2024-2025年北师大版数学必修第二册2.4.2平面向量及运算的坐标表示(带答案)

4．2 平面向量及运算的坐标表示
必备知识基础练
知识点一 向量的坐标运算
1．已知向量OA → ＝(3，－2)，OB →
＝(－5，－1)，则向量12
AB → 的坐标是( )
A ．(－4，12 )
B ．(4，－1
2 )
C ．(－1，－3
2
) D ．(8，1)
2．已知点A (2，－4)，点B (－1，3)，点C (3，4)，若CM → ＝2CA → ＋3CB →
，求点M 的坐标．
3．已知点A (1，－2)，B (2，1)，C (3，2)和D (－2，3)，求AC → ，AB → －2CD →
的坐标．
知识点二 根据向量平行的坐标表示求参数
4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，c ＝(4，k )，若(a ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－16 D ．16
5．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
知识点三 向量坐标运算的综合应用 6.
如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点M 为CE 的中点，用向量的方法证明：
(1)DE ∥BC ；
(2)D ，M ，B 三点共线．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →
与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝( )
A ．2
B ．52
C ．32
D ．2
3
2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ
＝( )
A ．2
B ．4
C ．12
D ．1
4
3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，c ＝(11，7)，若c ＝k a ＋l b ，则k ，l 的值为( ) A ．－2，3 B ．－2，－3 C ．2，－3 D ．2，3 4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4，5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )
A ．{(1，1)}
B ．{(1，2)，(－2，－2)}
C ．{(－2，－2)}
D ．∅
5．(易错题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )
A ．(1，5)或(5，5)
B ．(1，5)或(－3，－5)
C ．(5，－5)或(－3，－5)
D ．(1，5)或(5，－5)或(－3，－5) 二、填空题
6．平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC → ＝12
BC →
，
连接DC 并延长，取点E 使CE →
＝14
DE → ，则点E 的坐标为________．
7．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为：m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为：m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d ).设m ＝(p ，q )，若(1，2)m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m ＝________．
8.
如图，点C 在半径为1，圆心角2π3
的扇形OAB 的弧AB 上运动．已知OC → ＝xOA → ＋yOB →
，
则当∠AOC ＝π
6
时，x ＋y ＝________；x ＋y 的最大值为________．
三、解答题
9．(探究题)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →
＝c ，且CM → ＝3c ，CN →
＝－2b .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)求点M ，N 的坐标及向量MN →
的坐标．
学科素养升级练
1.(多选题)已知线段AB 的端点分别为A (x ，5)，B (－2，y )，C (1，1)是直线AB 上的点，且有|AC → |＝2|BC →
|，则x ＋y 的值可以是( )
A ．8
B ．－2
C ．6
D ．－6
2．(学科素养——逻辑推理)已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y ，2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．
(1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．
4．2 平面向量及运算的坐标表示
必备知识基础练
1．答案：A
解析：12 AB → ＝12 (OB → －OA →
)＝12 [(－5，－1)－(3，－2)]＝12 (－8，1)＝(－4，12 )，
所以12 AB → ＝(－4，1
2
).
2．解析：由A (2，－4)，B (－1，3)，C (3，4)， 得CA →
＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →
＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)，
所以CM → ＝2CA → ＋3CB →
＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →
＝(x －3，y －4). 由向量相等坐标相同可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15. 所以点M 的坐标为(－11，－15).
3．解析：由题意得AC → ＝(2，4)，AB → ＝(1，3)，CD →
＝(－5，1). ∴AB → －2CD →
＝(11，1). 4．答案：C
解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(－2，2)，c ＝(4，k )，所以a ＋b ＝(1，2)＋(－2，2)＝(－1，4)，又(a ＋b )∥c .所以－1×k ＝4×4，解得k ＝－16.故选C.
5．解析：方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b ). 由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ， 解得k ＝λ＝－13 .
当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，
这时k a ＋b ＝－13 a ＋b ＝－1
3 (a －3b )，
因为λ＝－1
3
＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．
方法二 由题意知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，
因为k a ＋b 与a －3b 平行，
所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－1
3
.
这时k a ＋b ＝(－13 －3，－23 ＋2)＝－1
3 (a －3b ).
所以当k ＝－1
3
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．
6．证明：(1)以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
令|AD → |＝1，则|DC → |＝1，|AB →
|＝2. 因为CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， 所以四边形AECD 为正方形．
所以可求得各点坐标分别为E (0，0)，B (1，0)，C (0，1)，D (－1，1)，A (－1，0).
(1)因为ED →
＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， BC →
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
所以ED → ＝BC → ，所以ED → ∥BC →
，即DE ∥BC .
(2)因为点M 为EC 的中点，所以M (0，1
2
)，
所以MD →
＝(－1，1)－(0，12 )＝(－1，12 )，
MB →
＝(1，0)－(0，12 )＝(1，－12
).
所以MD → ＝－MB → ，所以MD → ∥MB → .
又MD 与MB 有公共点M ，所以D ，M ，B 三点共线．
关键能力综合练
1．答案：C
解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则AB → ＝(4，6).又AB →
与
a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝3
2
.故选C.
2．答案：B
解析：以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，
则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1).所以a ＝AO → ＝(－1，1)，b ＝OB → ＝(6，2)，c ＝BC →
＝(－1，－3).
因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12， 所
以λ
μ ＝4.故选B. 3．答案：D
解析：∵a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，c ＝(11，7)，∴(11，7)＝k (1，2)＋l (3，1).即⎩
⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l ，
7＝2k ＋l ，
解得k ＝2，l ＝3.故选D.
4．答案：C
解析：设a ∈M ∩N ，则存在λ和μ使得(1，2)＋λ(3，4)＝(－2，－2)＋μ(4，5)，
即(3，4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ).∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－3λ＝3，5μ－4λ＝4. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝－1，
μ＝0. 所以a ＝(－2，－
2).故选C.
5．答案：D
解析：设A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，第四个顶点为D ；
(1)若▱ABCD ，则AB → ＝DC →
，∴D (－3，－5)；
(2)若▱ACDB ，则AC → ＝BD →
，∴D (5，－5)；
(3)若▱ACBD ，则AC → ＝DB →
，∴D (1，5).
综上所述，点D 的坐标为(1，5)或(5，－5)或(－3，－5).故选D.
6．答案：(－8，－5
3
)
解析：设C (x ，y )，由AC → ＝12
BC →
，
得(x ＋2，y －1)＝1
2
(x －1，y －4).
即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1
2（x －1），
y －1＝12
（y －4）.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－5，
y ＝－2.
即C (－5，－2).又E 在DC 的延长线上，且CE → ＝14
DE →
，设E (a ，b )，
则(a ＋5，b ＋2)＝1
4 (a －4，b ＋3)，
解得a ＝－8，b ＝－53 ，所以E (－8，－5
3
).
7．答案：(2，0)
解析：由(1，2)m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧p ＝1，
q ＝－2， ∴(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，
－2)＝(2，0).
8．答案：3 2 解析：
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，过点O 作OA 的垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A (1，0)，B (－12 ，32 )，OA → ＝(1，0)，OB →
＝(－12 ，32
)，
当∠AOC ＝π6 时，C (32 ，12 )，则OC →
＝(32 ，12 )，
由于OC → ＝xOA → ＋yOB → ，
故(32 ，12 )＝x (1，0)＋y (－12 ，3
2 )，
即⎩⎪⎨⎪⎧32＝x －12y ，12＝32y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝233，y ＝33
， 故x ＋y ＝
3 ；
设∠AOC ＝α，(0≤α≤2π3
)，则OC →
＝(cos α，sin α)，
于是由OC → ＝xOA → ＋yOB → ，
得(cos α，sin α)＝x (1，0)＋y (－12 ，3
2
)，
即⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝cos α＋3
3sin α，y ＝23
3
sin α，
故x ＋y ＝cos α＋3 sin α＝2sin (α＋π
6
)，
由于0≤α≤2π3 ，故当α＝π3 时，2sin (α＋π
6
)取最大值2，
即x ＋y 的最大值为2.
9．解析：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，
－42).
(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. ∴实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点． ∵CM → ＝OM → －OC →
＝3c ， ∴OM → ＝3c ＋OC →
＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M (0，20).
又∵CN → ＝ON → －OC →
＝－2b ， ∴ON → ＝－2b ＋OC →
＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N (9，2). ∴MN →
＝(9，－18).
学科素养升级练
1．答案：BC
解析：由|AC → |＝2|BC → |，且C 在直线AB 上，得AC → ＝±2BC →
.
由题意，得AC → ＝(1－x ，1－5)＝(1－x ，－4)，2BC →
＝2(1＋2，1－y )＝(6，2－2y ).
①当AC → ＝2BC →
时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3， 所以x ＋y ＝－2；
②当AC → ＝－2BC →
时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y . 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1， 所以x ＋y ＝6.
综上，x ＋y 的值为－2或6，故选BC.
2．解析：(1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，
∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，
mf (a )＋nf (b )＝m (a 2，2a 2－a 1)＋n (b 2，2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2，2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1). ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)f (a )＝(1，2×1－1)＝(1，1)， f (b )＝(0，2×0－1)＝(0，－1).
(3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y ，2y －x )＝(p ，q )， ∴y ＝p ，2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ， 即向量c ＝(2p －q ，p ).。