浙江省高考数学二轮专题复习 第12课时 空间几何体课件 理

【例3】(2010·浙江嘉兴一中一模)在棱柱ABC-A1B1C1 中AB1∩A1B=E，F为B1C1的中点，其直观图和三视图 如下：
(1)求证：EF⊥平面A1BC； (2)求A1C与平面A1B1BA所成角的余弦值．
本题主要是通过三视图得到直观图中有关线 段的长度和位置关系，从而求出线面角．
(1)由三视图知，侧棱CC1⊥平面ABC， AC=CC1=BC=a，AC⊥BC，所以CC1⊥BC，
侧 棱 A A1 平 面 A B C， 所 以 平 面 A B C 平 面 A A1B1B， 所 以 C M 平 面 A A1B1B， 所 以 C A1M 就 是 A1C 与 平 面 A1B1B A所 成 角 的 平 面 角 ．
因 为 A C B C a， A C B C， 故 C M 2 a. 2
方法1：(1)如图所示，因为EH=BG=2=EB，所以四边 形BEHG为正方形，所以BH⊥EG.又DH⊥EF，且平 面AEFD⊥平面EBCF，则有DH⊥平面EBCF，所以 DH⊥EG，又DH∩BH=H，因此EG⊥平面BDH.
(2)取DC的中点为K，AB的中点为M，连接KM， FK，EM，则四边形FKME为矩形． 因为EM⊥AB，所以EM⊥平面ABCD， 而FK∥EM，所以FK⊥平面ABCD， 因此可得平面FDC⊥平面ABCD， 则二面角B-DC-F的余弦值为0. 方法2：(1)连接HG，由已知条件知四边形HGBE为正 方形，则可得EG⊥HB，① 又由平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥FE，且DH∥AE， 则DH⊥平面EBCF，所以DH⊥EG，② 由①②知EG⊥平面BDH.
【变式训练】(2011·3月台州中学模拟)BC是Rt△ABC的
斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D点，则图中直角三
角形的个数是( )
A．8 C．6
B．7 D．5
因 为 AP⊥ 平 面 ABC ， PD⊥BC 于 D 点 ， 则 有 Rt△PAC ， Rt△PAB ， Rt△PAD ， Rt△PDB ， Rt△PDC ， Rt△ABC ， 又 BC⊥PD ， BC⊥PA ， 因 此 BC⊥ 平 面 PAD ， 即 有 BC⊥AD ， 因 此 又 有 Rt△ACD，Rt△ABD，因此图中共有8个直角三角 形．答案为A
2建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 ， 则 可 知 A 2,0,0， B 0,2,0，
D 2,0, 2， C 0, 2, 4， F 0,0,3． 不 妨 设 平 面 BDC的 法 向 量
为 n1
( x1， y1， z1 )， 平 面 D C F 的 法 向 量 为 n2
(
x
，
2
y
，
2
z
2
两个平行平面上的投影是相同的．
在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是(1)； 在面ADD1A1和面BB1C1C上的投影是(2)；在面 DCC1D1和面ABB1A1上的投影是(3)，所以答案为 (1)(2)(3)．
要画出一个图形在一个平面上的投影的关键是 确定该图形的关键点，如顶点等．画出这些关键点 的投影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投 影．此类题目要依据平行投影的含义，借助空间想 象来完成．
所以BC⊥平面ACC1A1，所以BC⊥AC1. 又EF//AC1，所以EF⊥BC. 因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1. 又EF//AC1，所以EF⊥A1C. 而BC∩A1C=C，所以EF⊥平面A1BC.
2 取 AB的 中 点 M ， 连 结 C M ， A1M .
由 题 意 知 C A C B， 所 以 C M AB. 由三视图知，
【变式训练】(2011·4月杭十四中模拟)如图，已知梯 形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=2AD=4，2 E、 F分别是AB、CD上的中点，G是BC的中点，DG与EF 相交于H.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平 面EBCF.
(1)求证：EG⊥平面BDH； (2)求二面角B-DC-F的余弦值．
此题可考虑运用排除法进行巧解，结合图形 一一分析，逐步筛选．
【变式训练】 (2010·浙江卷)若某几何体的三视图(单位 ：cm)如图所示，则此几何体的体积是_________cm3.
由三视图知该几何体为四棱台和长方体的 组合体，故V V四棱台V长方体
1(1664 1664)3442 3
144cm3. 所以该几何体的体积是144cm3 .
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又 在 正 方 形 A A1C1C中 ， A1C 2 a.
在RtA1MC中，sinCA1M
2 2
a
1，
2a 2
所以CA1M 30，所以cosCA1M
3. 2
综上所述，A1C与平面A1B1BA所成角的余弦值为
3. 2
求线面角的常用方法：1.垂线法：过线上一点直 接作面的垂线，则射影与斜线所成的角就是线面角(关 键是找到垂足)；2.等体积法：当垂足不好确定时，可 以不确定，用等体积法求距离，从而求得线面角．
)．
因 为 BD
( 2 ，
2, 2)，D C
2,2,2， 则 有Βιβλιοθήκη x1 x1y1 y1
z
1 z1
0
0
，
所 以 n1 1,1, 0 ． 又 因 为 F D (2, 0， 1)， D C 2, 2, 2 ，
则有
2
x2 x2
z2 y2
0 z2
0， 所 以 n2
(1， 1, 2)．
h V台 3 (S1 S 2
S1S 2 )．
1.三视图
【 例 1 】 (2011·浙 江 卷 ) 若 某 几何体的三视图如右图所示， 则这个几何体的直观图可以 是( )
破解时要结合三视图的性质一一进行分析处 理．
从俯视图看，符合答案的为B或D，从正视图 看符合答案的为D，且从侧视图看D也是符合的．答 案为D
专题四 立体几何与空间量
1．三视图是从上下、左右、前后三对角度刻画 几何体的形状，在具体问题中，几何体放置不同， 则三视图不同，注意想象．画三视图时，被遮挡的 线应画虚线．
2．对旋转体要熟悉其定义，并能通过轴截面图、 展开图等化归为平面几何问题．
3．几何体的切接问题：
1 球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是
因 为 n1 n2 1 1 0 0，
因此二面角B DC F的平面角为直角，
则二面角B DC F的余弦值为0.
1．解与三视图有关的问题的关键是明确各自的 投影方向，抓住“长对正，宽相等，高平齐”，将三 视图还原为几何体的直观图，再利用相关数量关系 解决问题．
2．解投影问题的关键是确定该图形的关键点， 如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连结即 可得此图形在该平面上的投影．此类题目要依据平 行投影的含义，借助于空间想象来完成．
3．解直观图问题的关键是熟悉斜二测画法的 特点：①已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观 图中仍然平行于x′ 轴或y′ 轴；②已知图形中平行与x 轴的线段长度保持不变，平行与y轴的线段长度变为 原来的一半．先根据这些关系还原出原图，再进行 相关计算．
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把握球的直径即棱柱的体对角线长．
2柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面
几何问题．
4． 熟 记 柱 、 锥 、 台 、 球 的 体 积 、 面 积 公 式 ．
S圆柱侧 2 rl， S圆锥侧 rl； S圆台侧 (r r ) l；
S球
4
R 2， V球
4
3
R3.
V柱
Sh； V圆锥
1 3
Sh；
2.线面位置关系
【 例 2 】 (2009 · 淮南一模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方 形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个 面上的投影可能是下图中的________．
本题主要考查平行投影和空间想象能力．要
画出四边形AGFE在该正方体各个面上的投影，只需 画出四个顶点A、G、E、F在每个面上的投影，再顺 次连结即得到四边形AGFE在该面上的投影，并且在