2021年广州市调研模拟数学试题及答案理科数学

广州市普通高中毕业班模仿考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选取题）和第Ⅱ卷（非选取题）两某些．答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应题目答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选取题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定． （1）若全集U=R ，集合{
}
124x
A x =<<，{}
10B x x =-≥，则U
A
B ＝
（A ）{}
12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}
12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i =a b +
（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中对的是
（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”充要条件
（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2
:,10p x x x ⌝∀∈--<R
（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
（D ）命题“若6απ=
，则1sin 2α=”否命题是“若6απ≠，则1sin 2
α≠” （4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()
0,2x ∈时,()2
2f x x =，则()7f =
（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示程序框图，输出成果为
（A ）()
22-，
（B ）()
40-，
开始
x =1，y =1，k =0
s =x -y ，t =x +y
x =s ，y =t
k =k +1
k ≥3输出(x ，y )
结束
是否
（C ）()
44--，
（D ）()
08-，
（6）各项均为正数等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 最小值为
（A ）78 （B ）48 （C ）60
（D ）72
（7）一种几何体三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2
直角三角形，俯视图是半径为1四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体体积为 （A ）
3π （B ）3π （C ）3π （D ）3π （8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像
相邻两条对称轴之间距离等于
2
π
，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45
（9）若实数,x y 满足约束条件220,
240,2,
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则x y 取值范畴是
（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3
,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（D ）[]1,2
（10）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>一种焦点F 作一条渐近线垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线
交于点B ，若2FB FA =，则此双曲线离心率为
（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）5
（11）将5位同窗分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1
人，则不同保送办法共有
（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种 （12）已知ABC ∆三个顶点A ，B ，C 坐标分别为()(
)
()0,1,
2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足
俯视图
1CP =，则OA OB OP ++最小值是
（A ）31- （B ）111- （C ）31+ （D ）111+
第Ⅱ卷
本卷涉及必考题和选考题两某些．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必要做答．第22题～第24题为选考题，考生依照规定做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上投影是1
2
，则=a b ． （14）已知()1cos 3θ+π=-
，则sin 22θπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ ．
（15）10
2a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中常数项为180，则a = ．
（16）已知()y f x =为R 上持续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >
零点个数为___________．
三．解答题：解答应写出文字阐明，证明过程或演算环节． （17）（本小题满分12分）
设n S 为数列{}n a 前n 项和，已知12a =，对任意*
n ∈N ，均有()21n n S n a =+．
(Ⅰ)求数列{}n a 通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
前n 项和为n T ,求证：1
12n T ≤<.
（18）(本小题满分12分)
如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 中点，过线段AD 中点P 作BC 平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ． （Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --余弦值．
（19）（本小题满分12分）
筹划在某水库建一座至多安装3台发电机水电站，过去50年水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，局限性80年份有，不低于80且不超过120年份有35年，超过120年份有5年.将年入流量在以上三段频率作为相应段概率，并假设各年年入流量互相独立．
（Ⅰ）求在将来4年中，至多1年年入流量超过120概率；
（Ⅱ）水电站但愿安装发电机尽量运营，但每年发电机最多可运营台数受年入流量X 限制，并有如下关系；
若某台发电机运营，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运营，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润均值达到最大，应安装发电机多少台？
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥离心率e =1C 上一点M
到点()30，
Q 距离最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 方程；
（Ⅱ）设1016A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，N 为抛物线2
2x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 切线交椭圆1C 于B ，C
A
B
C
D
P
M
N
A 1
B 1
C 1
D 1
两点，求ABC ∆面积最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数()e x
f x ax =-（e 为自然对数底数，a 为常数）在点()0,1处切线斜率为1-.
（Ⅰ）求a 值及函数()x f 极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2
e x
x <；
（III ）证明：对任意给定正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，
0x x ，恒有2
e x
x c <.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题计分．做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，觉得BD 直径圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；
（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=,
NF 与O 相交于点F ，求NF 最大值．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩
，
(θ为
参数，0a >)．
（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一种公共点在x 轴上，求a 值；
（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点距离．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知定义在R 上函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 值；
（Ⅱ）若,1αβ≥，()()4f f αβ+=，求证：41
3αβ
+≥．
广州市普通高中毕业班模仿考试
理科数学答案及评分参照
评分阐明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参照，如果考生解法与本解答不同，可依照试题重要考查内容比照评分参照制定相应评分细则．
2．对计算题，当考生解答在某一步浮现错误时，如果后继某些解答未变化该题内容和难度，可视影响限度决定后继某些给分，但不得超过该某些对的解答应得分数一半；如果后继某些解答有较严重错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表达考生对的做到这一步应得累加分数． 4．只给整数分数．选取题不给中间分．
一．选取题
（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D （7）A （8）B
（9）B
（10）C
（11）A
（12）A
二．填空题
（13）2
（14）7
9
- （15）2或2- （16）0 （其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）
三．解答题
（17）证明：（Ⅰ）由于()21n n S n a =+，
当2≥n 时，112n n S na --=，
两式相减，得()121n n n a n a na -=+-， 即()11n n n a na --=， 因此当2≥n 时，1
1
n n a a n n -=
-. 因此
1
1
n a a n =. 由于12a =，因此2n a n =. （Ⅱ）由于2n a n =，4(2)
n n n b a a =
+，*
∈N n ，
因此4111
2(22)(1)1
n b n n n n n n =
==-+++．
因此12n n T b b b =+++
1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=1111n n n -
=++． 由于
101n >+，因此1111
n -<+． 由于()11f n n =+在*
N 上是单调递减函数，
因此111
n -+在*
N 上是单调递增函数．
因此当1n =时，n T 取最小值2
1
．
因此1
12
n T ≤<.
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（18）（Ⅰ）证明：由于AB AC =,D 是BC 中点,因此,BC AD ⊥.
由于M ，N 分别为AB ，AC 中点，因此MN BC ．
因此MN AD ⊥.
由于1AA ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ，因此1AA ⊥MN . 又由于1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交, 因此MN ⊥平面11ADD A .
（Ⅱ）解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,
过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由（Ⅰ）知,MN ⊥平面1AEA , 因此平面1AEA ⊥平面1A MN . 因此AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥. 因此1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .
故AFE ∠为二面角1A A M N --平面角(设为θ)．
设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 中点，则M 为AB 中点，因此1
,12
AP AM =
=. 在1Rt AA P ，15
A P =
，在1Rt A AM 中，12AM =从而115AA AP AE A P =
=,112
AA AM AF A M ==
因此10
sin AE AF θ=
=. 由于AFE ∠为锐角，
因此2
2
1015cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
． 故二面角1A A M N --余弦值为
155
. 解法二：设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,觉得1A 坐标原点,分别以111,AE AD ,1A A 方向为
x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -(点O 与点1A 重叠)．
则()10,0,0A ,()0,0,1A .
A B
C
D
P M N
A 1
B 1
C 1
D 1
F
E C
由于P 为AD 中点,因此,M N 分别为,AB AC 中点，
故11,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 因此131,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
,()10,0,1A A =,(
)
3,0,0NM =
．
设平面1AA M 法向量为()1111,,x y z =n ，
则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,
A M A A ⎧•=⎪
⎨•=⎪⎩n n 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10.x y z x y z ⎧⎫
•=⎪
⎪⎪⎨⎝⎭⎪•=⎩ 从而11111
0,2
0.x y z z ++=
⎪=⎩
取11x =
,则1y =因此()
11,=n 是平面1AA M 一种法向量． 设平面1A MN 法向量为()2222,,x y z =n ,
则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,
A M NM ⎧•=
⎪⎨•=⎪⎩n
n 故有()())
222222
1,,,10,22,,0.x y z x y z ⎧⎛⎫
•=⎪
⎪
⎪⎪⎝⎭⎨⎪
•=⎪⎩ 从而2
2221
0,2
0.x y z ++=⎨⎪=⎩
取22y =,则21z =-, 因此()20,2,1=-n 是平面1A MN 一种法向量． 设二面角1A A M N --平面角为θ,又θ为锐角， 则12
12
cos θ•=
•n n n
n
=
=
. 故二面角1A A M N --余弦值为
5
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（19）解：（I ）依题意1101
(4080)505
P P X =<<=
=， 2357(80120)5010P P X =≤≤=
=，351(120)5010
P P X =>==． 由二项分布，在将来4年中至多有1年入流量超过120概率为：
43
0413
43433991C (1)C (1)4101010P P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
9477
0.947710000
=
=．
（Ⅱ）记水电站年总利润为Y （单位：万元），
由于水库年入流量总不不大于40,因此至少安装1台． ①安装1台发电机情形：
由于水库年入流量总不不大于40，因此一台发电机运营概率为1， 相应年利润5000=Y ，500015000EY =⨯=．
②安装2台发电机情形：
当8040<<X 时，一台发电机运营，此时42008005000=-=Y ， 因而1(4200)(4080)0.2P Y P X P ==<<==．
当80≥X 时，两台发电机运营，此时1000025000=⨯=Y ， 因而23(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=. 因此Y 分布列如下：
因此42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=． ③安装3台发电机情形：
当8040<<X 时，一台发电机运营，此时500080023400Y =-⨯=， 因而2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ．
当12080≤≤X 时，两台发电机运营，此时920080025000=-⨯=Y ，
此时7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P ．
当120>X 时，三台发电机运营，此时1500035000=⨯=y ， 因而1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ． 因此Y 分布列如下：
因此86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY ． 综上，欲使水电站年总利润均值达到最大，应安装2台发电机．
（20）解：（Ⅰ）由于2222
22
34
c a b e a a -===，因此22
4a b =． 则椭圆方程为,142222=+b
y b x 即222
44x y b +=．
设),(y x M
，则MQ ==
124)1(394632
2
2
2
+++-=++--=b y b y y ．
当1-=y 时，||MQ 有最大值为41242=+b ． 解得21b =，则24a =．
因此椭圆1C 方程是14
22
=+y x ． （Ⅱ）设曲线C ：2
y x =上点2
(,)N t t ，由于2y x '=，
因此直线BC 方程为：2
22),(2t tx y t x t t y -=-=-即． ①
将①代入椭圆方程14
22
=+y x 中整顿， 得04416)161(4
3
2
2
=-+-+t x t x t ．
则有)116(16)44)(161(4)16(2
4
4
2
2
3++-=-+-=∆t t t t t ．
且2
42123211614
4,16116t
t x x t t x x +-=+=+． 因此2122122124)(41||41||x x x x t x x t BC -++=-+=
2
2421611
16414t t t t +++-+=．
设点A 到直线BC 距离为d ，则2
d =
．
因此ABC ∆面积2
211||22116S BC d t ==•+．
=
= 当22±=t 时取到“=”，经检查此时0>∆，满足题意．
综上，ABC ∆面积最大值为8
65
．
（21）（I ）解：由()e x f x ax =-，得'()e x
f x a =-.
由于(0)11f a '=-=-,因此2a =． 因此()e 2x
f x x =-，'()e 2x
f x =-. 令'()0f x =,得ln 2x =．
当ln 2x <时，'()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递增. 因此当ln 2x =时，()f x 获得极小值,且极小值为ln 2
(ln 2)e 2ln 22ln 4,()f f x =-=-无极大值．
（Ⅱ）证明：令2
()e x
g x x =-,则'()e 2x
g x x =-.
由（I ）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增． 因此当0x >时，()(0)10g x g >=>，即2
e x
x <． （Ⅲ）证明一：①若1c ≥,则e e x
x
c ≤.
由（Ⅱ）知，当0x >时，2
e x
x <.因此当0x >时，2
e x
x c <.
取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x
x c <．
②若01c <<,令1
1k c
=
>， 要使不等式2
e x
x c <成立，只要2
e x
kx >成立．
而要使2
e x kx >成立，则只要2
ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立．
令()2ln ln h x x x k =--,则22
'()1x h x x x
-=-
=
. 因此当2x >时，'()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>,因此()h x 在0(,)x +∞内单调递增.
又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+， 易知ln ,ln 2,50k k k k >>>． 因此0()0h x >.即存在016x c
=
,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x
x c <． 综上，对任意给定正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2
e x
x c <． 证明二：对任意给定正数c ，取
0x =
由（Ⅱ）知，当0x >时，2
e x
x >，因此2
2
2
2
e e e 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
当0x x >时，2
222
41e 222x
x x x x c c
⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
因而，对任意给定正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x
x c <． 证明三：一方面证明当()0,x ∈+∞时，恒有3
1e 3
x x <． 令()31e 3
x
h x x =
-，则()2e x h x x '=-． 由（Ⅱ）知，当0x >时，2
e x
x >，
从而()0h x '<，()h x 在()0,+∞上单调递减。

因此()()010h x h <=-<，即
3
1e 3
x x <． 取03x c
=，当0x x >时，有2311e 3x
x x c <<．
因而，对任意给定正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2
e x
x c <．
（22）解：（Ⅰ） 在ACB ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，
因此2CD AD DB =⋅， 由于CD 是圆O 切线，
由切割线定理得2CD CE CB =⋅． 因此CE CB AD DB ⋅=⋅．
（Ⅱ）由于ON NF ⊥
，因此NF =．
由于线段OF 长为定值，即需求解线段ON 长度最小值．
弦中点到圆心距离最短，此时N 为BE 中点，点F 与点B 或E 重叠． 因而max
1
22
NF BE =
=．
（23）解：（Ⅰ）曲线1C ：112x t y t
=+⎧⎨
=-⎩，
直角坐标方程为32y x =-．
曲线1C 与x 轴交点为3,02
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
曲线2C ：cos ,3sin x a y θθ
=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22
219x y a +
=． 曲线2C 与x 轴交点为(,0),(,0)a a -．
由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一种公共点在x 轴上，知3
2
a =． （Ⅱ）当3a =时，曲线2C ：3cos ,3sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩为圆22
9x y +=．
圆心到直线32y x =-
距离5
d =
=
因此,A B
两点距离AB ===．
（24）解：（Ⅰ）由于||||()x m x x m x m -+≥--=．
要使不等式||||2x m x -+<有解，则||2m <，解得22m -<<．
由于*m ∈N ，因此1m =． （Ⅱ）由于,1αβ≥，
因此()()21214f f αβαβ+=-+-=，即3αβ+=．
因此
()4
1
1413αβα
βαβ⎛⎫
+
=++ ⎪⎝⎭
1453βααβ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1533⎛≥+= ⎝
． （当且仅当
4β
α
α
β
=
时，即2α=，1β=等号成立） 故4
1
3α
β
+
≥．。