2021年高考数学二轮复习 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

2021年高考数学二轮复习 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质
一、选择题
1．(xx·北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．y ＝e －x
B ．y ＝x
C ．y ＝ln x
D ．y ＝|x|
答案：B
2．函数f(x)＝x3＋sin x ＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A ．3
B ．0
C ．－1
D ．－2
解析：∵f(a)＝2⇒a3＋sin a ＋1＝2，
∴a3＋sin a ＝1.
∴f(－a)＝－a3＋sin(－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0.
答案：B
3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x
，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )
A ．(0，3)
B ．(0，3]
C ．(0，2)
D ．(0，2]
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，2a ＞0，（a －3）×1＋5≥2a 1
， 解得0＜a≤2.故选D.
答案：D
4．函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( )
A ．y ＝(1－ex)3(x ＞－1)
B ．y ＝(ex －1)3(x ＞－1)
C ．y ＝(1－ex)3(x∈R)
D ．y ＝(ex －1)3(x∈R)
解析：由已知函数可得3x ＋1＝ey (y∈R)，即3x ＝ey －1，所以x ＝(ey －1)3，x ，y
对调即得原函数的反函数为y ＝(ex －1)3(x∈R)．故选D.
答案：D
5．对实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1. 设函数f(x)＝(x2－2)(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
( )
A ．(－1，1]∪(2，＋∞)
B ．(－2，－1]∪(1，2]
C ．(－∞，－2)∪(1，2]
D ．[－2，－1]
解析：f(x)＝⎩⎨⎧x2－2，x2－2－()x －1≤1，x －1，x2－2－
()x －1>1 ＝⎩
⎪⎨⎪⎧x2－2，－1≤x≤2，x －1，x<－1或x>2， 则f(x)的图象如下图所示．
∵函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，
∴函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1或1<c≤2.故选B. 答案：B
6．函数y ＝ex ＋e －x ex －e －x
的图象大致为( )
解析：函数有意义，需使ex －e －x ≠0，其定义域为{x|x ≠0}，排除C ，D ，又因为y ＝ex ＋e －x ex －e －x ＝e2x ＋1e2x －1＝1＋2e2x －1
，所以当x ＞0时函数为减函数．故选A. 答案：A
二、填空题
7．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________．
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫416
＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋134＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋176＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫176 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－34＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－76 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫76 ＝－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34－sin 76
π ＝－316＋12＝516
. 答案：
516
8．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax －a －1)，给出下列命题：
①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}；
②f(x)有最小值；
③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；
④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．
其中真命题的序号是________．
解析：∵－1－a 与1的大小不能确定，须分类讨论，故①不对，而当a ＝0时，f(x)的值域是R ，即③正确，故②不对．显然，当a ＞0时f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故在
[2，＋∞)上是单调函数，故④对．
答案：③④
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋a x
(x≠0，a ∈R)． (1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；
当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)方法一设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a
x1
－x22－
a
x2
＝
x1－x2
x1x2
[x1x2(x1＋x2)
－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.
故a的取值范围是(－∞，16]．
方法二f′(x)＝2x－a
x2
，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′
(x)≥0恒成立，即2x－a
x2
≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．
10．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
(1)证明：函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，
∴f(x)是奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
∴f(x2－x1)＜0.
∴－f(x2－x1)＞0，即f(x1)＞f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．
(3)解析：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[－3，3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)，由f(1)＝－2，得
f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.
11．已知函数f(x)＝ex －e －x(x∈R，且e 为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t ，使不等式f(x －t)＋f(x2－t2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵f(x)＝ex －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x
，且y ＝ex 是增函数， y ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x 是增函数，∴f(x)是增函数． ∵f(x)的定义域为R ，
且f(－x)＝e －x －ex ＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，
由f(x －t)＋f(x2－t2)≥0对x∈R 恒成立，
则f(x －t)≥f(t 2－x2)． ∴t2－x2≤x －t ⇔x2＋x≥t 2＋t 对x∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122min 对一切x∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋122
≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12
，使不等式f(x －t)＋f(x2－t2)≥0对一切x 都成立．38904 97F8 韸LC35054 88EE 裮23361 5B41 孁 25509 63A5 接E28719 702F 瀯27741 6C5D 汝38542 968E 階38095 94CF 铏 M。