第一章 离散空间PPT课件

*加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。
二.移不变系统 如T[x(n)]=y(n),则T[x(n-m)]=y(n-m),
满足这样性质的系统称作移不变系统。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即 输出波形不随输入加入的时间而变化的 系统。
*移（时）不变
例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统.
y(n)=ay(n-1)+x(n)
y ( n ) ay ( n 1 ) x ( n ), 当 x ( n ) ( n ), y ( n ) h ( n ), 故 h ( n ) ah ( n 1 ) ( n ), 因此 h ( 0 ) ah ( 1 ) ( 0 ) 0 1 1 h (1 ) ah ( 0 ) (1 ) a 1 0 a h ( 2 ) ah (1 ) ( 2 ) a 2 0 a 2 h ( n ) ah ( n 1 ) ( n ) a n 0 a n
解：因为 T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4 所以 T[x(n-m)]=3x(n-m)+4 又 y(n-m)=3x(n-m)+4 所以 T[x(n-m)]=y(n-m) 因此， y(n)=3x(n)+4是移不变系统. *系统操作=函数操作
三.单位抽样响应与卷积和 1.线性移不变系统 具有移不变特性的线性系统。 2.单位抽样响应h(n) 当线性移不变系统的输入为δ(n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应，即
x(n ) h (n )
h (n ) x(n )
四.线性移不变系统的性质 1.交换律
y (n ) x (n ) h (n ) h (n ) x (n )
2.结合律
x(n)h1(n)h2(n)x(n)h1(n)h2(n) x(n)h2(n)h1(n) x(n)h1(n)h2(n)
3.对加法的分配律
x(n)
1
1/2 1/4 1/8
... n
-2 -1 0 1 2
x(-n) 1
1/2
1/8 1/4 ...
-2 -1 0
12n
3.和 两序列的和是指同序号(n)
的序列值逐项对应相加得一新序
列。
例：
x(n)
1 2
(1)n, 2
n 1
0,
n 1
2n, n0 y(n)
n1, n0
x(n)
1
1/2 1/4 1/…8
x (n ) x (n ) x (n 1 )
7.尺度变换 （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。
例如， m=2， x(2n)，相当于两个点
取一点；以此类推。
x(n) 3
x(2n) 3
2
1 1/2 1/4
1 1/4
n
n
-2 -1 0 1 2
-1 0 1
（2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。
变换域：Z变换法.
二.用迭代法求解差分方程
1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统
用的较多，其输出就是 y(n)x(n)h(n)。 因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必 须知道h(n)的求法.
2.迭代法（以求h(n)为例） 例: 已知常系数线性差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样 响应h(n). 解：因果系统有h(n)=0,n<0 ; 方程可写 作:
m
翻褶 h(-m)=h(0-m)
位移1h(1-m)
m -2 -1 0
对应相乘，逐个相加。
得y(0)
-1 0 1
m
得y(1)
y(0) 0
y (1) 1 1 1
2
2
y(2) 1 1 1 1 3
2
2
y (3) 1 1 1 1 3 1 3
2
2
y(4) 1 0 1 1 3 1 0 1 5
二. 序列的运算 1.移位 当m为正时， x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。
例：
x(n)
1 2
(1)n, 2
0 ,
n 1 n 1
x(n
1)
1 2
(1 2
) n1 ,
n
1
1
x(n)
0 ,
n 1 1 1
1/2
1/4 1/8
... n
-2 -1 0 1 2
即x(n1)
1(1)n, 4 2
n
2
0, n2
x(n+1)
1
1/2 1/4 1/8
n
-2 -1 0 1
2.翻褶(折迭) 如果有x(n),则x(-n)是以n=0
为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。
例：
x
(n
)
1 2
(
1 2
)
n
,
n 1
0 , n 1
x(n)
1 2
(1 )n, 2
n
1
0 , n 1
五.因果系统 某时刻的输出只取决于此刻以及以
前时刻的输入的系统称作因果系统。 *实际系统一般是因果系统； *对图象、已记录数据处理以及平
均处理的系统不是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统,因n< 0的
输出 决定 时 n>0的输入; *不计其他函数，y(n)=x(n)sin(n+2). 线性移不变因果系统的充要条件为
满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期 性序列,N为周期。
五. 用单位抽样序列表示任意序列
1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移 加权和.
x(n)x(m)(nm) m
x(m)(nm) 0x,(n),
mn 其m 他
例:
x(n)
a 3
a2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
a6
位移加权和
[解]：
x(n)
w(n)
h1(n)
h2(n)
y(n)
w(n)=x(n)* h1(n)=∑x(m) h1(n-m)= ∑u(m) h1(n-m) = ∑u(m) [δ(n-m)- δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)
= δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3)
y(n)= w(n)* h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3)] * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3)
-2 -1 0 1 2
n
y(n) 3
2
1 1/2 1/4
-2 -1 0 1 2
25/8 Z(n)
9/4
3/2 3/2
1/4 …
-2 -1 0 1
.… 2
2n,
n 1
z(n)
x(n)
y(n)
3 2
,
n 1
1 2
(1)n 2
n
1,
n
0
4. 乘积 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。
0,
n 1
4.实指数序列 anu(n)
a为实数，当
a 1时,收敛 a 1时, 发散
5.复指数序列
x(n) e ( j0 )n x(n) e j e n e jon
e n (cos 0 n j sin 0n)
6.正弦型序列
n)A con s0 ()
其中，ω0为数字频率。
四.序列的周期性 如果存在一个最小的正整数N,
h(n)=T[δ(n)] h(m)(nm) m
(n)
T[δ(n)]
h(n)
3.卷积和
x(n) 线性移不变系统 y(n) h(n)
y(n)=x(n)* h(n)
y (n ) T x (n )
T
m
x
(m
)
(n
m
)
x ( m ) T ( n m ) m
x(m ) h (n m ) m
通常离散时间信号的间隔为t且是均匀的故应该用xnt表示在nt的值由于xnt存在存储器中加之非实时处理可以用xn表示xnt即第n个离散时间点的值这样xn就表示一序列数即序列
1-1 离散时间信号-序列
一.序列
1.信号及其分类
(1).信号
信号是传递信息的函数,它可表示成
一 个或几个独立变量的函数。
如，f(x); f(t); f(x,y)等。
z(n)
x(n)y(n)
1 2
,
n 1
(12)(n
1)(1)n 2
,
n
0
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列
y(n)定义为
n
y(n) x(k) k
即表示n以前的所有x(n)的和。
6.差分
前向差分（先左移后相减）：
x (n ) x (n 1 ) x (n )
后向差分（先右移后相减） ：
x(n)h1(n)h2(n)
x(n)h1(n)x(n)h2(n)
x(n) h1(n)+h2(n)
x(n) y(n)
⊕ h1(n) y(n) h2(n)
[例]：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为
h1(n)=δ(n)- δ(n-4); h2(n)=an u(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n) 时，求输出。
2.序列
离散时间信号又称作序列。通常，离 散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故 应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在 存储器中,加之非实时处理,可以用x(n)表示 x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就 表示一序列数,即序列：﹛x(n)﹜。
为了方便，通常用x(n)表示序列 ﹛x(n)﹜。
u(n)
1, n0
u(n)0, n0
...
n -1 0 1 2 3
(n)u(n)u(n)u(n1)
u(n)(nm)(n)(n1)(n2) m0
3.矩形序列 RN (n)
1, 0nN1 RN(n)0, 其他 n
RN(n)u(n)u(nN )
N1
RN(n) (nm )(n)(n1) n(N1) m 0
例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点
之间插一个点；以此 类推。通常，插值用
I倍表示，即插入（I-1）个值。
x(n)
x(n/2)
2 1 1/2
-1 0 1
2
1 1/2
n
。。
-2 -1 0 1 2
n
8.卷积和
设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义 为
y (n ) x (m )h (n m ) h (m )x (n m ) x (n ) h (n )
h(n)=0，n< 0。
六.稳定系统
有界的输入产生有界的输出系统。
线性移不变稳定系统的充要条件是
h(n) p
n
1-3 常系数线性差分方程
离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m) 线性叠加而构成的方程. 一.表示法与解法 1.表示法
N
M
aky(nk) bmx(nm )
k0
m 0
x(n)
离散时间线性
y(n)
移不变系统
N
M
aky(nk) bmx(nm )
k0
m 0
* 常系数：a0,a1,…,aN ; b0,b1,…,bM 均是常数 （不含n）.
*阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号 之差 ，如 N=N-0.
*线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含 它们的乘积项。
2.解法
时域：迭代法，卷积和法;
(2). 连续时间信号与模拟信号
在连续时间范围内定义的信号,幅值 为连续的信号称为模拟信号,连续时间信 号与模拟信号常常通用。
(3). 离散时间信号与数字信号
时间为离散变量的信号称作离散时 间信号；而时间和幅值都离散化的信号 称作为数字信号。
x(n)
x(0)
x(-1) x(1)
x(-2)
x(2)
n -2 -1 0 1 2
2. 位移一个单元，对应序号相乘， 相加 得 y(1)；
3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。
在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
x(m) 3/2
1 1/2
x(m)
3/2
1 1/2
0123
m
0123
m
m
卷积和计算分四步：折迭(翻褶),位移,
相乘,相加。
例：
x(n)
(
1
)
n
,
2
0 ,
1,
h(n)
0,
1 n 3
其他 n 0n2 其他 n
3
求： y(n)x(n)h(n)x(m )h(nm ) m1
解：
1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)；
x(n)
离散时间系统
y(n)
T[x(n)]
设系统具有：
y 1 (n ) T x 1 (n ),y 2 (n ) T x 2 (n ), T a 1 x 1 (n ) a 2 x 2 (n ) a 1 T x 1 (n ) a 2 T x 2 (n ),
那么该系统就是线性系统，即线性系统具有 均匀性和迭加性。
δ(n+3)
a 3
n 0
δ(n-2)
a2
n 0
δ(n-6)
n 0
a6
2. x(n)亦可看成x(n)和δ(n)的卷积和
x(m)
a 3
a2
m 0
a6
m
1 m
0
六. 序列的能量 x(n)的能量定义为
E x(n) 2 n
1-2 线性移不变系统
一.线性系统 系统实际上表示对输入信号的一种运
算，所以离散时间系统就表示对输入序 列的运算，即 y(n)=T[x(n)]
2
2
2
y (5) 3 1 3
2
2
y(n)
3
5/2
3/2
3/2
1/2
n
-1 0 1 2 3 4 5
三.几种常用序
1.单位抽样序列(单位冲激) (n)
n
(n)
1, 0,
n0 n0
1 n
-2 -1 0 1 2
(nm)10,,
nm nm
nm
1
n -2 -1 0 1 m
2.单位阶跃序列 u（n）