辅助角公式

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推导
对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形
，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则
，因此
就是所求辅助角公式。

又因为
，且-π/2<φ<π/2，所以
，于是上述公式还可以写成
该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况）
，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则
，因此
同理，
，上式化成
若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则
再根据诱导公式
得
记忆
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。

疑问
为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。

而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者
公式应用
例1
求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值
解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k
∴√[1+(-2k)²]sin(θ+α)=√5k
平方得k²=sin²(θ+α)/[5-4sin²(θ+α)]
令t=sin²(θ+α) t∈[0,1]则k²=t/(5-4t)=1/(5/t-4)
当t=1时有kmax=1
辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2
化简5sina-12cosa
解：5sina-12cosa
=13(5/13*sina-12/13*cosa)
=13(cosbsina-sinbcosa)
=13sin(a-b)
其中，cosb=5/13,sinb=12/13
例3
π/6≤a≤π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值解：令f(a)=sin²a+2sinacosa+3cos²a
=1+sin2a+2cos²a
=1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)
=2+(sin2a+cos2a)
=2+（√2）sin(2a+π/4)(辅助角公式)
因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4
所以f(a)min=f(3π/4)=2+(√2)sin(3π/4)=3
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以下无正文
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