2023北京海淀初三(上)期末数学及答案
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2023北京海淀初三(上)期末
数 学
2022.12
第一部分选择题
一、选择题(共16分,每题2分)
第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.刺绣是中国民间传统手工艺之一.下列刺绣图案中,是中心对称图形的为
2.点A (1, 2)关于原点对称的点的坐标为
(A)(-1, -2) (B) ( -1,2) (C) (1, -2) (D)(2,1)
3.二次函数2
2y x =+的图象向左平移1个单位长度,得到的二次函数解析式为
(A) 2
3y x =+ (B) 2
(1)2y x =-+(C) 2
1y x =+ (D) 2
(1)2y x =++
4.如图,已知正方形ABCD ,以点A 为圆心,AB 长为半径作⊙A , 点C 与⊙A 的位置关系为 (A)点C 在⊙A 外(B)点C 在⊙A 内 (C)点C 在⊙A 上(D)无法确定
5.若点M(0,5), N(2,5)在抛物线2
2()3y x m =-+上,则m 的值为 (A)2 (B) 1
(C)0 (D) -1
6.勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由 三段圆弧组成的曲边三角形.如图,该勒洛三角形绕其中心O 旋转一定角 度 a 后能与自身重合,则该角度a 可以为 (A) 30°
(B ) 60°
(C) 120° (D) 150°
7.如图,过点A 作⊙O 的切线AB , AC ,切点分别是B , C ,连接BC.过BC 上 一点D 作⊙O 的切线,交AB , AC 于煎E ,F.若∠A =90°,△AEF 的周长 为 4,则BC 的长为 (A)2 (B) 22(C)4 (D) 42
8.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动.如图是某赛道的部分通行路线示意图,某赛车从入口 4驶入,行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同,则该赛车从F 口驶出的概率是
(A)
13 (B) 14 (C) 15 (D) 16
第二部分非选择题
二、填空题(共16分,每题2分)
9.二次函数2
43y x x =-+的图象与y 轴的交点坐标为 . 10.半径为3,圆心角为120°的扇形的面积为 . 11.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.
根据以上数据,估计这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为 .
12.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 13.二次函数2
y ax bx =+的图象如图所示,则ab 0(填“>”“<”或“=”)
14.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,OD ⊥AB 于点E ,若⊙O 2,∠ACB =45°,则OE= .
15.对于二次函数2
y ax bx c =++, y 与x 的部分对应值如表所示. x 在某一范围内,y 随x 的增大而减小,
写出一个符合条件的x 的取值范围 .
16.如图,AB , AC ,AD 分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB= 2,下 面四个结论中,
①该圆的半径为2 ; ②AC 的长为
2
π; ③AC 平分心∠BAD ;
④连接BC , CD ,则△ABC 与的面积比为13 所有正确结论的序号是 .
三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22-23题,每题5分,第 24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解方程:226x x -=.
18.已知抛物线2
2y x bx c =++过点(1, 3)和(0, 4),求该抛物线的解析式.
19.已知a 为方程22310x x --=的一个根,求代数式(1)(1)3(2)a a a a +-+-的值.
20.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 为直径,BC =CD .若∠A=50°,求∠B 的度数.
21.为了发展学生的兴趣爱好,学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动.小明和小天参加 的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场.活动时,每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机 抽取一个场地进行训练. (1)小明抽到甲训练场的概率为 ;
(2)用列表或画树状图的方法,求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率.
22.已知:如图,AB 是⊙O 的切线,A 为切点. 求作:⊙O 的另一条切线PB , B 为切点.
作法:以P 为圆心,PA 长为半径画弧,交⊙O 于点B ; 作直线PB. 直线PB 即为所求.
(1)根据上面的作法,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面证明过程. 证明:连接OA ,OB , OP. ∵PA 是⊙O 的切线,A 为切点, ∴OA ⊥PA. ∴∠ PAO = 90°. 在△PAO 与△PBO 中,
______PA PB OP OP =⎧⎪
=⎨⎪⎩
∴△PAO ≌△PBO ∴∠PAO=∠PBO = 90°. ∴OB ⊥PB 于点 B. ∵是⊙O 的半径,
∴PB 是⊙O
的切线( )(填推理的依据). 23.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品,其制作过程需要几十种不同的工具,其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”,其形状及, 使用方法如图1.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好 贴在壶口边界时,就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3, ⊙O 为某紫砂壶的壶口,已知A ,B 两点在⊙O 上,直线l 过点O ,且l ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C.若AB=30mm , CD =5mm ,求这个紫砂壶的壶口半径r 的长.
24.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上.过点C 作⊙O 的切线l ,过点B 作 BD ⊥l 于点D 。
(1)求证:BC 平分∠ABD ;
(2)连接OD ,若∠ABD = 60°, CD = 3,求OD 的长.
25.学校举办“科技之星”颁奖典礼,颁奖现场入口为一个拱门.小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技” “之” “星”四个大字(如图1),其中,“科”与“星”距地面的高度相同,“技”与 “之”距地面的高度相同,他发现拱门可以看作是抛物线的一部分,四个字和五角星可以看 作抛物线上的点.通过测量得到拱门的最大跨度是10米,最高点的五角星距地面6.25米.
(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy ,并求出该抛物线的解析式;
(2) “技”与“之”的水平距离为2a 米.小明想同时达到如下两个设计效果: ①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍; ②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米.
小明的设计能否实现?若能实现,直接写出a 的值;若不能实现,请说明理由. 26.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2
1y ax bx =++过点(2,1). (1)求b (用含a 的式子表示);
(2)抛物线过点(2,),(1,),(3,)M m N n P p -
①判断:(1)(1)m n -- 0 (填“>”“<”或“=”); ②若,,M N P 恰有两个点在x 轴上方,求a 的取值范围.
27.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= 120°.D是AB边上一点,DE⊥AC交CA的延长线于点E.
(1)用等式表示AD与AE的数量关系,并证明;
(2)连接BE,延长BE至F,使EF=BE.连接DC,CF,DF.
①依题意补全图形;
②判断△DCF的形状,并证明.
28.在平面直角坐标系xOy中,对于点P和线段AB,若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB 有公共点,则称点P为线段AB的融合点.
(1)已知A(3,0),B(5,0),
①在点P1(6,0),P2(1,-2),P3 (3,2)中,线段AB的融合点是;
上存在线段AB 的融合点,求t的取值范围;
②若直线y t
(2)已知⊙O的半径为4,A(a,0),B(a+ 1,0),直线l过点T(0,-1),记线段AB关于l的对称线段为A'B'.若对于实数,存在直线l,使得⊙O上有A'B'的融合点,直接写出a的取值范围.
参考答案
第一部分 选择题
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
第二部分 非选择题
二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.(0,3); 10.3π; 11.0.51(答案不唯一);
12.4
9
<
m ;
13.<;
14.1;
15.2x >(答案不唯一,满足3
2
x ≥
即可); 16.①③④.
三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22-23题,每题5分,第24-26题,每
题6分,第27-28题,每题7分) 17. 解:2
2161x
x , …………………………………………………………………………………1分
2
(1)7.x ………………………………………………… 3分
∴ 17x .
∴ 1
1
7x ,21
7x . …………………………………………… 5分
18. 解:∵抛物线22y x bx c =++过点(1,3)和(0,4),
∴
324.
b c c , ………………………………………………………… 2分
解方程组,得 34.
b c , ………………………………………… 4分
∴抛物线的解析式是2
234y x x =-+ . ……………………………. 5分
19. 解:∵ a 为方程2
2310x x --=的一个根,
∴ 2
2310a a --=. ……………………………1分 ∴ 2
23 1.a a -=
原式=2
2
136a a a -+- ………………………………3分
=2
461a a -- ………………………………4分 =22(23)1a a -- =211⨯-
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
B
A
D
A
B
C
B
B
=1 . ………………………………………5分
20. 解:如图,连接A C . …………………………………………1分
∵ BC CD =,
∴ ∠DAC=∠BAC. ………………………………………… 2分 ∵ 50DAB ∠=,
∴ 1
252
BAC DAB ∠=∠=. ……………………………… 3分
∵ AB 为直径,
∴ 90ACB ∠=. ………………………………… 4分 ∴ 9065B BAC ∠=-∠=. ………………………………5分 21. 解:(1)
1
3
; ……………………………… 2分 (2)根据题意,可以画出如下树状图:
………… 4分
由树状图可以看出,所有可能出现的结果有9种,并且这些结果出现的可能性相等.
小明和小天抽到同一场地训练(记为事件A )的结果有3种,
所以,P (A )31
==93
. (6)
分
22. (1)补全图形,如图所示:
……………………2分
(2)OA=OB , …………………………………………3分
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ……………………5分 23. 解:如图,连接OB . ………………………………………1分
∵ l 过圆心O ,l ⊥AB ,30AB =,
∴ 1
152
BD AB ==. ……………………………………… 3分
∵ 5CD =, ∴ 5DO r =-.
∵ 2
2
2
BO BD DO =+,
B
A P
O
D C
B
A
l
O
∴ 222
15(5)r r =+-. …………………………………………4分 解得 25r =.
∴ 这个紫砂壶的壶口半径r 的长为25mm . …………………………5分
24. 证明:(1) 如图,连接OC .
∵ 直线l 与⊙O 相切于点C ,
∴ OC ⊥l 于点C . ………………………………………1分 ∴ 90OCD ∠=︒. ∵ BD l ⊥于点D , ∴ 90BDC ∠=︒.
∴ 180OCD BDC ∠+∠=︒.
∴ OC // BD . ………………………………………2分 ∴ OCB CBD ∠=∠. ∵ OC OB =, ∴ OBC OCB ∠=∠. ∴ OBC CBD ∠=∠.
∴ BC 平分ABD ∠. …………………3分 (2)连接AC .
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ 90ACB ∠=︒. ………………………………………………4分 ∵ 60ABD ∠=︒,
∴ OBC CBD ∠=∠=1
302
ABD ∠=︒.
在Rt △BDC 中, ∵30CBD ∠=︒,CD =3,
∴ 26BC CD ==. ……………………………………5分 在Rt △ACB 中, ∵30ABC ∠=︒, ∴ 2AB AC =. ∵ 222AC BC AB +=, ∴ 43AB = ∴ 1
232
OC AB =
=. 在Rt △OCD 中, ∵222OC CD OD +=,
∴ 21OD = …………………………………………………………………………………6分
A
B
O
C
l
25. 解:(1)答案不唯一.
如图,以抛物线顶点为原点,以抛物线对称轴为y 轴,建立平面直角坐标系. ……………1分 设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2. ………………………………………………2分
∵ 抛物线过点()5 6.25-,
, ∴ 25 6.25a =-. ……………………………………3分 ∴ 0.25a =-.
∴ 这条抛物线表示的二次函数为20.25y x =-. …………………………4分
(2)能实现; (5)
分
2a = ……………………………………………………6分
26. 解:(1)
抛物线21y ax bx =++过点(2,1),
∴22211a b ⋅+⋅+=. ……………………………………1分 ∴2b a =-. …………………………………………………2分
(2)① <; ……………………………………………………3分
② 由(1)知2b a =-,
∴221y ax ax =-+. ∴抛物线对称轴为1x =.
抛物线过点M (﹣2,m ),N (1,n ),P (3,p ),
∴81m a =+,1n a =-+,31p a =+. …………………………………………………4分
当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为1x =, ∴抛物线在1x =时,取得最小值n .
M ,N ,P 恰有两点在x 轴上方,
∴M ,P 在x 轴上方,N 在x 轴上或x 轴下方.
∴ 810
31010a a a +>⎧⎪
+>⎨⎪-+≤⎩,解得1a ≥. ……………………………5分
当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为1x =, ∴抛物线在1x =时,取得最大值n ,且m p <.
M ,N ,P 恰有两点在x 轴上方,
x
y
–1
–2–3–4–5–6123456
–1–2–3–4–5–6–7
1
O
∴N ,P 在x 轴上方,M 在x 轴上或x 轴下方.
∴ 10310810
a a a -+>⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩
,解得1138a -<≤-.
综上,a 的取值范围是11
38
a -<≤-或1a ≥. …………………………6分
27.(1)线段AD 与AE 的数量关系:AD =2AE . ………………………1分
证明:∵ DE ⊥AC ,
∴ ∠DEA =90°. ∵ ∠BAC =120°,
∴ ∠ADE =∠BAC -∠DEA =30°.
∴ AD =2AE . ……………………2分
(2)① 补全图形,如图. ……………………………3分
② 结论:△DCF 是等边三角形. …………………………4分 证明:延长BA 至点H 使AH =AB ,连接CH ,FH ,如图.
∵ AB =AC , ∴ AH =AC .
∵ ∠HAC =180°-∠BAC =60°, ∴ △ACH 是等边三角形.
∴ HC =AC ,∠AHC =∠ACH =60°. ∵ AH =AB ,EF =BE ,
∴ HF =2AE ,HF ∥AE . …………………………5分 ∴ ∠FHA =∠HAC =60°.
∴ ∠FHC =∠FHA +∠AHC =120°. ∴ ∠FHC =∠DAC . ∵ AD =2AE , ∴ HF =AD . ∵ HC =AC ,
∴ △FHC ≌△DAC . …………………………………………………………6分 ∴ FC =DC ,∠HCF =∠ACD .
F
D
E
A
H
A
E
D
F
∴ ∠FCD =∠ACH =60°.
∴ △DCF 是等边三角形. ………………………………………………………7分
28.(1)① P 1 ,
P 3; ………………………………………………………2分
②线段AB 融合点的轨迹为分别以点A ,B 为圆心,AB 长为半径的圆及两圆内区域. ……3分
当直线y =t 与两圆相切时,记为l 1,l 2.
∵A (3,0),B (5,0),
∴t =2或t =-2. ………………………………………………………4分 ∴当-2≤ t ≤2时,直线y =t 上存在线段AB 的融合点. ……………………………………………5分
(23135a ≤≤3513a -≤≤-. …………………7分
x
y
–1
–2
–3
–4
1
23
4
56
7
–1–2–3–4
1
234A O
B l
l。