最新精选2019年高中数学单元测试-指数函数和对数函数完整考题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数
（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．函数(0,1)x
y a a a a =->≠的图象可能是
（2012四川文） [答案]C
[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)x
y a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. 2．已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（ ）A
(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1(2006浙江理)
3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =（ ） A ．
4
2 B ．
2
2 C ．
4
1 D ．
2
1
（2004天津卷)
4．若正实数,a b 满足b a
a b =，且1a <，则有（ ）
（A ）a b > （B ）a b < （C ）a b = （D ）不能确定、a b 的大小关系
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
5．3
3335
5
5
5
(0.96),0.95,0.95,0.96---由小到大的顺序是____________________
6．若方程5||||lg +-=x x 在区间))(1,(z k k k ∈+上有解，则所有满足条件的k 的值的和为 。

7．
函数y =
的定义域是 ____ ． 8．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
那么方程2x =的一个根位于下列区间的 .（1.8，2.2）
分析：本题考察二分法思想，设2
()2x
f x x =-，通过观察知(1.8)0,(2.2)0f f ><. 9．函数()1
f x =
-︱x ︱的定义域为 .
10．函数2log (32)x y -=的定义域是 . 11．若
3
52x ≤<,则函数12
log (1)y x =-的值域为 ; 12．已知A C A S 则},2,4{},4,3,2{S ===
13．已知函数21
22(),[1,)x x f x x x
++
=
∈+∞，
⑴试判断()f x 的单调性，并加以证明；⑵试求()f x 的最小值. 【例1】⑴增函数；⑵72
. 14．函数x
x y -=2)
3
1(的单调递增区间是
15．比较下列各组值的大小；
（1）3
.022
2,3.0log ,3.0； （2）5
33
25
2)9.1(,8.3,1.4-
-
-；
16．计算
sin 7cos15sin8
_________.cos 7sin15sin8
+=-
17．求下列函数的定义域、单调区间、值域
(1)11
2
x y -= (2)|1|
2
x y -= (3)1(2
y =221()
2
x x
y -=
18．某厂家根据以往的经验得到下面有关生产销售的统计：每生产产品x(白台)，其总成本为G （x ）万元，G （x ）=2+x;销售收入R （x ）（万元），满足： R （x ）=
, 要使工厂有赢利（利润=销售收入-成本），产量
x 的取值范围是 。

19．若32n
=，则33log 8log 36-＝_________________．（用含n 的式子表示） 20．函数)10(2)12(log )(≠>++=a a x x f a 且必过定点 ▲ ．
21．已知11.0,,23
α⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，幂函数y mx α
=定义域为R ,且在(,0)-∞上为增函数，则
m α+= ▲ .
22．已知函数2211
()a f x a a x
+=-，],[n m x ∈)(n m <． ⑴用函数单调性的定义证明：函数()f x 在[,m n ]上单调递增； ⑵()f x 的定义域和值域都是[,m n ]，求常数a 的取值范围．
23．幂函数()f x 的图象经过点(，则()f x 的解析式是 ▲ ．
24．某企业投资72万元兴建一座环保建材厂. 第1年各种经营成本为12万元，以后每年的经营成本增加4万元，每年销售环保建材的收入为50万元. 则该厂获取的纯利润达到最大值时是在第 年.
25．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文
密文 密文 明文
已知加密为2-=x
a y (x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是 。

26．已知函数()35x
f x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=，a ，b N *∈，则
a b += .
27． 函数2
23
()f x x α
α--=（常数Z α∈）为偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数，
则α的值为_________.
28．函数2(3
y =的单调递增区间是 .
29．如果函数212
log ()y x ax a =--在区间1(,)2
-∞-上单调递增，那么实数a 的取值范围
为______________
30．函数()ln 2f x x x =-+的零点的个数为 ▲ .
31．若全集R U =，函数13-=x
y 的值域为集合A ，则=A C U ____________
32．已知函数2
()lg(21)f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是________； 33．函数2
289,[0,3]y x x x =---∈的值域是_______ 34．函数log (1)1a y x =--的图象一定过点__________
解密
发送
三、解答题
35．已知函数x
x
x f x
x +-++-=11lg 101101)(. （1）求函数)(x f 的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论.
36．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离)(m y 与汽车的车速
)/(h km x 满足下列关系：400
1002
x nx y +=
（n 为常数，且n ∈N *）．我们做过两次刹车实验，有关数据如图所示，其中⎩⎨⎧<<<<15
137
521y y ．
(1）求出n 的值；
(2）要使刹车距离不超过18.4m ，则行驶的最大速度应为多少？ 2．
37．设定义在[0，2]上的函数()f x 满足下列条件：
①对于[0,2]x ∈，总有(2)()f x f x -=，且()1f x ≥，(1)3f =； ②对于,[1,2]x y ∈，若3x y +≥，则()()(2)1f x f y f x y +≤+-+． 证明：（1）对于,[0,1]x y ∈，若1x y +≤，则()()()1f x y f x f y +≥+- (2）12(
)133
n n f ≤+（*n N ∈）； (3）[1,2]x ∈时，1()136f x x ≤≤-．
38．已知4()log (41)x
f x kx =++()k R ∈是偶函数．
(1)求k 的值；
(2)证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线b x y +=2
1
最多只有一个交点； (3)设⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⋅=a a x g x
342log )(4，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．
39．判定下列函数在给定的区间上是否存在零点：
(1)])8,1[(183)(2∈--=x x x x f ； (2)])2,1[(1)(3-∈--=x x x x f .
40．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值。

(2）对(0,)x ∈+∞，不等式2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x >-成立．
(1) ()ln 1f x x '=+.
当()
10,e x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，
当()1,e
x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．
因为0t >，所以12e
t +>.
① 当102e t t <<<+，即10e
t <<时，[]()
min 11()e e f x f ==-；
②当12e t t ≤<+，即1e
t ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，[]min ()()ln f x f t t t ==；
所以[]min
110,e e
()1ln .e t f x t t t ⎧-<<⎪=⎨
⎪≥⎩
， ， (2)22ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
'()x x h x x +-=，
当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递减， 所以[]min ()(1)4h x h ==，
因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以[]min ()4a h x ≤=； (3)问题等价于证明2ln ((0,))e e
x x x x x >-∈+∞，
由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1e
x =时取得.
设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞，则1()e
x x m'x -=，易得[]max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当
1x =时取到，
从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e
x x x >-成立．
41．解不等式1
21221421---<<x x x C C C
42．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足t t g 280)(-=（件），价格近似满足
102
1
20)(--
=t t f （元）． （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间)200(≤≤t t 的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．
43．已知函数2
2()(2)(2)x
x
f x a a -=-++，x ∈[－1，1]．
⑴求()f x 的最小值；
⑵关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．
44．某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝1
8 t ．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）． 求：（1）y 关于x 的函数表达式；（2）总利润的最大值．
45．某船舶公司买了一批游轮投入客运，按市场分析每艘游轮的总利润y （单位：10万元）与营运年数x )(N x ∈为二次函数关系式（如下图所示），则每艘游轮营运多少年，其营运的年平均利润最大？
46．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消
毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35
k
p x x =
≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （I ）求()f x 的表达式；
（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．
年数)
47．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升) 满足()y m f x =，其中()()()
2
20416
14422
x x f x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨
+⎪>⎪-⎩，当药剂在水中释放的
浓度不低于4 (毫克/升) 时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为4m =，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
（2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围．
48．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。

若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y 与时间t 满足关系式：14
4(0,)3
y at a a =-<<
为常数，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y 与时间
t
满足关系式
：
201,2
3,131 3.
t y t t t <<=⎨-≤≤≤≤⎪⎩
现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围。

49．已知函数2()f x x ax =+且对任意的实数x 都有(1)(1)f x f x +=-成立． （1）求实数a 的值；（2）当[0,5]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值．
50．求方程03323=-+x x 的一个实数解.。