2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆理

直线与圆
【2019年高考考纲解读】
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现． 【重点、难点剖析】 一、直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式
(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，
l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝
|C 1－C 2|A 2＋B 2
(A 2＋B 2
≠0)． (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
(A 2＋B 2
≠0)．
二、圆的方程及应用 1．圆的标准方程
当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2
＋
y 2＝r 2.
2．圆的一般方程
x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2
＋E 2
－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．
三、直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)，方程组
⎩⎪⎨⎪
⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b
2
＝r
2
消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，
直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d>r1＋r2⇔两圆外离．
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．
(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交．
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．
(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．
【高考题型示例】
题型一、直线的方程及应用
例1、已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
【解析】由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－
1
k PQ
＝－
1
4－2
1－3
＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直
线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
【答案】A
【方法技巧】
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.
【变式探究】(1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )
A.2
3
B．±
3
5
C．－
3
5
D.
3
5
答案 D
解析因为l1⊥l2，
所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2
α＝3
5
. (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 答案 3 2
【感悟提升】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
【变式探究】(1)直线ax ＋(a －1)y ＋1＝0与直线4x ＋ay －2＝0互相平行，则实数a ＝________. 答案 2
解析 当a ≠0时，a 4＝a －1a ≠1
－2
，解得a ＝2.
当a ＝0时，两直线显然不平行．故a ＝2.
(2)圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＋3＝0的圆心到直线x －ay ＋1＝0的距离为2，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B
解析 因为(x －1)2
＋()y －22
＝2，
所以|1－2a ＋1|
1＋a 2
＝2，所以a ＝0. 题型二 圆的方程及应用
例2、(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 答案 x 2
＋y 2
－2x ＝0
解析 方法一 设圆的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－2，
E ＝0，
F ＝0.
∴圆的方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2
＋y 2
＝1， 即x 2
＋y 2
－2x ＝0.
【变式探究】(1)圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2
＋y 2
＋4x －6y ＋4＝0相外切，则C 的方程为( ) A ．x 2
＋y 2
＋4x ＋2＝0 B ．x 2
＋y 2
－4x ＋2＝0 C ．x 2
＋y 2
＋4x ＝0 D ．x 2
＋y 2
－4x ＝0 答案 D
解析 圆x 2
＋y 2
＋4x －6y ＋4＝0， 即(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝9， 圆心为(－2,3)，半径为3. 设圆C 的半径为r . 由两圆外切知，圆心距为＋
2
＋－
2
＝5＝3＋r ，
所以r ＝2.
故圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝4， 展开得x 2
＋y 2
－4x ＝0.
(2)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A.()x ＋32
＋(y －1)2
＝1
B.()x －32
＋()y ＋12
＝1
C.()x ＋32
＋()y ＋12
＝1
D.()x －32
＋(y －1)2
＝1
答案 C
解析 到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，
y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32
＋
()y ＋12＝1.故选C.
【感悟提升】解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
【变式探究】已知a ∈R，方程a 2x 2
＋(a ＋2)y 2
＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.
当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2
＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2
＋(y ＋4)2
＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
【变式探究】已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )
A ．x 2
＋(y －3)2
＝5 B ．x 2
＋(y ＋3)2
＝5 C ．(x －3)2
＋y 2
＝5 D ．(x ＋3)2
＋y 2
＝5 解析：由题意得2a ＝－4，∴a ＝－2， ∴圆的半径为BC 2
＝
－4＋
2
＋－2－2
2
＝5，圆心为(－3,0)，
∴圆的方程为(x ＋3)2
＋y 2
＝5，故选D. 答案：D
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3、(1)[2018·全国卷Ⅰ]直线y ＝x ＋1与圆x 2
＋y 2
＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【解析】由x 2
＋y 2
＋2y －3＝0，得x 2
＋(y ＋1)2
＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.
圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|
2
＝2，
∴|AB |＝2r 2－d 2
＝24－2＝2 2. 【答案】2 2
(2)[2016·山东卷]已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
【解析】方法一：由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋y 2
－2ay ＝0x ＋y ＝0
得两交点为(0,0)，(－a ，a )．
∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2
＋－a
2
＝2 2.又a >0，∴a ＝2.
∴圆M 的方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，即x 2
＋(y －2)2
＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝
－
2
＋－
2
＝ 2.
∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 方法二：∵x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)⇔x 2
＋(y －a )2
＝a 2
(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .依题意，有a
2
＝a 2
－2，解得a ＝2.
以下同方法一． 【答案】B
【举一反三】[2018·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →
＝0，则点A 的横坐标为________． 解析：设A (a,2a )，则a ＞0.
又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝
⎛⎭
⎪
⎫a ＋52，a .
由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －x －a ＋y y －2a ＝0，
y ＝2x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝2，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ，
y ＝2a .
∴D (1,2)．
又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，
∴(5－a ，－2a )·(1－a ＋5
2，2－a )＝52a 2－5a －15
2
＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3. 答案：3
【方法技巧】弦长的求解方法
(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2
－d 2
(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．
(2)根据公式：l ＝1＋k 2
|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．
(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.
【变式探究】(1)设圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝1，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含 答案 A
解析 圆心距为22
＋－2＝22>1＋1，
故两圆外离．
(2)已知直线4x －3y ＋a ＝0与⊙C ：x 2
＋y 2
＋4x ＝0相交于A ，B 两点，且∠ACB ＝120°，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．10 C ．11或21 D ．3或13
答案 D
解析 圆的方程整理为标准方程即(x ＋2)2
＋y 2
＝4，
作CD ⊥AB 于点D ，由圆的性质可知△ABC 为等腰三角形，其中|CA |＝|CB |， 则|CD |＝|CA |×sin 30°＝2×1
2
＝1，
即圆心(－2,0)到直线4x －3y ＋a ＝0的距离为d ＝1， 据此可得
|－8＋0＋a |42
＋－
2
＝1，
即|a －8|＝5，解得a ＝3或a ＝13.
【感悟提升】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最
值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
【变式探究】(1)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________．
答案6π
(2)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)
C．[1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]
答案 D
解析圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆x2＋y2＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
【变式探究】已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆C的切线的方程是( ) A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0
B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0。