松岗中学2013届理科数学三大题限时训练(4)

松岗中学2013届理科数学三/四大题限时训练（4）
1、设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-
（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）若tan tan 16αβ
=，求证：a ∥b 。

2、一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M 、N 分别表示是AF 、BF 的中点） （1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求二面角A —CF —B 的余弦值；
（3）求多面体A —CDEF 的体积。

3、某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T （单位：年）有关，若T ≤1，则销售利润为0元；若1<T ≤3，则销售利润为100元，若T>3,则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1<T ≤3，T>3这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知
12,P P 为方程25x 2-15x+a=0的两根,且23P P =.(Ⅰ)求123,,P P P 的值;（Ⅱ）记ξ表示销售两
台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及数学期望.
4.将函数333
()sin
sin (2)sin (3)442
f x x x x ππ=⋅+⋅+在区间（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a (1,2,3)n =.(1)求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12sin sin sin n n n n b a a a ++=,求证：1
(1)(1,2,3)4
n n b n --==。

1、（1）∵b －2c (sin 2cos ,4cos 8sin )ββββ=-+，且a 与b －2c 垂直，
∴4cos (sin 2cos )sin (4cos 8sin )0αββαββ-++=，………………（3分） 即sin cos cos sin 2(cos cos sin sin )αβαβαβαβ+=-，………………（4分） ∴sin()2cos()αβαβ+=+， ∴tan()2αβ+=.………………（6分）
（2）∵tan tan 16αβ=，∴
sin sin 16cos cos αβ
αβ
⋅=，即sin sin 16cos cos αβαβ=， ∴(4cos )(4cos )sin sin αβαβ⋅=，………………（10分） 即a (4cos ,sin )αα=与b (sin ,4cos )ββ=共线， ∴a ∥b . ………………（12分）
2、由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE —BCF ，且AB =BC =BF =4，
24==CF DE ，2
π
=
∠CBF
（1）连结取BE ，易见BE 通过点M 。

连结CE 。

EM =BM ，CN =BN ⇒MN ∥CE ，CE ⊂面CDEF ⇒ MN ∥面CDE ………………（4分）
（2）作BQ ⊥CF 于Q ，连结AQ 。

面BFC ⊥面ABFE ，面ABFE ∩面BEC =BF ，AB ⊂面ABFE ，AB ⊥BF ⇒AB ⊥面BCF ，CF ⊂面BCF ⇒AB ⊥CF ，BQ ⊥CF ，AB ∩BQ=B ⇒CF ⊥面ABQ ，AQ ⊂面AB Q ⇒AQ ⊥CF ，故AQB ∠为所求二面角的平面角。

………………（7分）
在Rt △ABQ 中tan AQB ∠=
33
cos 2224=
∠⇒==AQB BQ AB ………………（8分） 所以所求二面角的余弦值为
3
3。

………………（9分） （3）棱锥A —CDEF 的体积：
3
64
31222=⋅⨯=⨯=⨯=--BC S V V V ABF ABF C CEF A 。

………………（12分）
3、解：(Ⅰ)由已知得12312
23135P P P P P P P ++=⎧⎪⎪+=⎨⎪
=⎪⎩ 解得:1P =51,2P =52,3P =52.
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400.
P(ξ=0)= 51⨯51=251
P(ξ=100)= 2⨯51⨯52=254
P(ξ=200)= 2⨯51⨯52+52⨯52=258
P(ξ=300)= 2⨯52⨯52=258
P(ξ=400)= 52⨯52=254
随机变量ξ的分布列为
所求的数学期望为E ξ=0⨯251+100⨯254+200⨯258+300⨯258+400⨯254
=240(元)
所以随机变量ξ的数学期望为240元.
4、（1）解 ∵f （x ）=sin 4
3x ·sin(4
3x +
23π)·sin(23x +2
9
π) =sin 4
3
x ·⎪⎭
⎫
⎝⎛-x 43
cos ·cos 23x =-21sin 23x ·cos 23x =-4
1sin3x
∴f （x ）的极值点为x =3πk +6
π
，k ∈Z，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以
6π为首项，3
π
为公差的等差数列，
∴a n =
6π+（n -1）·3π=6
12-n π，（n =1，2，3，…）. （2）证明 由a n =
6
1
2-n π知对任意正整数n ,a n 都不是π的整数倍. 所以sin a n ≠0,从而b n =sin a n sin a n +1sin a n +2≠0. 于是
n n b b 1+=21321sin sin sin sin sin sin +++++n n n n n n a a a a a a =n n a a sin sin 3+=n
n a a sin )
sin(π+=-1. 又b 1=sin 6π·sin 2π·sin 65π=41,{b n }是以4
1为首项，-1为公比的等比数列.∴b n =4
)1(1
--n （n =1，2，3，…）.。