香坊区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

香坊区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设F 1，F 2分别是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠
F 1PQ=60°，|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，BC=，则异面直线A 1C
与B 1C 1所成的角为（
）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A ．
B ．15+
C ．
D ．15+15
+
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
4． 已知抛物线2
8y x =与双曲线的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若，则该双曲
22
21x y a
-=5MF =线的渐近线方程为
A 、
B 、
C 、
D 、530x y ±=350x y ±=450x y ±=540
x y ±=
5． 已知直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
6． 已知全集为，集合，，则（ ）
R {}
|23A x x x =<->或{}2,0,2,4B =-()R A B = ðA ．
B ．
C ．
D ．{}2,0,2-{}2,2,4-{}2,0,3-{}
0,2,47． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（
）
[]90,100
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，49． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（
）
A ．
B ．
C ．（﹣
，
）
D ．
10．直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在
11．不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
12．设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ）
A ．{1，2，3，4，6}
B ．{1，2，3，4，5}
C ．{1，2，5}
D ．{1，2}
二、填空题
13．已知f （x ）=，若不等式f （x ﹣2）≥f （x ）对一切x ∈R 恒成立，则a 的最大值为 ．
14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
()()g x f x m =-15．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．
16．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1，4），D （5，0），则直线l 的方程为 ．
17．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值；⑤M 中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）
18．设集合 ,满足
{}{}
22
|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,,求实数__________.
A B =∅ {}|52A B x x =-<≤ a =三、解答题
19．已知函数f （x ）=ax 2+2x ﹣lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）若a=4，求函数f （x ）的极值；
（Ⅱ）若f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若a ∈（﹣，0），设g （x ）=a （1﹣x ）2﹣2x ﹣1﹣ln （1﹣x ），求证：g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，且对（Ⅱ）中的x 0，满足x 0+x 1＞1．
20．设函数f （x ）=a （x+1）2ln （x+1）+bx （x ＞﹣1），曲线y=f （x ）过点（e ﹣1，e 2﹣e+1），且在点（0，0）处的切线方程为y=0．（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：当x ≥0时，f （x ）≥x 2；
（Ⅲ）若当x ≥0时，f （x ）≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．　
21．（本小题满分12分）已知在中，角所对的边分别为且ABC ∆C B A ，，，，，c b a .)3(sin ))(sin (sin c b C a b B A -=-+（Ⅰ）求角的大小；
A
（Ⅱ） 若，，求.2a =ABC ∆c b ,
22．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4x 的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得与k 的取值无
关，试求点M 的坐标．
23．（本小题满分12分）
已知函数，数列满足：，（）.
21
()x f x x +={}n a 12a =11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
N n *∈（1）求数列的通项公式；
{}n a （2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
{}n a n n S 1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n n T 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
24．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设
，且
，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，
，以
为直径的半圆分别交
于点
，
若
,则
香坊区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
2．【答案】C
【解析】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，
BC=，BA 1=，
CA 1=，
三角形BCA 1是正三角形，异面直线所成角为60°．故选：C ．
3． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，且平面
62VE ^，如图所示，所以此四棱锥表面积为
ABCD 1S =26+2´
´
´1123+2+2622
´´´´´，故选C
．
15=+46
46
10
10
1
1
32
6
E V
D C
B
A
4． 【答案】Ａ
【解析】：依题意，不妨设点M 在第一象限，且Mx 0，y 0，
由抛物线定义，|MF |＝x 0＋，得5＝x 0＋2.
p
2
∴x 0＝3，则y ＝24，所以M 3，2，又点M 在双曲线上，2
06∴－24＝1，则a 2＝，a ＝，32a 292535因此渐近线方程为5x ±3y ＝0.5． 【答案】D
【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1，
直线的斜率为﹣1，
该直线的倾斜角为：．
故选：D．
【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．【答案】A
【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.
7．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2．
故答案为：C
8．【答案】C
【解析】
考点：茎叶图，频率分布直方图．
9．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，
当x≥0时，f（x）=31+x﹣
∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，
∴当x≥0时，f（x）为增函数，
则当x≤0时，f（x）为减函数，
∵f（x）＞f（2x﹣1），
∴|x|＞|2x﹣1|，
∴x2＞（2x﹣1）2，
解得：x∈，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．　
10．【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．
【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣2，
则θ为钝角．
故选：C．
11．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
12．【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
∴P∩（C U Q）={1，2}
故选D．
二、填空题
13．【答案】　﹣　．
【解析】解：∵不等式f（x﹣2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
∴若x≤0，则x﹣2≤﹣2．
则不等式f（x﹣2）≥f（x）等价为，﹣2（x﹣2）≥﹣2x，
即4≥0，此时不等式恒成立，
若0＜x≤2，则x﹣2≤0，
则不等式f（x﹣2）≥f（x）等价为，﹣2（x﹣2）≥ax2+x，
即ax2≤4﹣3x，
则a≤=﹣，
设h（x）=﹣=4（﹣）2﹣9，
∵0＜x≤2，∴≥，
则h（x）≥﹣9，∴此时a≤﹣9，
若x＞2，则x﹣2＞0，
则f（x﹣2）≥f（x）等价为，a（x﹣2）2+（x﹣2）≥ax2+x，
即2a（1﹣x）≥2，
∵x＞2，∴﹣x＜﹣2，1﹣x＜﹣1，
则不等式等价，4a≤=﹣
即2a≤﹣
则g（x）=﹣在x＞2时，为增函数，
∴g（x）＞g（2）=﹣1，
即2a≤﹣1，则a≤﹣，
故a的最大值为﹣，
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可．　
14．【答案】
7 1
4⎛⎤ ⎥⎝⎦，
【解析】
15．【答案】
【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，
即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），
∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.
答案：－1
16．【答案】 ．
【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），故斜率为=，
∴由斜截式可得直线l的方程为，
故答案为．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
17．【答案】　①③⑤　
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1
，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
18．【答案】
7
,3
2
a b
=-=
【解析】
考点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学
生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.
三、解答题
19．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
f′（x）﹣0+
f（x）↘极小值↗
故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值
，无极大值．…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0
当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，
只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）
综上，．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）
，
由，故由（Ⅱ）可知，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）
取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，
从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，
即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）
解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）
设，则m∈（1，+∞），，…（6分）
问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）
故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，∵f′（0）=a+b=0，f（e﹣1）=ae2+b（e﹣1）=a （e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．…
（Ⅱ）f（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x，
设g（x）=（x+1）2ln（x+1）﹣x﹣x2，（x≥0），g′（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣x，
（g′（x））′=2ln（x+1）+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0．∴f（x）≥x2．…
（Ⅲ）设h （x ）=（x+1）2ln （x+1）﹣x ﹣mx 2，h ′（x ）=2（x+1）ln （x+1）+x ﹣2mx ，
（Ⅱ） 中知（x+1）2ln （x+1）≥x 2+x=x （x+1），∴（x+1）ln （x+1）≥x ，∴h ′（x ）≥3x ﹣2mx ，①当3﹣2m ≥0即时，h ′（x ）≥0，∴h （x ）在[0，+∞）单调递增，∴h （x ）≥h （0）=0，成立．②当3﹣2m ＜0即时，h ′（x ）=2（x+1）ln （x+1）+（1﹣2m ）x ，h ′′（x ）=2ln （x+1）+3﹣2m ，令h ′′（x ）
=0，得
，
当x ∈[0，x 0）时，h ′（x ）＜h ′（0）=0，∴h （x ）在[0，x 0）上单调递减，∴h （x ）＜h （0）=0，不成立．综上，
．…
21．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有， 即. 3分
2223c bc a b -=
-bc a c b 3222=-+ 由余弦定理得：，又，故. 6分2
32cos 222=
-+=bc a c b A ),0(π∈A 6π=A
（Ⅱ） ，①， 8分
ABC ∆3sin 2
1
=∴A bc 34=∴bc 又由（Ⅰ）及得，② 10分
2223c bc a b -=-,2=a 1622=+c b 由 ①②解得或. 12分
32,2==c b 2,32==c b 22．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且a=，…1分c=e •a=×
=，
故b=
=
=
，…4分
所以，椭圆E 的方程为
，即x 2+3y 2=5…6分
（2）将y=k （x+1）代入方程E ：x 2+3y 2=5，得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2﹣5=0；…7分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （m ，0），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=
；…8分
∴=（x 1﹣m ，y 1）=（x 1﹣m ，k （x 1+1）），
=（x 2﹣m ，y 2）=（x 2﹣m ，k （x 2+1））；
∴
=（k 2+1）x 1x 2+（k 2﹣m ）（x 1+x 2）+k 2+m 2
=m 2+2m ﹣﹣
，
要使上式与k 无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M （﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．　
23．【答案】
【解析】（1）∵，∴. 211()2x f x x x +=
=+11
(2n n n
a f a a +==+即，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 12n n a a +-={}n a ∴. （5分）
1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=（2）∵数列是等差数列，
{}n a ∴，1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++===+∴. （8分）1111(1)1
n S n n n n ==-
++∴1231111n n T S S S S =++++
11111111(()()()1223341
n n =-+-+-++-+ . （12分）111n =-+1
n
n =
+
24
．【答案】【解析】A
B。