2008级微积分上(A)试题及其参考答案

2008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案1．求下列极限（每小题5分，共20分）
1．
其中，
二．求解下列各题（每小题5分，共20分）.
1．设，其中为连续函数，求
解：.
2．设函数由方程确定，其中具有一阶连续导数，求
解：方程两边同时关于求导，得：
(1)
所以， (2)
故
3．设求
解：两边取对数，得：
上式两边同时关于求导，得：
所以
4．求方程的通解.
解：特征方程为，特征根为，故通解为
三．求下列积分（每小题6分，共30分）
另解：令则
原式
3.
其中
；
所以，
4.设求
解：因为
故
5
四．求解下列各题（共10分）
讨论方程的根的个数.
解：令
令得唯一驻点
因为当时，而当时，
因此为函数的最大值.
又
综合以上信息可以画出函数之草图.
从图易见方程恰有两根.
五．设有连续导数，且（1），求（共10分）
解：由（1）式显然得
(2)
(2)式两边关于求导，得
即
即，
也就是（3）
此为一阶线性微分方程，故其通解为
（4）
将代入（4）式，得，所以.
六.求曲线与与轴及直线所围图形分别绕轴、轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）
解：（一）
（二）。