乘法公式的拓展及常见题型

乘法公式的拓展及常见题型
一．公式拓展:
拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a
a a a 拓展二：a
b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+
ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-
拓展三:bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++
拓展四：杨辉三角形
3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五: 立方和与立方差
))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-
二．基本考点
例1：已知:32
a b +=
，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 例2:化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。

练习：
1、（a+b －1）（a －b+1）= 。

2．若x 2－y 2=30,且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）
A ．5
B ．6
C ．－6
D ．－5
3、已知 2()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2()a b -的值.
4、试说明不论x ，y 取何值,代数式22
6415x y x y ++-+的值总是正数.
5、(a －2b +3c ）2－(a +2b －3c )2= 。

6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数,求y x 的值.
7、2
200720092008⨯-（运用乘法公式）
题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用
解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-
题型二：应用完全平方公式求值
设m+n=10,mn=24，求()222m n m n +-和的值。

题型三：巧用乘法公式简算
计算:(1)()()()
24832121211++++； （2)9910110001⨯⨯
题型四：利用乘法公式证明
对任意整数n ，整式()()()()3n 13n 13n 3n +---+是不是10的倍数？为什么?
题型五：乘法公式在几何中的应用
已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足222a b c ab bc ac 0++---=，试判断△ABC 的形状。

三．常见题型:
（一)公式倍比
例题：已知b a +=4,求ab b a ++2
2
2。

⑴如果1,3=-=-c a b a ,那么()()()2
22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ,则222
121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则
=
（二）公式组合 例题：已知（a+b ）2=7，（a —b ）2=3， 求值: (1)a 2+b 2 （2)ab
⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22
+=____________，a b =_________
⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=
⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为
⑷如果2
2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于
⑸已知(a+b)2=m ，(a-b ）2=n,则ab 等于
⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。

⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求)
)((2222d c b a ++
(三）整体代入
例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值.
例2：已知a=
201x ＋20，b=201x ＋19，c=20
1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值
⑴若499,7322=-=-y x y x ,则y x 3+=
⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=
⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b
a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．
（四）步步为营
例题:3⨯(22+1）⨯（24+1)⨯(28+1)⨯(162+1）
6⨯)17(+⨯(72+1)⨯（74+1）⨯（78+1）+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++
1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+
222222122009201020112012-++-+- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011
（五）分类配方
例题：已知0341062
2=++-+n m n m ，求n m +的值.
⑴已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y —6z+14=0，则x+y+z 的值为 。

⑵已知x ²+y ²-6x —2y+10=0，则11x y
+的值为 。

⑶已知x 2+y 2—2x+2y+2=0，求代数式20032004x y +的值为 。

⑷若x y x y 22
46130++-+=,x ，y 均为有理数，求y x 的值为 。

⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求（a+b ）2的值为
(六）首尾互倒
例1:已知
242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）
例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值； ⑴已知0132=--x x ，求①221x x += ②2
21x x -= ⑵若x 2－ 2
19x ＋1=0,求441x x + 的值为 (3)已知
31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a
+= 且0〈a<1，求a － a 1的值是 ⑹已知a 2－3a ＋1＝0．求a
a 1+和a － a 1和221
a a +的值为 ⑺已知31=+x
x ，求①221x x += ②441x x += ⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝
⎛-a a 的值;
（七）知二求一
例题:已知3,5==+ab b a ，
求：①22b a + ②b a - ③22b a - ④a
b b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +
⑴已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______
⑵若a 2+2a=1则(a+1）2=________.
⑶若22a b +=7,a+b=5,则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b=
⑷若x 2+y 2=12，xy=4，则(x-y)2=_________.22a b +=7，a —b=5，则ab=
⑸若22a b +=3，ab =-4，则a —b=
⑹已知：a+b=7,ab=-12，求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③（a —b ）2= ⑺已知a ＋b=3,a 3＋b 3=9,则ab= ，a 2+b 2= ,a —b=
练习
1、（顺用公式）计算:()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++
2、逆用公式：①1949²—1950²+1951²—1952²+……+2011²-2012²
②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011
③ 1.2345²+0。

7655²+2。

469×0。

7655
3、配方法：已知:x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值。

【变式练习】
①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0,求11x y
+的值.
②已知：x ²+y ²+z ²—2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。

③当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是
对于2243x x ---呢?
4、变形用公式：（1）若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。

(2）化简：()()22
a b c d a b c d +++++--
(3）如果22223()()a b c a b c ++=++，猜想a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。

公式变形的应用练习题
1、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

2、已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2()a b -的值。

3、已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

4、（1）已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

(2)已知（a +b ）2=60，(a -b ）2=80，求a 2+b 2及a b 的值
5、已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值.
6、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2
x xy --的值.
7、计算:（1）22007200720082006
-⨯． (2)22007200820061⨯+．
8、（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x ）（1－x ）=1－x 2，(1－x)（1+x+x 2）=1－x 3, （1－x ）（•1+x+x 2+x 3）=1－x 4．
（1）观察以上各式并猜想：（1－x)（1+x+x 2+…+x n )=______．（n 为正整数)
（2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．
（3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．
③（a －b ）(a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．
9、探究拓展与应用
（2+1)(22+1)(24+1)=（2－1)（2+1）(22+1)(24+1）=(22－1）(22+1)(24+1） =（24－1)(24+1)=（28－1）.
根据上式的计算方法，请计算
（3+1）（32+1)（34+1)…(332
+1）－2364
的值。