全国初中数学联赛模拟试卷(含答案解析)

全国初中数学联赛模拟训练
第一试
一、选择题（共6题，每题7分）
1. 设则a,b,c的大小关系为（）
A. c > a > b
B. c > b > a
C. a > b > c
D. a > c > b
2. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E
在AC上，满足∠AED = 90°+ ∠C. 则BC +
2AE等于（）
A. AB
B. AC
C. AB
D. AC
3. 设函数, 若使得y = k 成立的x恰有三个，则k的值为（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
4. 设I是锐角△ABC的内心，I1,I2,I3分别是点I关于BC, CA, AB的对称点. 若I1,I2,I3,B四点共圆，则∠ABC等于（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5. 在凸四边形ABCD中，AB = 2AD, BC = 1, ∠ABC =∠BCD = 60°, ∠ADC = 90°, 则AB的长为（）
A. B. C. D.
6. 在一个两位数中间插入一个数码（包含0）得到一个三位数，例如35中间插入数码6得到365. 若得到的三位数是原来连位数的n倍，其中n是正整数，则n的最大值为（）A. 13 B. 15 C. 16 D. 19
二、填空题（共4题，每题7分）
7. 已知x = , 则= .
8. 设正实数x, y, z满足x + y + z = 6 + min{} , 则xyz= .
9. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AB=CD,∠ABC = 67.5°. 若以CD为直径的圆与AB切于点E、与BC交于点F，则BF:FC= .
10. 如果2017能写成n个正整数之和，则称正整数n是“好数”. 则好数有个.
第二试
一、（共20分）已知二次函数y1 = ax2 + 4x + b 与y2 = bx2 + 4x + a 都有最小值，记它们的最小值分别为m, n. 若m + n =0 , 求证：对任意实数x, 均有y1 + y2≥ 0，并求出当y1 + y2 = 0是x的值.
二、（共25分）如图，在锐角△ABC中，H是垂心，过H作BH的垂线与AC交于点E. 过C作BC的垂线与DE的延长线交于点F，求证：FH = FC.
三、（共25分）设a, b, c 是大于100的正整数，满足(a, b, c) = 1, 且a| b + c, b | a + c. 求c 的最小值.
参考答案
第一试
1. A
解析：对a, b, c进行分子有理化处理.
, 比较分母大小可知c > a > b. 故选A.
注解：一定要记住这三个数值。

这在做题中十分有用。

比如本题最后一步比较a, c大小时就要用到这一组数值进行估计。

2. B
解析：作BF∥DE，交AC与F.
则：∠AFB =∠AED = 90°+ ∠C
∴∠CFB =∠CBF = 90°–∠C
∴CF = CB
又∵D是AB中点且BF∥DE
∴E是AF中点
∴BC+2AE = FC+AF = AC
故选B.
3. C
解析：画出函数图像，如右图所示，容易观察到，当且仅当y = 3
是恰有3个x. 故选C.
4. C
解析：∠I1BI3 = ∠IBI1 + ∠IBI3 = 2 (∠IBC + ∠IBA) = 2∠ABC
同理，∠I2AI3 = 2∠BAC
∵AI3 = AI = AI2
∴∠AI2I3 =∠AI3I2 = 90°–∠BAC
同理，∠CI2I1 = 90°–∠ACB
又∵∠AI2C = ∠AIC = 90°+ ∠ABC
∴∠I1I2I3 = ∠AI2C –∠AI2I3–∠CI2I1 = 90°+ ∠ABC –
(90°–∠BAC) – (90°–∠ACB) = 90°–∠ABC
∵BI1I2I3共圆
∴∠I1BI3 + ∠I1I2I3 = 180°
即：2∠ABC + 90°–∠ABC = 180°
解得∠BAC = 60°. 故选C.
5. B
解析：延长BA，CD交于E.
∴△BCE是等边三角形
设DE = x , 则AE = 2x, AD = x
∴AB = 2AD = 2x
∴1 = BC = (2+ 2)x
∴x =
∴AB = 2x = , 故选B.
6. D
解析：若n = 20, 则三位数的首位闭和两位数不同，故：不成立.
∴n≤19
在1、0中间插入9，得到190，是10的19倍，故：n = 19时成立.
∴n最大为19，故选D.
7. 6
解析：∵x =
∴x2– 3x + 1 = 0
∴x2 = 3x – 1, x + = 3
∴原式= x(3x – 1) – 3(3x – 1) + 3x +
= 3(3x – 1) – 7x + 3 +
= 2x +
= 6
点评：本题中x2– 3x + 1 = 0起到了降次的作用
8. 8
解析：min{A, B, C} ≤ A, min{A, B, C} ≤ B, min{A, B, C} ≤ C
∴min{A, B, C} ≤
∴x + y + z ≤ 6 +
∴x + y + z + ≤ 9
又∵x + = ≥ = 3, 当，即：x = 2时取等
同理可得x + y + z + ≥ 9
∴x + y + z + = 9 ⇒ x = y = z = 2 ⇒ xyz = 8.
9.
解析：延长BA、CD，交于点G，设CD中点为O，⊙O切AB于E，OC = OE = 1 ∴∠EGO = 45°
又∵OE⊥GE
∴GO =
∵∠OFC =∠OCF =∠GBC
∴OF∥GB
∴
10. 110
解析：易知，n是奇数
由于最小的奇合数为9，2017 ÷ 9 = 224 …… 1，所以n最大是221.
2017=219 × 9 + 21 + 25，故n可以是221.
接下来每次取出两个9，加到21上，故小于221的奇数均可以取到.
（例如：2017 = 217 × 9 + 39 + 25）
当n = 1时，2017为质数，故n不能为1.
综上，共有110个好数.
第二试
一、解析：∵y1、y2均有最大值
∴a, b > 0 ⟹a + b > 0
∵
∴
∴ab = 4 或a + b = 0（舍）
∴y1 + y2 = (a + b)x2 + 8x + (a + b) ≥ (2)x2 + 8x + 2= 4x2 + 8x + 4 = 4(x + 1)2 ≥ 0当y1 + y2 = 0时，x = –1.
二、解析：∵∠FCH = 90°–∠HCB = ∠ABC
∴FH = FC <=> CH = 2CF·cos B
∵AG∥FC
∴
∴CH = 2CF·cos B
∴成立
三、解析：∵a | a + b + c, b | a + b + c, (a, b) = 1
∴ab | a + b + c
∴a + b + c ≥ab
∴c ≥ab – a – b = (a – 1)(b – 1) + 1 ≥(101 – 1)(102 – 1) + 1 = 10099。