切应力互等定理ShearingStressTheorem

Ip
2dA
A
Wt
IP
max
（1）实心圆截面 (Solid circular section) d
dA 2π(d )
Ip
2dA
A
d
2 2π 3d
πd 4
0
32
Wt
Ip
max
（2）空心圆截面
πd 4 / 32 πd 3 d / 2 16
(Hollow circular
D section)
A
22 kN·m
64.84MPa [ ]
+
2max
T2 Wt 2
T2 πd23 / 16
14 103 π(0.13 ) / 16
B
C
_
14 kN·m
71.3MPa [ ]
因此，该轴满足强度要求.
(Torsion)
例题4 实心圆轴１和空心圆轴２（图a、b）材料、扭转力偶矩 m
和长度 l 均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比
在 AD 段内
B1 C
T3 Me4 6370 N m Me2 T1
注意：若假设扭矩为正值，则
Me1 3 Me4
A 3D
T3
Me4
扭矩的实际符号与计算符号相同. 作出扭矩图 从图可见，最大扭矩
在 CA段内.
6370 N·m
+ _
Tmax 9560 N m
4780 N·m 9560 N·m
(Torsion)
切应变为 2
切应变为 0
(Torsion)
§3-4 圆轴扭转的应力
变
观察变形
形
提出假设
几
何
关
系
变形的分布规律
物 理 关 系
应力的分布规律
静
力
关
系
建立公式
(Torsion)
一、变形几何关系(Geometrical Relationship of Deformation)
1、变形现象 (Deformation phenomenon)
D22(1 2 )
d12
1.1942(1
0.82 )
0.512
在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.
(Torsion)
作业：3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.8；
(Torsion)
§3-5 圆轴扭转时的变形
一、扭转变形 (Torsional deformation)
z
dy
y
τ
τx
dx
此力偶矩与前一力偶矩 ( dy dz) dx
数量相等而转向相反，从而可得
(Torsion)
3、切应力互等定理 （Shearing Stress Theorem)
y
单元体两个相互垂直平面上的切
应力同时存在，且大小相等，都
指向（或背离）该两平面的交线. z
纯剪切单元体：
dy
二、 物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
G
G
d
dx
同一圆周上各点剪应力
a AT
O1 ρ
a
ρ
b
D
G
T d
D G' O2
b dx
均相同 ，且其值与 成正比， 与半径垂直.
(Torsion)
三、静力关系 (Static Relationship）
1、公式的建立（Establish the formula)
d
Ip
πD4(1 4 )
32
其中
Wt
πD3 16
(1 4 )
d
D
dρ ρ O
dρ ρ O
(Torsion)
四、强度条件 (Strength Condition)
1、 数学表达式 （Mathematical formula)
max
Tmax Wt
[
]
2、强度条件的应用（Application of strength condition)
1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的
d T
dx GIp
其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角. 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算
d T dx
l
l GIp
§3-3 纯剪切
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析（Analysis of stress)
1.实验前
1）画纵向线，圆周线；
2）施加一对外力偶.
2.实验后
x
① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间 Me 距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
dx
Me
② 各纵向线长度不变，只是倾斜了同一微小角度 ；
d2=100mm. 扭转力偶矩为MA = 22 kN·m，MB = 36 kN·m ，
MC =14 kN·m . 已知材料的许用切应力[] = 80 MPa，试校核该
轴的强度. 解：作轴的扭矩图
MA
MB
MC
分别校核13 / 16
22 103 π(0.123 ) / 16
杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点（ Character of deformation )
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.受 扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆 形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
Me
Me
(Torsion)
§3-2 外力偶矩的计算 扭转和剪切
(tToorrssioionn))
T 2πr 2t
r
l
T
从 T 与 之间的线性关系，可推出 与 间
的线性关系.
G
O
该式称为材料的剪切胡克定律.
(Hooke’s law for shear)
G –剪切弹性模量
弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比μ的
关系 G E
2(1 )
O
(tToorrssioionn)) 思考题：指出下面图形的切应变
τ
τx
dx
（Element in pure shear )
单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.
(Torsion)
三、剪切胡克定律 （Hooke’s law for shear) Me
由图所示的几何关系得到
Me
r
l
l
式中， r 为薄壁圆筒的外半经. 薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，扭 转角与 Me （在数值上等于 T ）成正比.
(Torsion)
T T Wt1 Wt2
Wt1
Wt2
πd13 16
πD23(1 4 )
16
因此 d13 D23(1 4 )
16
16
解得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面
积之比，
A2 A1
π 4
( D22
d 22
)
π 4
d12
强度校核
Tmax [ ]
（Check the intensity) Wt
设计截面 （Determine the required
Wt
Tm a x
[ ]
dimensions)
确定许可核载荷 Tmax Wt [ ]
(Determine the allowable load)
(Torsion)
例题3 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC 段的直径
为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两
轴的重量比.
分析：设实心圆截面直径为d，空心圆截 面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力 偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为
T.
d l (a)
已知： max1 max2
max1
T Wt1
max2
T Wt 2
d2 D2
l (b)
倾角 是横截面圆周上任一
点A 处的切应变, d 是 b-b
截面相对于a-a 截面象刚性
平面一样绕杆的轴线转动的
一个角度.
a
AT
E
O1 ρ
a
ρ
b
D
G
T
d
D' G' O2
b dx
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
ρ，它也就是横截面半径上任一点E处的切应变
tg
GG' EG
d
dx
(tToorrssioionn))
Me2
Me3 2
Me1
由平衡方程
Mx 0
B C2 A
Me2 Me3 T2 0
Me2
Me3 T2 x
T2 Me2 Me3 9560 N m
BC
结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩
Me4 D
(Torsion)
同理，在 BC 段内
Me2 1 Me3
T1 Me2 4780 N m
max
Tmax
Ip
T Ip
T Wt
max
dA T
max
ρ ρ O
(Maximum Shear-Stress Formula)
rρ
dA
Wt
Ip
max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
(Torsion)
T Ip
max
T Wt
max
max
CL5TU9
(Torsion)
3、极惯性矩和抗扭截面系数的计算
y
由平衡方程
Fy 0
τ
可知，两侧面的内力元素 dy dz
dy
τx
大小相等，方向相反，将组成 z
dx
一个力偶。
其矩为( dy dz) dx
(Torsion)
2、 要满足平衡方程
Mz 0 Fx 0
在单元体的上、下两平面上必有大小 相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为
( dxdz)dy
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
Me
9549 P n
(N m)
Me2
Me1
n Me3
从动轮 主动轮
从动轮
Me—作用在轴上的力偶矩( N ·m ) P—轴传递的功率(kW)
n—轴的转速( r/min )
(Torsion)
二、内力的计算 (Calculation of internal force)
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动； ② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； ③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的
平行四边形.
2、平面假设（Plane assumption)
变形前为平面的横截面 ，变形后仍保 持为平面.
(Torsion)
3、几何关系 （Geometrical relationship)
r(2π r t) T
T 2πr 2
t
此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，
指向与扭矩的转向一致.
τ
T
τ
(Torsion)
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上
只有切应力，其方向与 y 轴平行.
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
(Torsion)
3、推论（Inference) Me
1) 圆筒横截面和包含轴线的纵向 界面上上无正应力，横截面只 有切应力；
2) 切应力方向垂直半径或与圆周
相切且数值相等，近似的认为
τ
沿壁厚方向各点处切应力的数
值无变化.
Me τ
(Torsion)
4、推导公式 (Derivation of formula)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B 解:计算外力偶矩
C A
D
Me
9549
P n
Me1 15900 N m
Me2 Me3 4780 N m
Me4 6379 N m
(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2 截
面上的扭矩 .假设 T 2为正值.
dA T
A dA T
A
ρ
G
ρ
dφ dx
dA
T
ρ ρ O
rρ
ρ
G d 2dA T
dx A
A ρ2dA Ip
dA
结论 d T
dx GIp
代入物理关系中得到
T
IP
式中：T — 横截面上的扭矩
— 求应力的点到圆心的距离
IP —为横截面对圆心的 极惯性矩
(Torsion)
2、 max 的计算（Calculation of max )
Mechanics of Materials Chapter 3 Torsion
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion )
一、工程实例（Example problems)
(Torsion)
二、受力特点（Character of external force)
n Me
•
x
向背离截面时扭矩为正，反之为负.
3、扭矩图（ Torque diagram)
Me
用平行于杆轴线的坐标 x 表示横
截面的位置；用垂直于杆轴线的
n T
•
x
坐标 T 表示横截面上的扭矩，正
的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方. •
T
T
Me
x
•
+
_
x
(Torsion) 例题1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输 入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从 动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
1、求内力(Calculating internal force)
截面法 (Method of sections) 在n – n 截面处假想将轴截开取左
侧为研究对象
Me
Me
Mx 0
T Me
Me
T
(Torsion)
2、扭矩符号的规定 (Sign convention for torque)
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指