八年级上册数学 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

八年级上册数学全等三角形单元测试卷（word版，含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，已知等边ABC
∆的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边CEF
∆，连接BF并延长至点,N M为BN上一点，且5
CM CN
==，则MN的长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出
1
2
4
CG BC
==，在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长．
【详解】
解：如图示：作CG⊥MN于G，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE，
即∠ACE=∠BCF，
在△ACE与△BCF中
AC BC
ACE BCF
CE CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△BCF（SAS），
又∵AD是三角形△ABC的中线
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴
1
2
4
CG BC
==，
在Rt△CMG中，2222
543
MG CM CG
=-=-，
∴MN=2MG=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．
2．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．
【答案】(－4，2)或(－4，3)
【解析】
【分析】
【详解】
把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.
故答案为(－4，2)或(－4，3).
3．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．
【答案】16
【解析】
【分析】
利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．
【详解】
解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，
10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．
4．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC
=____．
【答案】
22
． 【解析】
【分析】
根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．
【详解】
解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．
设AD=2x ，
∵AB=AC ，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12
=
AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，
∴∠HDC=∠HCD=15°，
∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，
∴DH=HC=2x ，FH 3=x ， ∴AB=AC=2x+23x ，
在Rt △ACE 中，EC 12
=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，
在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =
+=22x ， ∴22
22AD BC x ==． 故答案为：
22． 【点睛】
本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.
【答案】10.
【解析】
【分析】
延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ∆≅∆，而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.
【详解】
解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，
∵点E 是线段AB 的中点，
∴AE=BE,
∴在BDE ∆和AGE ∆中，
BE AE BED AEG
DE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴BDE AGE ∆≅∆,
∴AG=BD, BDE AGE ∠=∠,
∵AF=BD=8,
∴AG=AF,
∴AFG AGE ∠=∠
∵AFG DFC ∠=∠,
∴BDE DFC ∠=∠,
∴FC=DC,
∴FC=2,
∴AC=AF+FC=8+2=10.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
6．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，
123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三
角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1
,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________
【答案】()8,0-
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.
【详解】
解：设到第n 个三角形顶点的个数为y
则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,
∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,
∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....
∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,
由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,
∴OA 19=9-1=8,
∴19A 的坐标为()8,0-
故答案是()8,0-
【点睛】
本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键
7．已知等边△ABC 中，点D 为射线BA 上一点，作DE=DC ，交直线BC 于点E,∠ABC 的平分线BF 交CD 于点F ，过点A 作AH ⊥CD 于H ，当EDC=30︒，CF=43
，则DH=______．
【答案】
2
3
【解析】
连接AF.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF和△CBF中，
AB BC
ABF CBF
BF BF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°.
∵AH⊥CD，
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=
2
3
.
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=
2
3
.
故答案为
2
3
.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.
8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到
A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是
______________．
【答案】
2018
1
80 2
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．
【详解】
解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C=
°
180-
2
B
∠
=80°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=1
2
∠BA1C=
1
2
×80°；
同理可得∠EA3A2=（1
2
）2×80°，∠FA4A3=（
1
2
）3×80°，
∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（1
2
）n-1×80°．
∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（1
2
）2018×80°，
故答案为：（1
2
）2018×80°．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
9．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等
腰三角形是等边三角形；③有一个角是60 ，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.
【详解】
有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.
故此题正确的是①②③④.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．
【答案】8
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为
BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.
故答案为8.
点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
要使△ABC 是等腰三角形，可分三种情况（①若AC =AB ，②若BC =BA ，③若CA =CB ）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
①若AC =AB ，则以点A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC =BA ，则以点B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A 点除外）； ③若CA =CB ，则点C 在AB 的垂直平分线上．
∵A （0，0），B （2，2），∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点．
综上所述：符合条件的点C 的个数有8个．
故选D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

【详解】
如图所示，根据题意，作出相应的图形，可知：
∵P 和1p 点关于OB 对称，p 和2p 关于OA 对称
∴可得1
1POB POB ∠=∠=∠,22P OA POA ∠=∠=∠ 12OP OP OP ==（垂线段的性质）
∴12POP △为等腰三角形
∵1230AOB ∠=∠+∠=︒
1221222(12)60POP ∠=∠+∠=∠+∠=︒
∴等腰12POP △为等边三角形.故本题选C.
【点睛】
本题主要考查垂线段的性质和定理，以及等边三角形的证明方法（有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形）.
13．点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形，这样的点P 共有（ ）个
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，要使△AOP 是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA 是腰时，则分别以点O 、点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P 共8个．
【详解】
如图，分两种情况进行讨论：
当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；
当OA 是腰时，以点O 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A 为圆心，
OA 为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；
∴满足条件的点P 共有8个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．
14．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，
()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()
52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）
A ．(673,6736733-
B ．(673,6736733--
C ．(0,1009)
D ．(674,6746743- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．
【详解】
∵2019÷3=673，
∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．
第673个等边三角形边长为2×673=1346，
∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．
点A 2019的纵坐标为673-13463=673﹣3点A 2019的坐标为：(673,6736733-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．
15．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称分析即可得到答案.
【详解】
根据题意，所需管道最短，应过点P 或点Q 作对称点，再连接另一点，与直线l 的交点即为水泵站M ，故选项A 、B 、D 均错误，选项C 正确，
故选：C.
【点睛】
此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.
16．如图，ABC ∆中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）
A ．7
B ．6
C ．3
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】 连接BD 、AD,过点D 作DF ⊥CB 于点F ，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD ，DE=DF ，依据HL 定理可判断出Rt △AED ≌Rt △BFD ，根据全等三角形的性质即
可得出BF=AE，再运用AAS定理可证得Rt△CED≌Rt△CFD，证出CE=CF，设AE的长度为x，根据CE=CF列方程求解即可．
【详解】
如图,连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，
∵AB的垂直平分线DG交ACB
∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．
∴BF=AE．
又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF，
设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,
∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；
故选C.
【点睛】
本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2CE=8
又∵AABC的周长为24，
∴AB+BC+AC=24
∴AB+AC=24-BC=24-8=16
∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
18．如图，点D ，E 是等边三角形ABC 的边BC ，AC 上的点，且CD =AE ，AD 交BE 于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，已知PE =2，PQ =6，则AD 等于( )
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】C
【解析】
【分析】 由题中条件可得△ABE ≌△CAD ，得出AD =BE ，∠ABE =∠CAD ，进而得出∠BPD =60°．在Rt △BPQ 中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP 的长，进而可得结论．
【详解】
∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°．
又∵AE =CD ，∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴∠ABE =∠CAD ，AD =BE ，
∴∠BPD =∠ABE +∠BAP =∠CAD +∠BAP =∠BAC =60°．
∵BQ ⊥AD ，∴∠PBQ =30°，∴BP =2PQ =2×6=12，∴AD =BE =BP +PE =12+2=14．
故选C ．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD =60°是解答本题的关键．
19．如图，已知，点A （0，0）、B （43，0）、C （0，4），在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A ．20153
2 B ．201632 C ．2017327 D ．201932
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=23，
B1A2=1
23
2
⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：2017
13
()43
2
⨯=.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
20．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）
A．2B．1+
2
2
C．2D2-1
【答案】B 【解析】
第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为
2
2
；
2
，腰长为1
2
，所以周长为
1122
1
22
++=+.故答案为B.。