人教版九年级下册第22章 课时2 用待定系数法求二次函数的解析式(23页)

（1）图象经过点A(1，0)，B(0，−3)，对称轴是直线x=2；
解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，
∴图象经过另一点(3，0).
∴设该二次函数的解析式为y=a(x−1)(x−3).
将点(0，−3)代入，得 −3=a·(−1)(−3)
解得 a=−1.
∴该二次函数的解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3.
1=9a+4，
1
a


.
解得
3
1
2
y


(
x

5)
4.
∴二次函数的关系式为
3
当题目中有最值、对称轴等
条件时，可由此得出顶点坐
标，利用顶点式求解析式
合作探究
三、用交点法求二次函数的表达式
问题3 选取(−3，0)，(−1，0)，(0，−3)，试求出这个
二次函数的表达式.并和同伴交流解题思路.
解：∵(−3，0)、(−1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
几个点应满足什么条件？ 3个
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确
定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同
一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）如果一个二次函数的图象经过（−1，10 ），（1，4），（2，7）
三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数
随堂练习
1.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( B )
A. y=x2-4x+5
B. y=x2-4x-5
C. y=x2+4x-5
D. y=x2+4x+5
随堂练习
2.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数表达式
为
y=-x2+4x-3
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
2.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过
点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式.
解：∵抛物线顶点为(-1,2)
∴设其解析式为y=a(x+1)2+2，
又抛物线过点(1,-3)，
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).
∴
0=c
-1=a-b+c
9=a+b+c
解得a＝4，b＝5，c＝0.
∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步:解方程组。
合作探究
二、用顶点法求二次函数的表达式
典例精析
（2）图象顶点坐标是(−2，3)，且过点(1，−3)；
解：∵图象的顶点为(−2，3)，且经过点(1，−3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，
把(1，−3)代入，得a(1+2)2+3=−3，
2
得a .
3
2
2
∴抛物线的解析式为 y ( x 2) 3.
3
典例精析
第二十二章 二次函数
22.1.4 课时2 用待定系数法求二次函数的解析式
新课导入
用待定系数法求函数的解析式.
已知一个一次函数的图象经过点(3，5)，(7，1)，用待定系数法求这个一次函数
的解析式.
解：设这个一次函数的表达式是 y=kx+b，
把(3，5)，(7，1)代入 y=kx+b 得:
3k+b=5，
c 5.


所求二次函数解析式为y=2x2−3x+5.
合作探究
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？和同伴交流.
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可
平行于x轴，但不可以平行于y轴）.
典例精析
例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这


则3=a(1+1)2+2，则a= .


所以这个二次函数的关系式是y= (x+1)2+2.
3. 已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减
小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，
1)，求该函数的解析式．
解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），
设关系式为y=a(x−5)2+4，把(2，1)代入得，
又由于它的图象经过点(0，0)，可得
0=a(0-8)2+9.
9
解得 a 64 .
∴所求的二次函数的解析式是 y
9
( x 8)2 9.
64
课堂小结
回顾本节课所学，填写下表.
表达式类型
函数表达式
使用条件
一般式
y=ax2+bx+c
已知二次函数图象上
任意三点的坐标.
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)，
则-3=a(2-1)2-4，则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
归纳总结
用顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做
顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x−h)2+k；
7k+b=1.
解得
k=-1，
b=8.
所求一次函数是 y=-x2-4x-3.
思考:如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
学习目标
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
合作探究
一、用一般式法求二次函数的表达式
问题1 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这
已知二次函数图象与 x 轴
的两个交点坐标.
顶点式
y=a(x+h)2+k
已知二次函数图象的顶
点坐标或对称轴或最值.
（3）如图，图象经过A，B，C三点．
解：根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c
经过A(−1，0)，B(0，−3)，C(4，5)三
点，
a b c 0,

代入可得 c 3,
16a 4b c 5,

a 1,

解得 b 2,
c 3.

∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3.
.
3.若二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点(-1,3),且对称轴是直线x=1,则抛物线的函
2-4x-3
y=2x
数表达式为
.
随堂练习
4.一个二次函数的图象经点 (0, 0)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的
表达式.
解： ∵二次函数图象的顶点坐标为(8,9)，所以，可以设函数表达式为
y = a(x-8)2+9.
交点.所以可设这个二次函数的表达式是
y=a(x−x1)(x−x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
再把点（0，-3）代入上式得
解得a=−1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=−x2−4x−3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
归纳总结
用交点法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
1.已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，
求这个函数的解析式.
问题2 已知二次函数y=a(x−1)2+4的图象经过点(−1，0)．求
这个二次函数的解析式；
解：把（−1，0）代入二次函数解析式
得4a+4=0，
即a=−1，
则函数解析式为y=−(x−1)2+4.
已知顶点坐标，只需
知一个点的坐标便能
求出该二次函数的解
析式
典例精析
例2 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.
的解析式.并简要说说解题思路.
合作探究
（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知，图象经过(−1，10 )，(1，4)，(2，7)
三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
a b c 10,
a 2,


a

b

c

4,

解得 b 3,
4a 2b c 7,个函的解析式.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).
a b c＝0，
∴ 16a 4b c＝5，
c＝ 3.









解得a＝1，b＝-2，c＝-3.
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
归纳总结
用一般式法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法
叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x−x1)(x−x2)；
②先把两交点的横坐标x1， x2代入到表达式中，得
到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
典例精析
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．