2.1 第1课时 数列的概念与简单表示法课件人教新课标

(2)所有负整数的倒数:-1,- ,- ,- ,…;
(4)5个2排成一行:2,2,2,2,2;
(5)-1的正整数次幂的值:-1,1,-1,1,-1,1,…;
(6)15以内的质数按照从大到小的顺序排列:13,11,7,5,3,2.
以上给出的各组数有什么共同的特点?
提示:每一组数都是按照一定的次序排列起来的一列数.
-3-
第1课时 数列的概念与简单
表示法
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2.填空:
(1)定义:按照一定顺序排列的一列数叫做数列.
(2)项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都
和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫
做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的
每一项与其所对应的项的序号之间具有怎样的关系呢?
1
提示: 是这个数列中的项;是第
256
8 项;这个数列的第 n 项是
1
;这
2
1
个数列中的每一项的值恰好等于以2为底数,以项的序号为指数的幂
的值.
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2.填空:
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,
从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列
各项相等的数列
从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项
小于它的前一项的数列
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3.做一做:
下列叙述正确的是(
)
A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类
B.数列中的数由它的位置序号唯一确定
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
第1课时
数列的概念与简单表示法
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.理解数列的有关概念与数列的 数列的概念与表示
表示方法.
数列的定义
2.掌握数列的分类.
数列的表示
3.掌握数列通项公式的概念及其
数列的分类
应用,能够根据数列的前几项写
数列的通项公式及应用
是不同的数列.
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4.总结:数列与集合的关系:
(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列具有确定性、
有序性、可重复性;
(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但
数列中的每一项必须是数;
(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列
式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式
为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项
公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公
(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
(+1)
.
2
1
an= .

(7)数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是 an=
1 1 1
2 3 4
(8)数列 1, , , ,…的一个通项公式是
且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是
1
.
(+1)
an=(-1)n·
(6)由于该数列中,奇数项全部都是 4,偶数项全部都是 0,因此可用分
4,为奇数,
段函数的形式表示通项公式,即 an=
又因为数列可改写
0,为偶数.
为 2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为
,为奇数,
2
5
,为偶数;
2
对于⑥,正确.
答案:③⑥
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变式训练1下列正确说法的序号是
.
①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列;
②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列;
③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列;
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4.总结:关于数列通项公式的说明
(1)并非每一个数列都有通项公式;
(2)数列通项公式的情势不是唯一的;
(3)数列的通项公式可以用分段函数表示;
(4)数列的通项公式实际就是函数的解析式,利用数列的通项公式可
以求出数列的任何一项.
5.做一做:
若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项
D.同一个数在数列中不可能重复出现
解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、
摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合
{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出
现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,
式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综
合得原数列的一个通项公式为
(+1)2 -
an=
2-1
=
2 ++1
.
2-1
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(5)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,
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(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一
个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.
(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
与(2)(3)(5)的项数有什么不同特点?若考察每个数列中,每一项与它
前一项的大小关系,分别是什么情况?
提示:数列(1)(4)(6)的项数有限,数列(2)(3)(5)的项数有无穷多;从第2
项起,有的数列的每一项总比前一项大,如(1)(2);从第2项起,有的数
列的每一项总比前一项小,如(3)(6);从第2项起,有的数列的每一项
a10=
,224是该数列的第
项.
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是该数列的第
15项.
答案:99 15
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列的概念及分类
例1给出下列说法:
①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷
④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.
解析:紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否正确.{0,1,2,3,4,5}
是集合,而不是数列,故①错误;按从小到大排列的所有自然数构成
一个无穷递增数列,故②正确;同一个数在数列中可以重复出现,故
此数列共有7项,故③错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是有穷数列,
a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.
5.做一做:
判断正误.
(1)数列中的项互换次序后还是本来的数列. (
)
(2){an}与an的意义一样,都表示数列. (
)
答案:(1)× (2)×
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二、数列的分类
1.思考:在本节最前面的“思考”中给出的6个数列中,(1)(4)(6)的项数
出数列的一个通项公式.
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一、数列
1.思考:视察给出的下列各组数:
(1)前6个正整数的平方:1,4,9,16,25,36;
1 1 1
2 3 4
1
1 1 1 1 1
(3) 的正整数次幂的值: , , , , ,…;
2
2 4 8 16 32
总与前一项相等,如(4);从第2项起,有的数列的每一项有时比前一
项大,有时比前一项小,如(5).
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2.填空:
数列的分类
类别
按项的 有穷数列
个数 无穷数列
递增数列
按项的 递减数列
变
常数列
化趋势
摆动数列
含义
项数有限的数列
项数无限的数列
从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列
数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.
答案:B
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三、数列的通项公式
1 1 1 1 1
1
1.思考:观察数列 , , , , ,…,判断 是不是这个数列中的项?如
2 4 8 16 32
256
果是的话,是第几项?怎样表示这个数列的第 n 项呢?这个数列中的
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解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数
1 4 9 16 25
2
再观察:2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,所以,它的一个通项公式为 an= 2 .
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公
式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公
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变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列
各数:
1 1 1
1 1 1 1
2 4 6 8
(1)1, , , ;(2)2 ,4 ,6 ,8 ;(3)3,5,9,17;(4) , , , ;(5)7,77,777,7
1 1 1 1
2 4 6 8
数列;③数列 , , , ,…是递减的无穷数列;④数列 0,1,4,9,16,…的通
项公式是an=n2;⑤数列1,5,2,10,3,15,…没有通项公式;⑥摆动数列也
可能有通项公式.
其中正确说法的序号是
.
分析:根据数列的定义、分类以及通项公式的概念进行判断.
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故④错误.
答案:②
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根据数列的前几项求通项公式
例2写出下列数列的一个通项公式:
1
9
25
(1)2,2,2,8, 2 ,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9 999,…;
22 -1 32 -2 42 -3 52 -4
(4)
,
,
,
,…;
1
3
5
7
1
1
1
1
(5),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
(6)4,0,4,0,4,0,….
分析:视察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关
系.
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an=2+2×(-1)n+1.
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反思感悟1.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的
规律.解题时,一定要注意视察项与项数的关系和相邻项间的关系.
具体思路为:
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律
与对应序号间的关系.
(3)对于符号交替出现的情况,可先视察其绝对值,再用(-1)k处理符
号.
(4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的情势,或者利
用周期函数的知识解答.
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数称为这个数列的第n项.
(3)表示:数列的一般情势可以写成:a1,a2,…,an,…,简记为{an}.an表示
数列中的第n个数.
3.思考:数列中的数可以重复出现吗?数列中的数互换位置后,例
如:1,2,3,4,5和2,1,5,4,3是同一个数列吗?
提示:数列中的数可以重复出现,数列中的数互换位置后,与原数列
那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
3.思考:结合前面已知的数列,思考一下是不是所有数列都存在通项
公式?数列通项公式的情势一定是唯一的吗?数列的通项公式可以
用分段函数表示吗?数列的通项公式与函数的解析式有何关系?
提示:不一定;不一定唯一;可以;数列的通项公式实际就是函数的解
析式.
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解析:对于①,错误,数列中的项数可以是有限项或无限项;
对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;
对于③,正确;
对于④,错误,该数列的通项公式是an=(n-1)2;
对于⑤,错误,该数列可以有通项公式,例如 an=
+1