2014年高考理科数学大纲卷-答案
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【提示】给出离心率和约束条件求解
【考点】双曲线的性质
10.【答案】C
【解析】 ， ， ，
∵ ，∴
【提示】给出等比数列两项求变形数列的前n项和
【考点】等比数列
11.【答案】B
【解析】将C点移至A点，做 ，由于 ，所以 ，因为二面角 为 ，所以可令 ，可求得 ， ， ，易求得
【提示】给出空间上的异面直线求余弦值
【考点】异面直线及其所成的角
12.【答案】D
【解析】 与其反函数关于 对称，因为 与 关于 对称，
所以有
【提示】给出约束条件求反函数
【考点】反函数
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】70
【解析】 由 ，即 ，解得 ，∴ 系数为
【提示】给出解析式利用二项式定理解得某项系数
【考点】二项式定理.
14.【答案】5
三、解答题
17.【答案】
【解析】由题设和正弦定理得 ，
， ，
又 ，
【提示】给出约束条件利用正弦定理解求某个角度
【考点】正弦定理，三角函数
18.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数．又 ，故 ，于是 ，解得 ，因此 ，
故数列 的通项公式为 ，
（Ⅱ） ，于是
【提示】给出约束条件求等差数列的通项公式、给出数列求前n项和公式
（i）当 时，由已知 ，故结论成立；
（ii）假设当 时结论成立，即
当 时， ，
，即当 时有 ，结论成立.
根据（i）、（ii）知对任何 结论都成立
【提示】给出函数解析式讨论其单调性，根据组合式证明其取值范围
【考点】导数的意义
若 则 , 在 上是增函数
（ii）当 时， , 成立当且仅当 , 在 上是增函数
（iii）当 时，若 ，则 ， 在 上是增函数；
若 ，则 ， 在 上是减函数；
若 ，则 ， 在 上是增函数
（2）由（1）知，当 时， 在 是增函数
当 时， ，即
又由（I）知，当 时， 在 上是减函数；
当 时， ，即
下面用数学归纳法证明 .
【提示】给出实际的约束条件，求出不同的组合
【考点】排列组合
6.【答案】A
【解析】有椭圆的定义可得， 又因为 ，所以 ，解得 ，所以椭圆方程为 ，故选A
【提示】通过椭圆的基本性质求椭圆的标准方程
【考点】椭圆的简单的性质
7.【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，将 代入得 ，故选C
【提示】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
21.【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1）设 ，代入由 中得 ，所以 ， ，由题设得 ，解得 （舍去）或
所以C的方程为
（2）依题意知直线 与坐标轴不垂直，故可设直线 的方程为 ， 代入 中得 ，
设 ， ，则 ， ，故AB的中点为 ，
，有直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 .设 ， ，
【提示】利用圆的切线及其交点坐标求得夹角正切值
【考点】两直线的夹角与到角问题
16.【答案】
【解析】 ，令 ，则原函数为
∵ 时分 减函数，则 在 上是减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为 ∴ ，解得： ，
所以a的取值范围是
【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围
【考点】三角函数，单调函数
3.【答案】C
【解析】 ，故有 故选C
【提示】给出三个三角函数比较大小
【考点】三角函数的单调性
4.【答案】B
【解析】因为 ，所以 即 因为 即 又因为 所以 ，即 因为 ，所以 ，
【提示】给出约束条件求向量
【考点】向量的基本运算.
5.【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有 种不同选法，从5名女医生种选出1名有 种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有 种不同选法
∴ 为二面角 的平面角，由 可知D为AC中点，
∴ ，∴
∴二面角 的大小为 ．
【提示】（1）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（2）做辅助线可证 为二面角 的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【考点】空间几何中异面直线所成角、直线与平面垂直、二面角等基础知识
20.【答案】（1）0.31
（2）
【解析】记 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 人需使用设备，
则 ．故MN的中点为 ，
），由于MN垂直平分AB，
故A，M，B，N四点在同一个圆上，等价于 ，
从而 ，
即 ，
化简得 =0，解得 或 ，所以所求直线 的方程为 或
【提示】用已知的条件求出抛物线的标准方程、用直线的特点求出直线的方程
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
22.【答案】（1） 的定义域为 ，
（i）当 时，若 ，则 , 在 上是增函数；若 则 , 在 上是减函数；
2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】∵ ，所以
【提示】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【考点】复数的基本运算
2.【答案】B
【解析】 ， 即 [0，4）
【提示】用描述法给出两个集合求它们的并集．
【考点】交集及其运算
【考点】数列的求和
19.【答案】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ，
又 ∴ 平面 ，连结 ，由侧面 为菱形可得 ，
由三垂线定理可得 ；
（2）∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ，作 ，E为垂足，可得 平面 ，又直线 平面 ，
∴ 为直线 与平面 的距离，即 ，
∵ 为 的平分线，∴ ，
作 ，F为垂足，连结 ，由三垂线定理可得 ，
B表示事件：甲需使用设备
C表示事件：丁需使用设备
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
E表示事件：同一工作日4人需使用设备
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k
（1） ，
， ，
所以
列为
0
1
2
3
4
∴数学期望
【提示】针对实际问题运用互斥事件独立事件的性质求解概率最值问题
【考点】导数的几何意义
8.【答案】A
【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 ，球心为0， ，解得 ，所以球的表面积
【提示】给出四棱锥的顶点都在球上及其高和底边长，根据球的性质求其表面积
【考点】球的表面积，球的性质
9.【答案】A
【解析】因为 ，根据双曲线性质可得 ，所以 ， ，且由 ，因为双曲线离心率为2，所以 ，可知 为等腰三角形，根据边长之比可知
【解析】约束条件的可行域如图 所示当目标函数过点A（1，1）时， 取最大值
【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值
【考点】简单线性规划
15.【答案】
【解析】已知圆的圆心 ，半径 ，则 与 的距离为 ．
设点为P，则 ，在 设两切线的夹角为α，所以 ．
【考点】双曲线的性质
10.【答案】C
【解析】 ， ， ，
∵ ，∴
【提示】给出等比数列两项求变形数列的前n项和
【考点】等比数列
11.【答案】B
【解析】将C点移至A点，做 ，由于 ，所以 ，因为二面角 为 ，所以可令 ，可求得 ， ， ，易求得
【提示】给出空间上的异面直线求余弦值
【考点】异面直线及其所成的角
12.【答案】D
【解析】 与其反函数关于 对称，因为 与 关于 对称，
所以有
【提示】给出约束条件求反函数
【考点】反函数
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】70
【解析】 由 ，即 ，解得 ，∴ 系数为
【提示】给出解析式利用二项式定理解得某项系数
【考点】二项式定理.
14.【答案】5
三、解答题
17.【答案】
【解析】由题设和正弦定理得 ，
， ，
又 ，
【提示】给出约束条件利用正弦定理解求某个角度
【考点】正弦定理，三角函数
18.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由 ， 为整数知，等差数列 的公差 为整数．又 ，故 ，于是 ，解得 ，因此 ，
故数列 的通项公式为 ，
（Ⅱ） ，于是
【提示】给出约束条件求等差数列的通项公式、给出数列求前n项和公式
（i）当 时，由已知 ，故结论成立；
（ii）假设当 时结论成立，即
当 时， ，
，即当 时有 ，结论成立.
根据（i）、（ii）知对任何 结论都成立
【提示】给出函数解析式讨论其单调性，根据组合式证明其取值范围
【考点】导数的意义
若 则 , 在 上是增函数
（ii）当 时， , 成立当且仅当 , 在 上是增函数
（iii）当 时，若 ，则 ， 在 上是增函数；
若 ，则 ， 在 上是减函数；
若 ，则 ， 在 上是增函数
（2）由（1）知，当 时， 在 是增函数
当 时， ，即
又由（I）知，当 时， 在 上是减函数；
当 时， ，即
下面用数学归纳法证明 .
【提示】给出实际的约束条件，求出不同的组合
【考点】排列组合
6.【答案】A
【解析】有椭圆的定义可得， 又因为 ，所以 ，解得 ，所以椭圆方程为 ，故选A
【提示】通过椭圆的基本性质求椭圆的标准方程
【考点】椭圆的简单的性质
7.【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，将 代入得 ，故选C
【提示】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率
【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式
21.【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1）设 ，代入由 中得 ，所以 ， ，由题设得 ，解得 （舍去）或
所以C的方程为
（2）依题意知直线 与坐标轴不垂直，故可设直线 的方程为 ， 代入 中得 ，
设 ， ，则 ， ，故AB的中点为 ，
，有直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，将上式代入 中，并整理得 .设 ， ，
【提示】利用圆的切线及其交点坐标求得夹角正切值
【考点】两直线的夹角与到角问题
16.【答案】
【解析】 ，令 ，则原函数为
∵ 时分 减函数，则 在 上是减函数，
∵ 的图象开口向下，且对称轴方程为 ∴ ，解得： ，
所以a的取值范围是
【提示】给出三角函数解析式且给出单调区间求解析式未知量的取值范围
【考点】三角函数，单调函数
3.【答案】C
【解析】 ，故有 故选C
【提示】给出三个三角函数比较大小
【考点】三角函数的单调性
4.【答案】B
【解析】因为 ，所以 即 因为 即 又因为 所以 ，即 因为 ，所以 ，
【提示】给出约束条件求向量
【考点】向量的基本运算.
5.【答案】C
【解析】从6名男医生中选出2名有 种不同选法，从5名女医生种选出1名有 种不同选法，根据分布计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有 种不同选法
∴ 为二面角 的平面角，由 可知D为AC中点，
∴ ，∴
∴二面角 的大小为 ．
【提示】（1）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（2）做辅助线可证 为二面角 的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【考点】空间几何中异面直线所成角、直线与平面垂直、二面角等基础知识
20.【答案】（1）0.31
（2）
【解析】记 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 人需使用设备，
则 ．故MN的中点为 ，
），由于MN垂直平分AB，
故A，M，B，N四点在同一个圆上，等价于 ，
从而 ，
即 ，
化简得 =0，解得 或 ，所以所求直线 的方程为 或
【提示】用已知的条件求出抛物线的标准方程、用直线的特点求出直线的方程
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
22.【答案】（1） 的定义域为 ，
（i）当 时，若 ，则 , 在 上是增函数；若 则 , 在 上是减函数；
2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】∵ ，所以
【提示】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【考点】复数的基本运算
2.【答案】B
【解析】 ， 即 [0，4）
【提示】用描述法给出两个集合求它们的并集．
【考点】交集及其运算
【考点】数列的求和
19.【答案】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ，
又 ∴ 平面 ，连结 ，由侧面 为菱形可得 ，
由三垂线定理可得 ；
（2）∵ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ，作 ，E为垂足，可得 平面 ，又直线 平面 ，
∴ 为直线 与平面 的距离，即 ，
∵ 为 的平分线，∴ ，
作 ，F为垂足，连结 ，由三垂线定理可得 ，
B表示事件：甲需使用设备
C表示事件：丁需使用设备
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
E表示事件：同一工作日4人需使用设备
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k
（1） ，
， ，
所以
列为
0
1
2
3
4
∴数学期望
【提示】针对实际问题运用互斥事件独立事件的性质求解概率最值问题
【考点】导数的几何意义
8.【答案】A
【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 ，球心为0， ，解得 ，所以球的表面积
【提示】给出四棱锥的顶点都在球上及其高和底边长，根据球的性质求其表面积
【考点】球的表面积，球的性质
9.【答案】A
【解析】因为 ，根据双曲线性质可得 ，所以 ， ，且由 ，因为双曲线离心率为2，所以 ，可知 为等腰三角形，根据边长之比可知
【解析】约束条件的可行域如图 所示当目标函数过点A（1，1）时， 取最大值
【提示】给出约束条件，应用数行结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值
【考点】简单线性规划
15.【答案】
【解析】已知圆的圆心 ，半径 ，则 与 的距离为 ．
设点为P，则 ，在 设两切线的夹角为α，所以 ．