专题二 巧用图形的翻折解决几何问题 2020年中考数冲刺几何难点突破 专题汇编(解析版)
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2020年中考数冲刺几何难点突破 专题汇编
专题二 巧用图形的翻折解决几何问题
【专题说明】
多年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题.由于这类问题的实践性强,需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法.其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系,构造直角三角形利用勾股定理来求解。
注意:必有等边,必有等角。
观察并关注通过折叠新构建的三角形,特别是直角三角形。
通过解设表示相关数量,建立等量关系(多数情况利用勾股定理)。
解方程,得答案
图形的折叠:如图,在矩形ABCD 中,AD =15,点E 在边DC 上,联结AE ,△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ,过点F 作FG △AD ,垂足为G .如果AD =3GD ,那么DE =_____.
【答案】 【解析】思路如下:
如图,过点F 作AD 的平行线交AB 于M ,交DC 于N . 因为AD =15,当AD =3GD 时,MF =AG =10,FN =GD =5.
在Rt△AMF 中,AF =AD =15,MF =10,所以AM =
设DE =m ,那么NE =m .
由△AMF △△FNE ,得
AM FN
MF NE =,即10=
.解得m =.
【精典例题】
1、在△ABC中,已知∠A=80°,∠C=30°,现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE,对折叠后产生的夹角进行探究:
(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内,则求∠1+∠2的和;
(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A,则求∠1+∠2的和;
(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠,探求∠1、∠2、∠C的关系.
解:(1)∠1+∠2=180°﹣2∠CDE+180°﹣2∠CED
2、如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在P处,折痕为EC,连
接AP并延长AP交CD于F点.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.
解:(1)由折叠得到BE=PE,EC⊥PB,∵E为AB的中点,
∴AE=EB=PE,
∴AP⊥BP,
∴AF∥EC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC,
∴四边形AECF为平行四边形;
(2)过P作PM⊥DC,交DC于点M,
在Rt△EBC中,EB=3,BC=4,
根据勾股定理得:EC==5,
∵S△EBC=EB•BC=EC•BQ,
∴BQ==,
由折叠得:BP=2BQ=,
在Rt△ABP中,AB=6,BP=,
根据勾股定理得:AP==,∵四边形AECF为平行四边形,
∴AF=EC=5,FC=AE=3,
∴PF=5﹣=,
∵PM∥AD,
∴=,即=,
解得:PM=,
则S△PFC=FC•PM=×3×=.
3、如图,长方形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点
在边BC上.
(1)如图1,当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时,求AF的长
(2)如图2,当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.②求AF的长.
(3)如图3,当折痕的另一端F在AD边上,B点的对应点E在长方形内部,E到AD的距离为2cm,且BG=10时,求AF的长.
(1)解:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,
∴BF=EF,
∵AB=8,
∴EF=8﹣AF,
在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,
即42+AF2=(8﹣AF)2,
解得AF=3;
(2)①证明:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
②解:∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH===6,
∴AF=FH=6;
(3)解:
法一:如图3,设EH与AD相交于点K,过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N,∵E到AD的距离为2cm,
∴EM=2,EN=8﹣2=6,
在Rt△ENG中,GN===8,
∵∠GEN+∠KEM=180°﹣∠GEH=180°﹣90°=90°,
∠GEN+∠NGE=180°﹣90°=90°,
∴∠KEM=∠NGE,
又∵∠ENG=∠KME=90°,
∴△GEN∽△EKM,
∴==,
即==,
解得EK=,KM=,
∴KH=EH﹣EK=8﹣=,
∵∠FKH=∠EKM,∠H=∠EMK=90°,
∴△FKH∽△EKM,
∴=,
即=,
解得FH=,
∴AF=FH=.
法二:如图4,设EH与AD相交于点K,过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N,过点K作KL∥CD 交BC于点L,连接GK,
∵E到AD的距离为2cm,
∴EM=2,EN=8﹣2=6,
在Rt△ENG中,GN===8,
设KM=a,
在△KME中,根据勾股定理可得:KE2=KM2+ME2=a2+4,
在△KEG中,根据勾股定理可得:GK2=GE2+KE2=102+a2+4,
在△GKL中,根据勾股定理可得:GK2=GL2+KL2=(8﹣a)2+82,
即102+a2+4=(8﹣a)2+82,
解得:a=,故KE=,
∴KH=EH﹣EK=8﹣=,
设FH=b,
在△KFH中,根据勾股定理可得:KF2=KH2+FH2,
∵KF=KA﹣AF=BL﹣AF=(BG+GN﹣KM)﹣AF=10+8﹣﹣b=﹣b,
即:(﹣b)2=()2+b2,
解得:b=,
∴AF=FH=.
4、如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E 重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上的点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?
(2)如果AM=1,sin△DMF=
5
3
,求AB 的长.
直接写出你的结论,不必说明理由
思考(2)如图2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=100°,求∠BIC的度数;
拓展(3)如图3,在锐角△ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点H,把△ABC 折叠使点A和点H重合,试探索∠BHC与∠1+∠2的关系,并证明你的结论.
解:(1)∠1+∠2=2∠A;
理由:根据翻折的性质,∠ADE=(180°﹣∠1),∠AED=(180°﹣∠2),
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,
∴∠A+(180﹣∠1)+(180﹣∠2)=180°,
整理得2∠A=∠1+∠2;
(2)由(1)∠1+∠2=2∠A,得2∠A=100°,
∴∠A=50°
∵IB平分∠ABC,IC平分∠ACB,
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A,
∴∠BIC=180°﹣(∠IBC+∠ICB)=180°﹣(90°﹣∠A)=90°+×50°=115°;
(3)∵BF⊥AC,CG⊥AB,
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°,
∠FHG+∠A=180°,
∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A,
由(1)知∠1+∠2=2∠A,
∴∠A=(∠1+∠2),
∴∠BHC=180°﹣(∠1+∠2).
6、如图,△ABC是一个三角形的纸片,点D、E分别是△ABC边上的两点,
(1)探究图1:如果沿直线DE折叠,则∠BDA′与∠A的关系是;
(2)探究图2:如果折成图2的形状,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系,并说明理由;
(3)探究图3:如果折成图3的形状,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系,并说明理由;
(4)探究图4:若将四边形纸片ABCD折成图4的形状,直接写出∠DE A′、∠CF B′、∠A和∠B四个角之间的数量关系.
=180°﹣2∠AEF+180°﹣2∠BFE
=360°﹣2(360°﹣∠A﹣∠B)
=2(∠A+∠B)﹣360°.
故答案为∠1+∠2=2(∠A+∠B)﹣360°.。