中考数学二次根式综合复习

第四节 二次根式
考点精要解析
考点一：二次根式的相关概念
1.
（a ≥0）的式子叫作二次根式.
2.最简二次根式
（1）被开方数中不含分母，即根号内无分母，分母内无根号；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式.
3.同类二次根式：如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
考点二：二次根式的性质
（1
≥0（a ≥0）具有双重非负性；（2
）2a = （a ≥0）；（3
(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
.
注：常见的三个非负数
（1）绝对值：|a |≥0;（2）偶次幂：2n
a ≥0（n 为正整数）；（3
≥0（a ≥0） 考点三：二次根式的运算
1.二次根式的乘除
（1
（a ≥0,b ≥0）；（2
=（a ≥0,b ＞0）.
注：2
(0);0,0)a a a b a b =≥-=≥≥ 2.二次根式的加减
二次根式的加减的实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（同类二次根式.
考点四：二次根式的化简求值
（1）直接代入：直接将已知条件代入到待求值的式子中.
（2）变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值.
高频考点过关
考点一：二次根式的相关概念
例题1.
有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A. x ≥－1
B. x ≠－1 C . x ＞0 D . x ≥－1且x ≠0
答案：D
考点二：二次根式的性质
例题2. 2210b b +-+= ，则22
1||a b a +
- ＝＿＿＿＿＿. 答案：6
例题3.已知0＜a ＜1______= 答案：2a
提示：由0＜a ＜1，得110,0,a a a a
+>-<
11112a a a a a a a a a =-++=-++=
例题4. 已知xy ＝3，求 的值.
，∵xy ＝3，∴x , y 同号.
（1）当x ＞0,y ＞0+==.
（2）当x ＜0,y ＜0时, =-=-考点三：二次根式的运算
例题5. 已知(m =- ，则有（ ） A. 5＜m ＜6 B. 4＜m ＜5 C . －5＜m ＜－4 D . －6＜m ＜－5
答案：A
例题6. 计算：⎛ ⎝解：原式＝2
考点四：二次根式的化简求值
例题7. 已知x , y 24y = ，求（x ＋y ）3的值.
解：由题意，得20
20x x -≥⎧⎨-≥⎩ ，∴x ＝2, y ＝±2.
（1）当x ＝2, y ＝2时，原式＝64；（2）x ＝2, y ＝－2时，原式＝0.
例题8. 当2x =时，求代数式246x x -+ 的值.
解：原式＝22(2)2(22)212x -+=+=
中考真题链接
真题1.有意义的x 的取值范围是（ ）
A. 1
2x ≥- 且x ≠1 B. x ≠1
C . 1
2x ≥- D . 1
2x >- 且x ≠1
真题2.（1）（新疆中考）若a , b 为实数，且|1|0a += ，则（ab ）2013的值是（
）
A. 0
B. 1 C . －1 D . ±1
(2) (永州中考)已知2(3)0x y -++= ，则x ＋y 的值为（ ）
A. 0
B. －1 C . 1 D . 5
真题3. （上海中考）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B.C D 真题4. （泰州中考 下列计算正确的是（ ）
A. 1=
B. =
C .
D . 3+=
真题5. （1）的结果是（ ）
A. B. C . D .
（2）（荆州中考）计算的结果是（ ）
A. B. C . D .
真题6.（台湾中考）k , m , n ===，则下列有关k , m , n 的大小关系，何者正确？（ ）
A. k ＜m ＝n
B. m ＝n ＜k C . m ＜n ＜k D . m ＜k ＜n
真题7. （六盘水中考）无论x 取任何实数，都有意义，则m 的取值范围为＿＿＿＿.
真题8.(曲靖中考)，若整数x 满足|x |≤3, 为整数的x 的值是＿＿＿（只需填一个）.
真题9.（泰安中考）（13|____=
（2）的值是＿＿＿＿.
真题10.（成都中考）设12322222222111111111,1,1,,1,122334(1)n S S S S n n =++=++=++=+++L 设
S =+L ，则S ＝＿＿＿（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）.
真题11.（南宁中考）计算：2012201302(--
真题12.（孝感中考）先化简，再求值：111x y y x ⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭
，其中x y == .
真题13. （黔西南州中考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的
平方，如23(1+= ，善于思考的小明进行了如下探索：
设2(a m ++ （其中a , b , m , n 均为正整数），则有
222a m n +=+，∴22,2a m n b mn =+= .
这样，小明找到了把部分a +的式子化为平方式的方法，
请你依照小明的方法探索并解决问题：
（1）当a , b , m , n 均为正整数时，若2
(a m +=+，用含m , n 的式子分别表示a , b ，则a ＝_____, b ＝______.
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a , b , m , n ，填空：2
____(___+=+ .
（3）若2(a m ++，且a , b , m , n 均为正整数，求a 的值. 创新思维训练
创新1．关于x 的方程(a －1)x 2＋2 x －1=0有两个实数根，且12+a ＋91242+-a a ＝4则整数a 的值为_________________．
创新2．无论m 为何值时，代数式c m m +-22总有意义，且实数a ，b 的位置在数轴上如
图1-4-1所示，化简：2）（b a - ＋c b +－2）（a c -
创新3．求9+m －m 34-＋m 51-－2m -的值．
创新4 已知x ＝253-，求代数式x 3－3x 2＋3x ＋1
62+x 的值． 创新5．已知m ，n ，p 满足1-m ＋1+n ＋22n m ）（-＋m 2＋p 2=1＋2mp ，求m ＋n ＋p
的值．。