第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用
.
知识点一 “杨辉三角”与二项式系数的性质
(a ＋b )n 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：
思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 思考3 二项式系数的最大值有何规律？
答案 n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大. 1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －
1n ＋C r
n .
2.二项式系数的性质
类型一 与杨辉三角有关的问题
例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值.
解 由题意及杨辉三角的特点可得
S 16＝(1＋2)＋
(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C 02＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 1
9) ＝(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29)＋(2＋3＋…9)
＝C 310＋8×(2＋9)
2
＝164.
反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1 (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，
则第n(n≥2)行的第2个数是________.
1
2 2
34 3
477 4
5111411 5
………
答案n2－n＋2
2
解析由图中数字规律可知，第n行的第2个数是
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝n(n－1)
2＋1.
(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________.
答案2n－132
解析观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.
类型二求展开式的系数和
例2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解(1)当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1， ①
令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37， ② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－1－37， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1＋37
2
＝－1 094.
(3)由展开式，知a 1，a 3，a 5，a 7均为负，a 0，a 2，a 4，a 6均为正， ∴由(2)中①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝－1＋37， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋37
2
，
∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝37＝2 187.
反思与感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.
(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)
2，
偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)
2.
跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和.
解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.
(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29
.
(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，
所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，
将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－1
2，
即所有奇数项系数之和为59－1
2.
类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f (x )＝(3
x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.
解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，
∴2n ＝－31(舍去)，或2n ＝32，∴n ＝5.
(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为：T 3＝C 25(2
3x )3
·(3x 2)2＝90x
6
，T 4＝C 35(23x )2
·(3x 2)3
＝223
270.x
展开式的通项公式为2
(52)3
15
C 3r r
r
r T x ++=⋅⋅
假设T r ＋1项系数最大
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 53r ≥C r －153r －1
，C r 53r ≥C r ＋153r ＋1
∴⎩⎪⎨⎪⎧
5！(5－r )！r ！×3≥5！
(6－r )！(r －1)！
，5！(5－r )！r ！≥5！
(4－r )！(r ＋1)！
×3，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3r ≥16－r
，15－r ≥3
r ＋1
，
∴72≤r ≤9
2，∵r ∈N ， ∴r ＝4，
∴展开式中系数最大的项为
2264
24
3
3
55
C (3)405.T x x x ==
反思与感悟 1.二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论. (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开
式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩
⎪⎨
⎪⎧
A r ≥A r －1，
A r ≥A r ＋1，解出r ，
即得出系数的最大项.
跟踪训练3 已知⎝⎛⎭⎫x 2－1
x n 展开式中的二项式系数的和比(3a ＋2b )7展开式的二项式系数的和大128，求⎝
⎛⎭⎫x 2－1
x n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 解 2n －27＝128，n ＝8，⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r
. 当r ＝4时，展开式中的系数最大，即T 5＝70x 4为展开式中的系数最大的项； 当r ＝3或5时，展开式中的系数最小，
即T 4＝－56x 7，T 6＝－56x 为展开式中的系数最小的项.
1.已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋…a 10x 10，则a 8等于( ) A.180 B.－180 C.45 D.－45 答案 A
解析 a 8＝C 810·
22＝180. 2.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )
A.64
B.32
C.63
D.31 答案 B
解析 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.
3.若⎝⎛⎭⎫x ＋1
x n 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120 答案 B
解析 由2n ＝64，得n ＝6.
T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭
⎫1x k ＝C k 6x 6－2k
， 由6－2k ＝0，得k ＝3，∴T 4＝C 36＝20. 4.已知(1－x )8的展开式，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项.
解 (1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为
T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.
1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.
2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.
3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r ∈{0,1,2，…，n }的范围.
一、选择题
1.若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A.45 B.55 C.70 D.80 答案 C
解析 ∵(1＋2)5＝1＋C 15×2＋C 25×(2)2＋C 35×(2)3＋C 45×(2)4＋C 55×(2)5
＝1＋52＋20＋202＋20＋4 2 ＝41＋292，
∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C.
2.已知关于x 的二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为
( )
A.1
B.±1
C.2
D.±2 答案 C
解析 由条件知2n
＝32即n ＝5，在通项公式
T r ＋1＝C r 5(
x )
5－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 3x r
＝15565C r
r r
a x -中，令15－5r ＝0得r ＝3，∴C 35a 3
＝80，解得a ＝2.
3.在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项
答案 A
解析 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7
n ，由组合
数的性质，得n ＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.
4.设⎝
⎛⎭
⎫5x －
1x n
的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )
A.－150
B.150
C.300
D.－300 答案 B
解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，
T r ＋1＝C r 4(5x )
4－r ·⎝
⎛⎭
⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4
x 4－3r
2， 令4－3r
2＝1，得r ＝2，
所以展开式中x 的系数为
(－1)2×52C 2
4＝150.
5.已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…
＋C n n 的值为( ) A.28 B.28－1 C.27 D.27－1
答案 B
解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知：B －A ＝38.令x ＝－1， 得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，
即：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ， 即：B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得：
C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.
6.若(1－2x )2 017
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x
2 017
(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 017
2
2 017的值为( )
A.2
B.0
C.－2
D.－1 答案 D
解析 (1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a
222
＋…＋
a 2 017
22 017
＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017
22 017＝－1.
二、填空题
7.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________. 答案 6
解析 (x ＋1)n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6. 8.在⎝
⎛
⎭
⎪⎫1x ＋31x 3
n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________. 答案 462
解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间
项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 6
11＝462.
9.已知x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________. 答案 7
解析 令x ＝－1，
∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，
∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12， ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)， ∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，
∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.
10.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
答案 34 解析 在第n 行中，即(a ＋b )n 的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为C 13n 和C 14n ，∴C 13n ∶C 14n ＝2∶3，即3·n ！13！(n －13)！＝2·n ！
14！(n －14)！，∴n ＝34. 三、解答题
11.已知⎝⎛⎭
⎫x ＋m x n 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；
(2)若展开式中常数项为358
，求m 的值； (3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况. 解 (1)二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8.
(2)设常数项为第r ＋1项，则
T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫m x r ＝C r 8m r x 8－2r ，
故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12
. (3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大.
则⎩⎪⎨⎪⎧
C r 8m r ≥C r －18m r －1，C r 8m r ≥C r ＋18m r ＋1化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1. 由于只有第6项和第7项系数最大，
所以⎩⎨⎧
4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎨⎧ 54<m ≤2，2≤m <72.
所以m 只能等于2.
12.在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)系数绝对值的和.
解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.
(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.
(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，
∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，
令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，
将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12
. 即为所有奇数项系数之和.
(4)方法一 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项系数之和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.
13.已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝
⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项.
解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.
(1)⎝
⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭
⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，
则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝⎛⎭
⎫－1x k
＝(－1)k ·C k 10·
210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧
11－k ≥2k ，
2(k ＋1)≥10－k .
∴83≤k ≤113
，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项
T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。