上海市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级（上）期末数学试卷 题号
一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D. 0.3
3x 2a 2−b 282.关于x 的方程是一元二次方程，那么ax 2+3x =ax +2( )
A. B. C. D. a ≠0a ≠1a ≠2a ≠33.反比例函数的图象经过点，、是图象上另两点，其中y =k x (−1,2)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，那么、的大小关系是x 1<x 2<0y 1y 2( )
A. B. C. D. 都有可能y 1>y 2
y 1<y 2y 1=y 24.用配方法解方程时，原方程可变形为2x 2−8x−3=0( )
A. B. C. D. (x−2)2=−52
(x−2)2=112(x +2)2=7(x−2)2=75.下列命题中是真命题的是( )
A. 反比例函数，y 随x 的增大而减小
y =2
x B. 一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则三边长度之比是1：2：3
C. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形
D. 如果，那么一定有(a−1)2=1−a a <l
6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点
，与x 轴夹角为，将沿直线AB 翻
A(−2,0)30°△ABO 折，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y =k
x (k ≠0)
上，则k 的值为( )A. 4
B. −2
C. 3
D. −3
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7.
已知函数，其定义域为______．y =2x−18.
不等式的解集是______．3x <2x +19.在实数范围内因式分解______．
2x 2−x−2=10.方程的根是______．
a 2−a =011.平面上到原点O 的距离是2厘米的点的轨迹是______．
12.在工地一边的靠墙处，用32米长的铁栅栏围一个所
占地面积为140平方米的长方形临时仓库，并在平行于
墙一边上留宽为2米的大门，设无门的那边长为x 米．根
据题意，可建立关于x 的方程______．
13.已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k 的取值范围是______．y =k−1x 14.如果点A 的坐标为，点B 的坐标为，那么线段AB 的长等于______ ．(−3,1)(1,4)15.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m 的取
mx 2−2x +1=0值范围是______．
16.如图，中，于D ，E 是AC 的中点．若，
△ABC CD ⊥AB AD =6，则CD 的长等于______．
DE =5
17.如图，中，，，AD 是
Rt △ABC ∠C =90°BD =2CD 的角平分线，______度．
∠BAC ∠CAD =18.已知，在中，，，将翻折使得点A 与点C 重合，
△ABC AB =3∠C =22.5°△ABC 折痕与边BC 交于点D ，如果，那么BD 的长为______．
DC =2三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）
19.计算：2⋅6+(3−1)2+43+1
20.解方程：4y2−3=(y+2)2
s()
21.甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离千米与其相关
t()
的时间小时变化的图象如图所示，读图后填空：
(1)A
地与B地之间的距离是______千米；
(2)
甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式及定义域是______；
(3)
乙车的速度比甲车的速度每小时快______千米．
y=y1+y2y1x−1y2x=2y=1 22.已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当
x=−2y=−2
时，，求y关于x的函数解析式．
23.如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交
AB⊥BE DE⊥BE
于点G，垂足为B，，垂足为E，且
BF=CE AC=DF
，，
求证：点G在线段FC的垂直平分线上．
24.已知，如图，在中，，点E 在AC 上，，．
Rt △ABC ∠C =90°AB =12DE AD//BC 求证：．∠CBA =3∠CBE
25.如图，已知正比例函数图象经过点，A(2,2)B(m,3)
求正比例函数的解析式及m 的值；
(1)分别过点A 与点B 作y 轴的平行线，与反比例函
(2)数在第一象限的分支分别交于点C 、点C 、
D 均在D(点A 、B 下方，若，求反比例函数的解析式；
)BD =4AC 在第小题的前提下，联结AD ，试判断(3)(2)△ABD
的形状，并说明理由．
26.如图，已知在中，，，，，将一个直
Rt △ABC ∠ABC =90°AB =3BC =4AD//BC 角的顶点置于点C ，并将它绕着点C 旋转，直角的两边分别交AB 的延长线于点E ，交射线AD 于点F ，联结EF 交BC 于点G ，设．
BE =x
旋转过程中，当点F 与点A 重合时，求BE 的长；
(1)若，求y 关于x 的函数关系式及定义域；
(2)AF =y 旋转过程中，若，求此时BE 的长．
(3)CF =GC
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A 、，不是最简二次根式；
0.3=3
10=3010B 、，不是最简二次根式；
3x 2=3|x|C 、，是最简二次根式；a 2−b 2D 、，不是最简二次根式；
8=22故选：C ．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：被开方数不含分母；(1)(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】A
【解析】解：，
ax 2+3x =ax +2，
ax 2+(3−a)x +2=0依题意得：．
a ≠0故选：A ．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.【答案】B
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
∵y =k x (−1,2)，
∴k =−2此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，
∴，
∵x 1<x 2<0、两点均位于第二象限，
∴A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)．
∴y 1<y 2故选：B ．
先代入点求得k 的值，根据k 的值判断此函数图象所在的象限，再根据(−1,2)x 1<x 2<0判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．
A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：，
∵2x 2−8x−3=0，
∴2x 2−8x =3则，
x 2−4x =3
2
，即，∴x 2−4x +4=32+4(x−2)2=
112
故选：B ．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A 、反比例函数，在第一、三象限，y 随x 的增大而减小，本说法是
y =2x 假命题；
B 、一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，
这三个角的度数分别为、、，
30°60°90°则三边长度之比是1：：2，本说法是假命题；
3C 、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形是真命题；D 、如果，那么一定有，本说法是假命题；
(a−1)2=1−a a ≤l 故选：C ．
根据反比例函数的性质判断A ；根据三角形内角和定理、直角三角形的性质求出三边长度之比，判断B ；根据等腰直角三角形的性质判断C ；根据二次根式的性质判断D ．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】D
【解析】解：设点C 的坐标为，过点C 作(x,y)CD ⊥x
轴，作轴，
CE ⊥y 将沿直线AB 翻折，
∵△ABO ，，
∴∠CAB =∠OAB =30°AC =AO =2，
∠ACB =∠AOB =90°，∴CD =y =AC ⋅sin60°=2×
32=3，
∵∠ACB =∠DCE =90°，
∴∠BCE =∠ACD =30°，∵BC =BO =AO ⋅tan30°=2×
33=233，
CE =|x|=BC ⋅cos30°=
233×32=1点C 在第二象限，
∵，
∴x =−1点C 恰好落在双曲线上，
∵y =k x (k ≠0)，
∴k =x ⋅y =−1×3=−3
故选：D ．
设点C 的坐标为，过点C 作轴，作轴，由折叠的性质易得(x,y)CD ⊥x CE ⊥y ，，，用锐角三角函数的定义∠CAB =∠OAB =30°AC =AO =2∠ACB =∠AOB =90°得CD ，CE ，得点C 的坐标，易得k ．
本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C 的坐标是解答此题的关键．
7.【答案】x ≥12
【解析】解：依题意有
，
2x−1≥0解得．
x ≥12故答案为：．
x ≥12当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
考查了函数自变量的取值范围，关键是熟悉当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零的知识点．8.【答案】x <3+2
【解析】解：3x−2x <1
x <13−2
x <3+2故答案为．
x <3+2根据解不等式的过程解题，最后系数化1时进行分母有理化即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，解决本题的关键是系数化1时进行分母有理化．9.【答案】2(x−1−174)(x−1+174
)【解析】解：令2x 2−x−2=0
，，∵a =2b =−1c =−2
∴△=b 2−4ac =1−4×2×(−2)=17
∴x =1±172×2=1±174，∴x 1=1−174x 2=1+174
∴2x 2
−x−2=2(x−1−174)(x−1+174)故答案为：2(x−1−174)(x−1+174
).先求出方程的两个根、，再把多项式写成的形式2x 2−x−2=0x 1x 22(x−x 1)(x−x 2)..本题考查了实数范围内分解因式，明确一元二次方程的根与因式分解的关系，是解题的关键．
10.【答案】，
a1=0a2=1
a2−a=0
【解析】解：，
a(a−1)=0
，
a=0a−1=0
，，
a1=0a2=1
，．
a1=0a2=1
故答案为：，．
a(a−1)=0a=0a−1=0
把方程的左边分解因式得到，得到，，求出方程的解即可．
−−
本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，因式分解提公因式法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．11.【答案】以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆
【解析】解：平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是以点O为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆．
根据圆的定义就可解决问题．
本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
12.【答案】(34−2x)x=140
(34−2x)
【解析】解：设所求边长为x，则矩形的长为．
(34−2x)x=140
根据题意得：．
(34−2x)x=140
故答案为：．
(32−2x+2)
设所求边长为x，则矩形的长为，然后根据矩形的面积公式列方程即可．本题主要考查的是一元二次方程的应用以及一元二次方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．
13.【答案】k<1
k−1<0
【解析】解：由题意可得，
k<1
则．
k<1
故答案为：．
k<0
根据时，图象是位于二、四象限即可得出结果．
(1)k>0(2)k<0此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限．
时，图象是位于二、四象限．
14.【答案】5
AB=(−3−1)2+(1−4)2=5
【解析】解：．
故答案为：5．
利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解．
15.【答案】且
m<1m≠0
【解析】解：关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∵mx 2−2x +1=0，
∴{
m ≠0△=(−2)2−4m >0解得：且．
m <1m ≠0故答案为：且．
m <1m ≠0根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之△>0即可得出m 的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．△>016.【答案】8
【解析】解：如图，中，于D ，E 是AC 的中点，，∵△ABC CD ⊥AB DE =5，
∴DE =12AC =5．
∴AC =10在直角中，，，，则根据勾股定理，得
△ACD ∠ADC =90°AD =6AC =10．
CD =AC 2−AD 2=102−62=8故答案是：8．
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得；然后在直角AC =2DE =10中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．
△ACD 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC 的长度是解题的难点．17.【答案】30
【解析】解：过点D 作于E 点，
DE ⊥AB 是的角平分线，，，
∵AD ∠BAC DC ⊥AC DE ⊥AB ．
∴DC =DE ，
∵BD =2CD ．
∴BD =2DE ．
∴∠B =30°，
∵∠C =90°．
∴∠CAB =60°．
∴∠CAD =12×60°=30°故答案为30．
过点D 作于E 点，根据角平分线性质可得，从而，则DE ⊥AB DE =DC BD =2DE ，可知，再利用角平分线的定义可求度数．
∠B =30°∠CAB =60°∠CAD 本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键．18.【答案】或2+12−1
【解析】解：分两种情况：
当为锐角时，如图所示，过A 作于F ，
①∠B AF ⊥BC
由折叠可得，折痕DE 垂直平分AC ，
，
∴AD =CD =2，
∴∠ADB =2∠C =45°是等腰直角三角形，
∴△ADF ，
∴AF =DF =2又，
∵AB =3中，，∴Rt △ABF BF =AB 2−AF 2=1；
∴BD =BF +DF =1+2当为钝角时，如图所示，过A 作于F ，
②∠ABC AF ⊥BC
同理可得，是等腰直角三角形，
△ADF ，
∴AF =DF =2又，
∵AB =3中，，
∴Rt △ABF BF =AB 2−AF 2=1；
∴BD =DF−BF =2−1故答案为：或．
2+12−1过A 作于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角AF ⊥BC 三角形的性质，即可得到BD 的长．本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19.【答案】解：原式=2×6+3−23+1+2(3−1)
=23+4−23+23−2
．
=23+2【解析】利用二次根式的乘法法则、完全平方公式和分母有理化进行计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：将方程整理，得：，
3y 2−4y−7=0，，，
∵a =3b =−4c =−7，
∴△=(−4)2−4×3×(−7)=100>0则，y =4±106
，．∴y 1=73y 2=−1【解析】先将方程整理成一般式，再利用公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】60 40
s =20t(0≤t ≤3)【解析】解：从图象可以看出AB 之间的距离为60千米，
(1)故答案为60；
甲的速度为：，故，
(2)60÷3=20s =20t 故答案为：；
s =20t(0≤t ≤3)乙的速度为：，
(3)60÷1=60故答案为40．
从图象可以看出AB 之间的距离为60千米，即可求解；
(1)甲的速度为：，即可求解；
(2)60÷3=20乙的速度为：，即可求解．
(3)60÷1=60此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙的速度．
22.【答案】解：设，，
y 1=k 1(x−1)y 2=k 2x (k 1≠0,k 2≠0)．
∴y =y 1+y 2=k 1(x−1)+k 2x 把时，；当时，代入可得：，x =2y =1x =−2y =−2{1=k 1(2−1)+k 22−2=k 1(−2−1)+k 2−2
解得，，{k 1=12k 2=1
关于x 的函数解析式为．∴y y =12(x−1)+1x 【解析】可设，，把已知条件代入则可求得y 与x 的y 1=k 1(x−1)y 2=k 2x (k 1≠0,k 2≠0)函数解析式；
本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．23.【答案】证明：，
∵BF =CE ，即．
∴BF +FC =CE +FC BC =EF 又，，
∵AB ⊥BE DE ⊥BE ．
∴∠B =∠E =90°在和中，，
Rt △ABC Rt △DEF {
AC =DF BC =EF ≌ ∴Rt △ABC Rt △DEF (HL)
全等三角形的对应角相等，
∴∠ACB =∠DFE()等角对等边，
∴GF =GC()点G 在线段FC 的垂直平分线上．
∴【解析】证得≌，推知，然后由“等角对等边”Rt △ABC Rt △DEF(HL)∠ACB =∠DFE 证得，即可得出结论．
GF =GC 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24.【答案】证明：
取DE 的中点F ，连接AF ，
，，
∵AD//BC ∠ACB =90°，
∴∠DAE =∠ACB =90°，
∴AF =DF =EF =12DE ，
∵AB =12DE ，
∴DF =AF =AB ，，
∴∠D =∠DAF ∠AFB =∠ABF ，
∴∠AFB =∠D +∠DAF =2∠D ，
∴∠ABF =2∠D ，
∵AD//BC ，
∴∠CBE =∠D ．∴∠CBA =∠CBE +∠ABF =3∠CBE 【解析】取DE 的中点F ，连接AF ，根据直角三角形的性质求出AF =DF =FE =12，推出，根据等腰三角形的性质求出，，DE DF =AF =AB ∠D =∠DAF ∠AFB =∠ABF 求出，，即可得出答案．
∠ABF =2∠D ∠CBE =∠D 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．25.【答案】解：设正比例函数的解析式为，
(1)y =kx 正比例函数图象经过点，
∵A(2,2)，
∴2=2k ，
∴k =1比例函数的解析式为；
∴y =x 把代入解析式得，；
B(m,3)m =3轴，
(2)∵AC//BD//y 点的横坐标为2，D 点的横坐标为3，
∴C
设反比例函数的解析式为，分别代入得，，
y =m x y C =m 2y D =m 3，，
∴AC =2−m 2BD =3−m 3，
∵BD =4AC ，
∴3−m 3=4(2−m 2)解得，
m =3反比例函数的解析式为；
∴y =3x 是等腰直角三角形；
(3)△ABD 理由是：由得：，，，
(2)D(3,1)A(2,2)B(3,3)，，∴AB 2=(3−2)2+(3−2)2=2AD 2=(3−2)2+(2−1)2=2BD 2=(3−3)2+(3−1)2，
=4，且，
∴BD 2=AB 2+AD 2AB =AD 是等腰直角三角形．
∴△ABD 【解析】设正比例函数的解析式为，代入A 的坐标根据待定系数法即可求得(1)y =kx 正比例函数的解析式，把B 代入即可求得m 的值；
根据题意得出C 点的横坐标为2，D 点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为(2)y =，分别代入得，，进而求得，，根据列方
m 3y C =m 2y D =m 3AC =2−m 2BD =3−m 3BD =4AC 程，解方程求得m 的值，即可求得解析式；
根据两点的距离公式可得AB 和AD ，BD 的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．(3)本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据题意求得C 、D 的坐标是解题的关键．
26.【答案】解：如图1，，
(1)∵∠ABC =90°，，
AB =3BC =4，
∴AC =32+42=5，
∵∠ACE =90°，
∴AC 2=AB ⋅AE ，
∴52=3AE ，
∴AE =253；
∴BE =AE−AB =25
3−3=163过F 作于H ，
(2)FH ⊥BC ，
∵AD//BC ，
∴∠BAD =∠CBE =90°，
∴∠FAB =∠ABH =∠BHF =90°四边形ABHF 是矩形，
∴，，
∴FH =AB =3BH =AF =y ，
∴CH =4−y
，
∵∠FCE =90°，
∴∠FCH +∠ECB =∠ECB +∠BEC =90°，
∴∠FCH =∠BEC ∽，
∴△CFH △ECB ，
∴CH BE =FH BC ，
∴4−y x =34，；∴y =34x−4(0≤x ≤
163)，
(3)∵CF =GC ，
∴∠CGF =∠CFG ，
∵AD//BC ，
∴∠AFE =∠CGF ，
∴∠CFG =∠AFE ，
∵∠FAE =∠FCE =90°，
∴CE =AE =3+x 在中，
Rt △BCE ，
∵BC 2+BE 2=CE 2，
∴(x +3)2=x 2+42，
∴x =76．∴BE =76【解析】如图1，根据勾股定理得到，根据射影定理即可得到结(1)AC =32+42=5论；
过F 作于H ，根据平行线的性质得到，根据矩形的性(2)FH ⊥BC ∠BAD =∠CBE =90°质得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得FH =AB =3BH =AF =y CH =4−y 到结论；
根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，根据角平分线的性质得(3)∠CFG =∠AFE 到，根据勾股定理即可得到结论．
CE =AE =3+x 本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。