率分布 • 离散型随机变量的期望与方差 • 离散型随机变量的应用 • 离散型随机变量的模拟实验
01
离散型随机变量的定义与性质
定义
1 2
离散型随机变量
在一定范围内取值，并且取值结果可以一一列举 的随机变量。
列举法
列出随机变量所有可能的取值以及对应的 概率。
列表法
列出随机变量所有可能的取值以及对应的 概率，整理成表格。
公式法
用数学公式表示概率分布，比如二项分布 、泊松分布等。
常见离散型随机变量的概率分布
二项分布超几何分布源自描述n次独立重复试验中成功次数的 概率分布，比如投掷硬币。
离散型随机变量与分布
离散型随机变量与分布一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可数个值的随机变量。
通常用字母X来表示离散型随机变量，例如X={x1, x2, x3, ...}。
每个xi表示X取某个值的情况，对应的概率为P(X=xi)，概率取值介于0和1之间，且所有xi对应的概率之和等于1。
二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律描述了X取不同值的概率分布情况。
记为P(X=xi)或P(X)。
其中，xi表示随机变量X可能取到的某个值，P(X=xi)表示X取xi时的概率。
常见的离散型随机变量分布律包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一类只有两种结果的随机试验，例如抛硬币或投骰子。
若随机变量X表示试验成功的概率，则伯努利分布的分布律为：P(X=x) = p^x(1-p)^(1-x)，其中p表示试验成功的概率。
2. 二项分布：二项分布是n重伯努利试验的离散型随机变量分布。
它描述了进行n次独立的成功-失败试验（伯努利试验）中成功次数X的概率分布。
其分布律为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选k次成功的组合数。
3. 泊松分布：泊松分布适用于描述一段时间或一定空间内随机事件发生的次数。
其分布律为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
4. 几何分布：几何分布适用于描述在n次独立的伯努利试验中，首次获得成功的次数。
其分布律为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中p表示每次试验成功的概率。
5. 二项负分布：二项负分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，获得r次成功时需要进行的试验次数。
其分布律为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中p表示每次试验成功的概率。
三、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望和方差是对离散型随机变量分布的特征进行度量的指标。
概率论与随机过程：2-1 随机变量及其分布函数
例3 设有函数 F(x)
F(x)
sin
x 0
0 x
其它
试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.
解： 注意到函数 F(x)在[ 2, ]上下降，
不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.
或者
F() lim F(x) 0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.
练：设连续型随机变量X的分布函数为
第二章教学计划（第1次课）
教学内容：
1.随机变量及其分布函数； 2.离散型随机变量及其分布。 教学目的及目标：
1.理解随机变量、分布函数、分布律的概念； 2.能对实际问题建立适当的随机变量，会求其分布函数； 3.能熟练求离散型随机变量的分布律，熟练掌握三种重要的
离散型分布; 4. 熟练掌握分布函数、分布律的性质及二者间的关系,并能熟
随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大 事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研 究，就由对事件及事件概率的研究转变为对随机变 量及其取值规律的研究.
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
对于随机试验，要求能够定义适当的随机变量表示 试验结果。
（*）例3: 考虑“测试灯泡寿命”这一试验。试验结 果本身是用数字描述的，令X表示灯泡的寿命 （以小时计），则X是随机变量，定义域为样本 空间 ={t|t≥0}，值域为RX=[0，+∞）。 {X＜500}：“任取出的灯泡的寿命小于500小时”；
随机变量的分布：对一个随机变量的统计规律性
的完整描述。
2、引入随机变量的意义
随机变量实际上就是定义域为事件域，值 域为实数集或其子集的一种实值函数.
ω.
X(ω)
Ω
离散型随机变量及其分布函数
k
k!
(k0,1,2,,n).
两点分布 n1二项分布 n1,0 p0 .1泊松分布
备份题
合理配备维修工人问题
例1 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工 人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产), 现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生 故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障 可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少 需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及 时维修的概率小于0.01?
P {X k } 2 k (0 0 .2 )k(0 .8 )2 0 k,k0 ,1 , ,2.0
P {X0}0.012P {X4}0.218P {X8}0.022 P {X1}0.058P {X5}0.175P {X9}0.007 P {X2}0.137P {X6}0.109P {X1}0 0.002 P {X3}0.205 P {X7}0.055
解 ： X的分布律为
X
012 3 4
pk
p
(1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p ) 4
离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：
F ( x) P{X x} pk P ( X xk ).
xk x
xk x
也就是：
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{ X x} pk
说明 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.
三、内容小结
1.常见离散型随机变量的分布
两点分布
二项分布
泊松分布
几何分布
超几何分布
2.二项分 (0 布 1)分 与、 布 泊松分布之 .
二项分布(是 01)分布的推, 对 广于n次独
概率论与数理统计ch2随机变量及其分布课件
数学期望
对于随机变量的函数变换$g(X)$，其数 学期望的计算公式为： E[g(X)]=∫−∞∞g(x)f(x)dxF[G(X)]=int_{infty}^{infty} g(x) f(x) dxF[G(X)]=∫−∞∞g(x)f(x)dxF(x)−∞∫g( x)dxF其中，f(x)f(x)f(x)是随机变量X的概 率密度函数。
THANKS
感谢观看
数学期望
方差
03
连续型随机变量
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能取值是某个区间上的所有实数，并且X取这个区间 内任一实数值的概率不为0，则称X为连续型随机变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量的数学工具，其定义域为实数轴上的区间，值域为[0,∞)， 表示随机变量取某个值的概率。
VS
方差
对于随机变量的函数变换g(X)，其方差的 计算公式为： D[g(X)]=∫−∞∞[g(x)−E[g(X)]]2f(x)dxF[ G^2(X)]=int_{-infty}^{infty} [g(x)E[g(X)]]^2 f(x) dxF[G2(X)]=∫−∞∞[g(x)−E[g(X)]]2f(x)d xF其中，f(x)f(x)f(x)是随机变量X的概率 密度函数。
常见的多维随机变量及其分布
二维正态分布
二项分布
二维正态分布是一种常见的多维随机 变量分布，它由两个正态分布的随机 变量组成，具有许多重要的性质和应 用。
二项分布是一种离散型多维随机变量 的分布，它描述了n次独立重复试验 中成功的次数。
多元正态分布
多元正态分布是多维正态分布的推广， 它由多个正态分布的随机变量组成， 可以用来描述多个相互关联的随机变 量的联合概率分布。
离散型随机变量及其概率分布课件
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
分析：两个数之和为偶数表示两个数都是偶数或两个数 都是奇数，事件“AB”发生即取到的两数都是偶数．
解析：∵P(A)＝C22＋C25C32＝140，P(AB)＝CC5222＝110， ∴P(B|A)＝PPAAB＝14.
答案：B
(2012·宁夏银川一中模拟)从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2
若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”，身 高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”，且只有 “女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子” 中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，则至少有一人是“高个 子”的概率是多少？
解析：P(ξ＝0)＝14，P(ξ＝1)＝34， ∴E(ξ)＝0×14＋1×34＝34.
答案：34
条件概率
[例 4] (2011·辽宁理，5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的
数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取
到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
1
(2)离散型随机变量的两个性质： ①pi≥0，i＝1,2，…n； ②p1＋p2＋p3＋…pn＝1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个 范围内各个值的概率之和．
3．两点分布
如果随机变量 X 的分布列为
X
1
0
P
p
1－p
其中 0<p<1，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两
点分布，称 p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 ξ 表示所选 志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 ξ 的分布列，并 求 ξ 的数学期望．
随机变量及离散型随机变量
P( X 1 X 0) P( X 1, X 0) P( X 0)
P( X 1) 0.3 3 1 P( X 0) 0.7 7
例3.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。
有些初看起来与数值无关的随机 现象，也常常能用数值来描述。
例如，在掷一枚硬币问题中，每次 出现的结果为正面（记为H）或反面 （记为T），与数值没有关系，但是我 们可以用下面方法使它与数值联系起来， 当出现正面时对应数“1”，而出现反面 时对应数“0”，
即相当于引入一个定义在样本空间
{H,T} 上的变量 X () ，其中
这个性质称为几何分布的无记忆性。
（六* ）超几何分布
例 7：某班有学生20名，其中有5名女同学，今从班上
任选4名学生去参观展览，被选到的女同学人数X是一个随
机变量，求X的概率分布
解：容易得到X的分布为P( X
k)
C5kC145k C240
k 0,1,2,3,4
X0
1
2
3
4
P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010
例1：做一次试验，其结果只有两种，成功和失败，
若令成功的概率为 p，用 X表示试验成功与否，则 X的分
布律为： X 0 1
P 1 p p
我们将此类试验称为伯努利试验，此种分别称为0 1分布 或称两点分布
（三）二项分布
定义 设将一个贝努里试验独立重复进行n次，每 次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次 试验为n重贝努里试验. n重贝努里试验中事件A恰好
一、随机变量
定义. 设 ={}是试验的样本空间，如 果量X是定义在上的一个单值实值函 数即对于每一个 ，有一实数 X=X()与之对应，则称X为随机变量 。直观上讲，随机变量就是随着试验 结果的不同而取不同数值的量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、、等 表示。
离散型随机变量及其分布率.ppt
（1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果
且P(A)=p ，P( A) 1 p ；
2019/11/13
（3）各次试验相互独立。 15
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功” 次数X的概率分布.
若X的分布律为：
P{X k} Cknpkqnk , k 0,1,2,n 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
现“4”点的次数。
不难求得，X的概率分布是：
P{
X
k}C
k 3
(
1 6
)k
(
5 6
)3
k
,
k0,1,2,3
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13
一般地，设在一次试验中只考虑两个互逆的结果， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”
新生儿：“是男孩”，“是女孩”
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
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27
上面我们提到 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
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28
例 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每 辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率0.0001, 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故 的次数不小于2的概率是多少? 解 设1000 辆车通过,出事故的次 数为 X , 则 X ~ b(1000, 0.0001),
1, 若第 i 次试验成功 Xi 0, 若第 i 次试验失败,
(i 1,2,,n)
它们都服从 (0 1) 分布并且相互独立, 那末
X X1 X2 Xn 服从二项分布,参数为(n, p).
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的可能结果。
离散型随机变量是指可能取有限个或者可数个值的随机变量。
在概率论中，我们通常通过概率函数和分布函数来描述离散型随机变量的性质和分布情况。
概率函数是离散型随机变量的重要工具，它定义了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=x)，其中x为X可能取的某个值。
概率函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0。
2. 正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
通过概率函数，我们可以计算离散型随机变量的期望值、方差等统计量。
例如，对于一个服从二项分布的离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
通过计算概率函数，我们可以得到二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
除了概率函数，分布函数也是描述离散型随机变量的重要工具。
分布函数描述了随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)。
分布函数具有以下性质：1. 单调性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
2. 有界性：对于任意的x，0≤F(x)≤1。
3. 右连续性：对于任意的x，有lim[F(x+Δx)]=F(x)，其中Δx→0。
通过分布函数，我们可以计算离散型随机变量落在某个区间的概率。
例如，对于一个服从泊松分布的离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=∑(k=0 to x)P(X=k)=e^(-λ)∑(k=0 to x)λ^k/k!，其中λ为平均发生率。
通过计算分布函数，我们可以得到泊松分布在某个特定值x处的概率P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!。
概率函数和分布函数是描述离散型随机变量的重要工具，它们可以帮助我们了解随机变量的性质和分布情况。
离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数
1 离散型随机变量及其分布函数
离散型随机变量是指取值的范围有限且为定值的随机变量。
离散型随机变量可以用来描述离散的结果，如两种可能的活动结果（成功或失败）等。
其取值为有限定值，故其直方图呈离散形态。
分布函数是离散型随机变量的另一种描述。
分布函数定义为这个离散随机变量小于等于某个数值的概率。
当离散型随机变量有n个可能的取值时，其分布函数为F(x)=∑i=1nP(X≤xi)，其中P(X≤xi)表示离散随机变量X小于等于xi的概率。
离散随机变量的分布函数可以使用一表表示，也可以用折线图表示。
当有多组分布函数数据时，这些多组数据可以在一张折线图上表示，这样可以更加直观地比较不同分布函数的差异。
离散随机变量的分布函数有助于更深入理解离散随机变量的取值和概率的分布情况，促进数据的分析和预测，从而支持决策做出更加准确合理的判断。
离散型随机变量及分布函数
X ~ b ( 1000 , 0 . 0001 ),
故所求概率为 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
1 0 . 9 9 9 9 C 0 . 0 0 0 1 0 . 9 9 9 9
因此所求概率为
P {}( X k C 0 . 2 ) ( 0 . 8 ) , k 0 , 1 , , 2 0 .
k k 2 0
2 0 k
例3 某人进行射击 ,设每次射击的命中率 0 .02 ,
独立射击 400 次 ,试求至少击中两次的概 率 .
解 设击中的次数为 X,
则 X ~ b ( 400 , 0 . 02 ).
np ( n ) 二项分布 泊松分布
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取 的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为 k! 其中 0是常数 .则称 X服从参数为 的泊松分 布 ,记为 X ~ π(). P{X k}
ke
, k 0,1,2, ,
第二章 随机变量及其分布
§1.随机变量
一、随机变量的引入
二、随机变量的概念
1、有些试验结果本身与数值有关（本身 就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；
每天从绵阳下火车的人数；
十月份绵阳的最高温度；
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化.
例2 按规定 ,某种型号电子元件的使 用寿命超过
品率为 0 .2 ,现在从中随机地抽查 20 只 .问 20 只元件
1500 小时的为一级品 .已知某一大批产品的一 级
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四、随机变量的分类
常见有如下两类：
离散型随机变量
所有取值可以逐个
随 机 变
一一列举
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等. 全部可能取值不仅
无穷多，而且还不能
量 连续型随机变量
一一列举，而是充满
…….
一个区间.
例如，“电视机的寿命”，实 际中常遇到的“测量误差”等.
随 离散型随机变量 机 变 量 连续型随机变量
1 点数为6; Z 0 点数不为6.
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示
而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.
随机变量概念的产生是概率论发展 史上的重大事件. 引入随机变量后，对 随机现象统计规律的研究，就由对事件 及事件概率的研究扩大为对随机变量及 其取值规律的研究.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={：a < X() 注意以下一些表达式： {X = k}= {X k}{X < k}； {a < X b} = {X b}{X a}； { X > b} = {X b}.
又∵P{a<X≤b}≥0, ∴F(a)≤F(b).
它表明随机变量X落在区间(a,b]上的概
率可以通过它的分布函数来计算.
（2） xR1 ,总有0≤F(x)≤1(有界性),且
lim F (x) 0
x
lim F (x) 1
x
记 lim F(x)为F() 记 lim F(x)为F()
x
x
（3）F(x)是一个右连续的函数
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.
例2 掷一颗骰子，令 X：出现的点数．则 X 就是一 个随机变量． 它的取值为1，2，3，4，5，6．
X 4 表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶数 表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：
1 出现偶数点; Y 0 出现奇数点.
16
k 0,1,2 pk 10 10
3 10
这两种类型的随机变量因为都是随机变 量，自然有很多相同或相似之处；但因其取 值方式不同，又有其各自的特点.
学习时请注意它们各自的特点和描述方法.
第二章 第二节 离散型随机变量
设X是一个离散型随机变量，它可能取 的值是 x1, x2 , … .
为了描述随机变量 X ，我们不仅需 要知道随机变量X的取值，而且还应知道 X取每个值的概率.
1
还 可 能 中 未中 中
2
还 可 能 中 中 未中
2
另 外 可 能中 中 中
3
未中未中未中
Ω= 未中 中未中 中未中未中 中 中未中
未中未中 中 未中 中 中
中未中 中 中 中中
0
1
2
3
这是Ω到实数轴R的一个映射
如果记做X,则X把映射到X()
随机变量的定义
定义 2.1.1 设E是随机试验,Ω是其样 本空间.如果对每个Ω,总有一实数 X()与之对应,则称这个Ω到实数轴的 映射(也叫Ω上的实值函数)X()为E的 一个随机变量. (random variable)
k=1,2, … 一个函数是否是
概率分布
（2） pk 1
k
二、表示方法
（1）列表法：
X x1 x2 xk
再看例1 任取3 个球
pk p1 p2 pk
（2）公式法
P{X xk } pk ,
X为取到的白球数 X可能取的值0,1,2
k 1,2, . X 0 1 2
P{X k} C33k C2k ,
随机变量常简记为 r.v.
这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数.
w.
X(w) R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到 的函数一样吗？
注 意 点 (1)
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机 变量X所取的一切可能值，称
P{X xk} pk , k 1,2,
为离散型随机变量X的概率分布或分布律.
或表示为 X x1 x2 …… xn ……
P p1 p2 …… pn ……
其中 pk (k=1,2, …) 满足： 用这两条性质判断
（1） pk 0,
2、 有些试验,可以通过用把样本点编 号的办法,用数量来描述不同的样本点.
反面 0
正面 1
3、还有许多试验,我们往往比关心 样本点更关心试验后的某个数量.
某人抛掷篮球3次
可 能 未中 未中 未中
0
也 可 能 未中 未中 中
1
也 可 能 未中 中 未中
1
还 可 能 未中 中 中
2
又 可 能 中 未中 未中
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
从某一学校随机选一学生， 测量他的身高.
我们可以把可能的 身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P{X>1.7}=？ P{X≤1.5}=?
P{1.5<X<1.7}=?
三、随机变量的分布函数
定
设X()是一个随机变量.
称义函数 F(x)= P{X≤x},-∞<x<∞ 为随
机变量X的分布函数.
F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
分布函数的性质
（1）a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性),并且
Pa X b F(b) F(a)
证明: ∵{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},而 {X≤a}{X≤b}.
∴ P{a<X≤b}= P{X≤b}- P{X≤a} =F(b)- F(a).
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
取每个值的概率为 P{X 0}C33 1
且
3
P{X i} 1
i 1
C53 10
P{X
1}
CC32C53 21
6 10
这样，我们就掌握了X这个 随机变量取值的概率规律.
P{
X
2}CC31C53 22
3 10
一、离散型随机变量概率分布的定义
第二章 随机变量
第一节 随机变量
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，常把随机试验的结果用数 来表示，即把试验结果数量化，由此就产生 了随机变量的概念.
1、有些试验结果本身与数值有关（本身 就是一个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从西客站下火车的人数；
昆虫的产卵数；
七月份北京的最高温度；