2.3幂函数

y=x-1 Biblioteka =xy=x2y=x3
它们有以下共同特点：
(1)都是函数；
(2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数. 注意: 幂函数中α的可以为任意实数.
议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?
幂函数与指数函数的对比
名称
公共点 (1,1)
探究：幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α＞０，
打开几何画板
在 区间[0,+∞)上是 增函数
如果a＜０， 在区间(0,+∞)上是 减函数 (3) 当α为整数且为奇数时， 幂函数为 奇函数 当α为整数且为偶数时，
幂函数为 偶函数；
例１
比较下列各组数的大小:
2 3
例 3.证明幂函数 f ( x) = 数．
f ( x1 ) - f ( x2 ) =
=
=
x 在[0,+∞)上是增函
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
x1 ( x1 -
x2
x2 )( x1 + x1 + x2 x2 )
x1 - x2 x1 + x2
因为x1 - x2 < 0, x1 +
y=x Ｒ R 奇 增
y=x2 Ｒ [0,+∞) 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)
y=x3 Ｒ R 奇 增
(1,1)
y= x
1 2
y=x-1
定义域 值域 奇偶性 单调性
[0,+∞) [0,+∞)
{x|x ¹ 0}
{y|y ¹ 0}
奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
非奇非 偶
增
(1,1)
式子 指数函数: y=a 幂函数: y= x
x a
a
x
y
底数 指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x， y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象. 打开几何画板
常见幂函数的性质
函数 性质
x2 > 0,
所以f ( x1 ) < f ( x2 ),即幂函数f ( x) = x在[0, + ? )上是增函数
小 结
(1) 幂函数的定义；
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
(2)掌握幂函数 y = 的图象和性质
x , y = x 2 , y = x 3 , y = x- 1 , y = x
(2) 4.1 和 3.8
若 (x + 1) < (3 - 2x) , 求x的范围. 例2、
解:考虑函数 y = x
∴由条件有
1 2
1 2
1 2
在[0,+∞)上为单调增函数
ì x + 1? 0 ï ï ï í 3 - 2x ? 0 ï ï ï ï î x + 1 < 3 - 2x
解得：
- 1? x
(1)(- p ) 和(-3)
(2)3
注意:
1 2
1.4
3
3
和 3.1
1 2
(3) 3 和 5
1.5
•利用幂函数的增减性比较两个数的大小. •当不能直接进行比较时,可在两个数中间 插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小
练习:比较下列各组数的大小。 (1) 1.5
1 3 1 2
和 1.7
1 2
1 3
1 2
(3) 利用幂函数的单调性判别幂函数值大小
习题2.3 P79 2,3
P82Ａ组 10题