数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.1比较法

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4. 设 P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若 P＞Q，则实 数 a，b 满足的条件为________．
解析：P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a ＋2)2，因为 P＞Q⇒P－Q＞0.所以 ab≠1 或 a≠－2.
答案：ab≠1 或 a≠－2
又 c－b＝ 1 －(1＋x)＝ x2 ＞0，
1－x
1－x
所以 c＞b.所以 c＞b＞a.
答案：c
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类型 1 作差比较法证明不等式
[典例 1] (1)已知 a，b∈R，求证：a2＋b2＋1＞a(b ＋1)；
(2)已知 a，b 是互不相等的正数，n＞1，求证：an＋ bn＞an－1b＋abn－1.
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证明：(1)因为 a2＋b2＋1－a(b＋1)＝12[(a－b)2＋(1－ a)2＋b2＋1]＞0，
所以 a2＋b2＋1＞a(b＋1)． (2)(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)． 因为 a，b∈R－，n＞1，n－1＞0，a≠b，
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5．已知 0＜x＜1，a＝2 x，b＝1＋x，c＝1－1 x，则 其中最大的是________．
解析：因为 0＜x＜1，所以 a＞0，b＞0，c＞0. 又 a2－b2＝(2 x)2－(1＋x)2＝－(1－x)2＜0， 所以 a2－b2＜0.所以 a＜b.
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所以当 a＞b 时，an－1＞bn－1， 所以 a－b＞0，an－1－bn－1＞0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即 an＋bn＞an－1b＋abn－1. 当 a＜b 时，an－1＜bn－1， 所以 a－b＜0，an－1－bn－1＜0，
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所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即 an＋bn＞an－1b＋abn－1. 因此总有 an＋bn＞an－1b＋abn－1.
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解析：对于(1)，当 b＞0 时，a＞b，两边同除以 b， 所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当 b＞0 时，a＜b，两 边同除以 b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当 a＞0， b＞0 时，ab＞1，两边同乘以 b，所以 a＞b，所以(3)正确；
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[变式训练] 已知 a≥1，利用作商比较法，求证：
a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 a＋1－ a a＋ a－1
证明： ＝
＝
＜1，
右边 a－ a－1 a＋1＋ a
又 a＋1－ a＞0， a－ a－网络编辑整理
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1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方 法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a＞b⇔ a－b＞0)，还有作商比较法 即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.
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当 a>b 时，ab>1，a－2 b>0，
aa－b 由指数函数的性质知b 2 ＞1，
当 a<b 时，0<ab<1，a－2 b<0，
aa－b 由指数函数的性质知b 2 >1.
a＋b
所以 aabb≥(ab) 2 .
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归纳升华 使用作商法证明不等式 a＞b 时，一定要注意 b＞0 这个前提条件，其一般的证明步骤为：(1)作商；(2)变形； (3)判断商与 1 的大小；(4)下结论．
第二讲 证明不等式的基本方法
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2．1 比较法
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[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
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[知识提炼·梳理] 1．作差比较法 要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号： a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0.
所以 ab＋ ba－( a＋ b)≥0，
故
ab＋
b≥ a
a＋
b.
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类型 2 作商比较法证明不等式(自主研析)
a＋b
[典例 2] 已知 a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab) 2 .
解：
aabba＋b＝aa－2 b·bb－2 a＝aba－2 b.
（ab） 2
aa－b 当 a＝b 时，b 2 ＝1；
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归纳升华 1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分解 或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 2．作差比较法把比较两个实数(或式)的大小转化为 判断两个实数(或式)的差的符号．其中，作差后如何变形 是证明的关键，对差进行变形时要变彻底，
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常用的变形手段有配方、通分、有理化和分解因式等， 即可以运用一切有效的恒等变形方法．为便于判断“差 式”的符号，常将“差式”变形为一个常数、几个因式的 积或一个分式等等．总之，通过变形只要能够判断出差的 符号是正或负即可．
又aaabbbba＝aba·bab＝aba－b， 当 a＞b＞0 时，ab＞1，且 a－b＞0，故aaabbbba＞1；
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当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，且 a－b＜0，故aababbab＞1； 当 a＝b 时，aababbab＝1. 答案：B
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2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字 母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．
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2．作商比较法 依据：当 b＞0 时， ab＞1⇔a＞b； ab＝1⇔a＝b； ab＜1⇔a＜b．
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温馨提示 使用作商法证明不等式 a＞b 时，一定要 注意 b＞0 这个前提条件．
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[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当 b＞0 时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当 b＞0 时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当 a＞0，b＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
＋(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)(a＋
b)2≥0，所以 a3＋a2b≥ab2＋b3.故应选 B. 答案：B
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3．已知 a，b 都是正实数，则下列关系式成立的是 ()
A．aabb＝abba B．aabb≥abba C．aabb＜abba D．aabb≤abba 解析：因为 a，b∈R＋，故 abba＞0.
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对于(4)，当 a＞0，b＞0 时成立，当 a＜0，b＜0 时， 不成立．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
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2．若 a＞b，则代数式 a3＋a2b 与 ab2＋b3 的值的大小 关系是( )
A．a3＋a2b＜ab2＋b3 B．a3＋a2b≥ab2＋b3 C．a3＋a2b＝ab2＋b2 D．不能确定 解析：因为 a＞b，所以(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)
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[变式训练]
已知
a＞0，b＞0，求证：ab＋
b≥ a
a＋
b. 证明：
a b
＋
b a
－
(
a＋
b)＝
（ a）3＋（ b）3－（ a＋ b） ab
ab
＝
（ a＋ b）（ a－ b）2
ab
，
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因为 a＞0，b＞0，
所以 a＋ b＞0， ab＞0，( a－ b)2≥0，
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作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变 形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式 的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形 式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不 等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是： 作商、变形、判断商值与 1 的大小，适用于两边都是正值 的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值 与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点．