示范教案(函数的表示法1)

1.2.2 函数的表示法（1）
从容说课
学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，而且是加深理解函数概念的过程.同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而使得学习函数的表示也是向学生渗透数形结合方法的重要过程.
初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于以后的教学过程中.本课还介绍了分段函数，在实际问题中，有很多函数是用分段函数来表示的，所以探讨分段函数是很有必要的，在教学中结合教材内容向学生渗透分类思想方法，对培养学生全面分析问题、解决问题的能力是很有帮助的.应该说这是知识螺旋化的一种体现，教学时要让学生体会到函数三种表示法具有内在的联系，它们在一定条件下是可以相互转化的.对函数的解析式和图象表示应重点研究.
三维目标
一、知识与技能
1.能熟练掌握函数的三种不同表示.
2.了解函数不同表示法的优缺点.
3.了解分段函数及其表示.
4.会求某些函数的解析式.
二、过程与方法
1.自主学习，了解函数表示形式的多样性和转化方法.
2.探究与活动，明白何时的函数用何种方法表示适宜.
3.增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力.
三、情感态度与价值观
培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.
教学重点
函数的三种不同表示的相互间转化.
教学难点
函数的解析式的表示，理解和表示分段函数.
教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的材料.
教学过程
一、创设情景，引入新课
师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法.今天我们再专门研究函数的表示方法.
（板书：函数的表示方法）
师：请考察下面三个函数：
投影胶片1（或多媒体制作镜头1）：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？
1949～1999年我国人口数据表
师：该题是用的什么方法来表示函数的？
生：这是一份表格.
师：这位同学说得很好.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.
投影胶片2（或多媒体制作镜头2）：一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？
师：这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析式法.这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式.
投影胶片3（或多媒体制作镜头3）：
上图为某市一天24小时内的气温变化图.
请问：（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
（2）在什么时刻，气温为0 ℃？
师：这个问题我们用图象表示了时刻与气温的关系，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.
二、讲解新课
1.函数的表示法
（1）解析法
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的解析式，简称为解析式，如S=60t2，S=2πrl，y=ax+b，y=ax2+bx+c（a≠0）等等，都是用解析式法表示的函数关系.
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段所研究的主要是能够用解析式表示的函数.
（2）图象法
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质.图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股市走势图等.
（3）列表法
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有广泛应用.如银行利率表、列车时刻表等.
2.例题讲解
【例1】教科书P22例3.
本例介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数.通过这个例子可以达到以下目的：（1）让学生体会到三种表示方法各自的优点.并且，本例后的“思考”为学生比较三种表示方法提供了机会，教学时教师应注意不要让学生错过这个机会.对于“所有的函数是否能用解析法表示”，学生比较难以回答，教学时不妨先举一些例子启发学生，然后再由学生试着举一些例子.
（2）使学生看到函数的图象可以是一些离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别，教学时要考虑到学生的认知基础，强调y=5x（x∈R）是连续的直线，但y=5x（x∈{1，2，3，4，5}）却是5个离散的点，由此又让学生看到，函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.本例边框中的问题“判断一个图形是不是函数图象的依据是什么?”，应在组织学生讨论后获得结论“平行于y 轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”.
【例2】教科书P23例4.
本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级平均分.由表格区分三位同学的成绩高低不直观，所以教科书选择了图象法表示.教学时要培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力.要注意的是，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，并且让三个函数的图象具有整体性，以方便比较.教学时应引导学生观察图象，学习如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据.
【例3】教科书P24例5.
本例的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备.
【例4】教科书P24例6.
本例的主要目的有以下几点：
（1）让学生尝试用数学表达式去表达实际问题；
（2）学习分段函数及其表示；
（3）注意在数学模型中全面反映问题的实际意义；
（4）让学生根据这个例题的边框要求，自行设计任意两站之间的票价表以方便售票员与乘客，体会在不同情境中使用恰当的函数表示法.
由上述例3和例4归纳出分段函数的概念如下：
2.分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数.
实际生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.
【例5】求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数，且f（0）=2，f（x+1）－f（x）=x－1，求f（x）；
（2）已知f（x+1）=x+2x，求f（x），f（x+1），f（x2）；
（3）已知f （x x 1
+）=2
21x x ++x 1，求f （x ）；
（4）已知3f （x ）+2f （－x ）=x +3，求f （x ）.
方法引导：（1）由已知f （x ）是二次函数，所以可设f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）设法求出a 、b 、c 即可.
（2）若能将x +2x 适当变形，用x +1的式子表示就好办了. （3）视
x
x 1
+为一整体不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解. （4）x 、－x 同时使得f （x ）有意义，用－x 代x 建立关于f （x ）、f （－x ）的两个方程就好了.
解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），由f （0）=2，得c =2.
由f （x +1）－f （x ）=x －1，得恒等式2ax +a +b =x －1，得a =21，b =－2
3
.故所求函数的表达式为f （x ）=
21x 2－2
3
x +2. （2）∵f （x +1）=x +2x =（x ）2+2x +1－1=（x +1）2－1， 又∵x ≥0，x +1≥1， ∴f （x ）=x 2－1（x ≥1）. （3）设
x x 1+=t ，则x =1
1-t ，t ≠1. 则f （t ）=f （x x 1+）=2
21x
x ++x 1=1+21x +x 1=1+（t －1）2+（t －1）=t 2
－t +1. ∴f （x ）=x 2－x +1（x ≠1）.
（4）∵3f （x ）+2f （－x ）=x +3， ① x 用－x 代得3f （－x ）+2f （x ）=－x +3.
②
解①②得f （x ）=x +
5
3. 方法技巧：求函数解析式常见的题型有： （1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意一般式〔y =ax 2+bx +c （a ≠0）〕，顶点式〔y =a （x －h ）2+k 〕和标根式〔y =a （x －x 1）（x －x 2）〕的选择.
（2）已知f ［g （x ）］求f （x ）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法.如本例（2）、（3）.
（3）函数方程问题，需建立关于f （x ）的方程组，如本例（4）.若函数方程中同时出现f （x ）、f （
x 1），则一般x 用x
1
代之，构造另一方程. 特别要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的定义域.
三、课堂练习
教科书P 27练习题1，2，3.
答案：1.y =x 25002x （0＜x ＜50)，图象如下.
1
11
2.（1）题与D 图，（2）题与A 图，（3）题与B 图吻合得最好，剩下与C 图相符的一件
事可能为：
我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度. 3.
四、课堂小结
1.本节学习的数学知识：
函数的表示法、分段函数、函数解析式的求法. 2.本节学习的数学方法：
定义法、换元法、待定系数法、数形结合与分类讨论的思想方法. 五、布置作业
教科书P 28习题1.2 A 组5，7，9，10，11，12，13. 板书设计
1.2.2 函数的表示法（1）
1.函数的表示法 （1）解析法 （2）图象法 （3）列表法 例1 例2 例3 例4
2.分段函数 例5
课堂练习 课堂小结。