课件6：2.2.1 综合法与分析法
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2.2.1 综合法与分析法
情景导入 夏天，在日本东京的新宿区 的一幢公寓内，发生了一宗凶杀 案，时间是下午 4 时左右．警方 经过三天的深入调查后，终于拘 捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现 场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱 根游玩．
直至下午 4 时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天 晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的 彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露 出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？
由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos60°， 得 c2＋a2＝ac＋b2， 两边加 ab＋bc 得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边除以(a＋b)(b＋c)得a＋c b＋b＋a c＝1， ∴a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3，
即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. ∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
知识链接 1.合情推理所得到的结论是否一定正确？ 2.演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理？ 【答案】1.合情推理所得到的结论不一定正确． 2.演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组 成的三段论推理.
教材预习 一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的 定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直 接证明方法有综合法与分析法．
方法总结 (1)综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看， 综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法 执果索因，常常根底渐近，有希望成功．就表达证明过 程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁锁， 文辞冗长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立．
∵(a－b)2≥0
恒成立，∴
a＋ b
ba≥
为了证明 π(2Lπ)2>(L4)2 成立，只需证明π4Lπ22>1L62， 两边同乘正数L42，得1π>41，因此，只需证明 4>π. 因为 4>π 显然成立，所以 π(2Lπ)2>(L4)2. 这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，
那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．
四、分析法与综合法的综合应用 应用综合法可以使证明过程表述成简短的形式，所 以，非常适宜于叙述证明．但用综合法论证命题时，必 须先想到从哪里开始起步，而这一点正是我们所感到困 难的．分析法就可以帮助我们克服这种困难，因为，应 用分析法思考起来比较自然，容易探求到解题的途径．
二、综合法 综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后 达到待证结论，它是一种由因导果的思维方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
1．综合法的特点 综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际 上是寻找使结论成立的必要条件． 2．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选 择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
设C→M＝xD→P＋yD→A⇒x＝34，y＝41. ∴C→M，D→P，D→A共面． ∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
(2)作 BE⊥PA 于点 E，∴E(2， 3，1)． B→E＝(2，－ 3，1)，∴B→E·D→A＝0. ∴BE⊥DA. 又∵BE⊥PA， ∴BE⊥面 PAD，∴面 PAB⊥面 PAD.
只需证11＋－ccssooiinnss2222αααα＝2(11－＋cscsoioinsns222β2βββ) 即证 cos2α－sin2α＝21(cos2β－sin2β)， 只需证 1－2sin2α＝21(1－2sin2β)， 即证 4sin2α－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．
三、分析法 1．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论 成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证 明的事实． 若用 Q 表示要证明的结论，则分析法可表示如下：
一个明显成立 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 的条件
2．分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分 条件．
a＋
b.
命题方向3 分析法与综合法的综合应用 例 4 △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列． 求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：分析法：结论是关于△ABC 三边的关系式． 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立． 也就是a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
c ab≥
3(
a＋
b＋
c)．
证明：(1)要证明 a＋b＋c≥ 3， 由 a，b，c∈R＋，因此只需证(a＋b＋c)2≥3. 即证明 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3. 又因为由条件知 ab＋bc＋ca＝1， 故只需证 a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca. 也就是证 2a2＋2b2＋2c2－2(ab＋bc＋ca)≥0. 即证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0. 而上式显然成立，故原不等式成立．
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8aabbcc＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立．
例 2 在锐角三角形中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA ＋cosB＋cosC. 证明：锐角三角形中，A＋B>π2， ∴A>π2－B，∴0<π2－B<A<π2. 又∵在0，2π内正弦函数是单调递增函数，
命题方向1 综合法 例 1 已知 a，b，c 为不全相等的正数，求证： b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
证明：左边＝ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3， ∵a，b，c 为不全相等的正数， ∴ba＋ab≥2，bc＋bc≥2，ac＋ac≥2，且等号不能同时成立． ∴ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3>6－3＝3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
(2)∵ bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c(已知 a，b，c∈R＋)，
在(1)中已证得 a＋b＋c≥ 3，
∴原不等式成立只需证明
1 abc≥
a＋
b＋
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c.
也就是只需证明 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.
而 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac，b ac≤ab＋2 bc，c ab≤ca＋2 bc， ∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca 成立． ∴原不等式成立．
方法总结 在分析法证明中，从结论出发的每一个步 骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步 归结到已被证明了的事实，因此，从最后一步可以倒 推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
跟踪训练
3.已知 a>0，b>0，求证： ab＋ ba≥ a＋ b.
证明：∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b a≥
方法总结 对不等式的左端进行恒等变形，其目的都 是为了有效地利用有关的基本不等式，这是利用基本 不等式证明不等式的一个难点．“变形”的形式很多， 常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数等．
跟踪训练 1.已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1， 求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
证明：1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
但分析的过程，叙述起来比较繁琐，不及综合法那样 简明．所以实际证明命题时，应当把分析法与综合法 结合起来使用．常用两种结合途径：一是以分析法为 主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程；
二是用“两头凑”的方法，即根据条件的结构特点去转 化结论，得到中间结论再进行证明．用 P 表示已知条 件、定义、定理、公理等，用 Q 表示要证明的结论， 上述过程可用框图表示为：
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件， 转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形 三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑， 简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾 反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整， 有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
3．综合法格式 从己知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”， 由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺 推法的格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条 件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．
3．分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证……， 只需证……，
只需证……， … 由于…显然成立(已知，已证…)， 所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．
即时训练 2.求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆 的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为 L，依题意，圆的面积 为 π(2Lπ)2，正方形的面积为(L4)2，因此，本题只需证明 π(2Lπ)2>(L4)2.
＝2＋cosCcos(A－B)－cos2C ≤2＋|cosC|·|cos(A－B)|－cos2C≤2＋|cosC|－|cosC|2 ＝－|cosC|－122＋94≤49.
命题方向2 分析法
例 3 已知 a，b，c∈R＋，且 ab＋bc＋ca＝1，求证：
(1)a＋b＋c≥ 3；
(2)
bac＋
abc＋
即时训练 1.如图，四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2， 在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1， 点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：面PAB⊥面PAD.
证明：(1)以 C 为原点，CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系． 由∠PBC＝30°，PC＝2，BC＝2 3，AB＝4，不难得到 D(1,0,0)，B(0,2 3，0)，A(4,2 3，0)，P(0,0,2)，M(0， 23， 32)．
∴sinA>sin2π－B＝cosB， 即 sinA>cosB.① 同理 sinB>cosC② sinC>cosA.③ 由①＋②＋③得 sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
方法总结 本题采用综合法通过构造角的不等式转化 为利用三角函数的单调性来证明．
跟踪训练
2.在△ABC 中，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C≤94. 证明：sin2A＋sin2B＋sin2C ＝12(1－cos2A＋1－cos2B)＋sin2C ＝1－12·2cos(A＋B)cos(A－B)＋1－cos2C
化简得a＋c b＋b＋a c＝1. 只需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 猜想，可能使用余弦定理． 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，∴B＝60°.
由余弦定理，有 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝21， ∴a2＋c2－b2＝ac. 这也就是上面分析欲证的等式． 综合法：∵△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列， ∴B＝60°.
Pn＝P′
P⇒P1 → P1⇒P2 →…→ ⇓
←…← Q2⇒Q1 ← Q1⇒Q
Q′⇒Qm
即时训练 3.已知 α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且 sinθ＋cosθ＝2sinα ①， sinθ·cosθ＝sin2β ②. 求证：11－＋ttaann22αα＝2(11－＋ttaann22ββ).
解：由①得(sinθ＋cosθ)2＝4sin2α， 即 1＋2sinθcosθ＝4sin2α 把②代入上式并整理得：4sin2α－2sin2β＝1③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝2(11－＋ttaann22ββ)，
情景导入 夏天，在日本东京的新宿区 的一幢公寓内，发生了一宗凶杀 案，时间是下午 4 时左右．警方 经过三天的深入调查后，终于拘 捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方做不在现 场证明时，说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱 根游玩．
直至下午 4 时左右，我到芦之湖划船．当时适值雨后天 晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的 彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道疑犯的话露 出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？
由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos60°， 得 c2＋a2＝ac＋b2， 两边加 ab＋bc 得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边除以(a＋b)(b＋c)得a＋c b＋b＋a c＝1， ∴a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3，
即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. ∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
知识链接 1.合情推理所得到的结论是否一定正确？ 2.演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理？ 【答案】1.合情推理所得到的结论不一定正确． 2.演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组 成的三段论推理.
教材预习 一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的 定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直 接证明方法有综合法与分析法．
方法总结 (1)综合法和分析法各有优缺点．从寻求解题思路来看， 综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法 执果索因，常常根底渐近，有希望成功．就表达证明过 程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁锁， 文辞冗长．也就是说分析法利于思考，综合法宜于表述．
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立．
∵(a－b)2≥0
恒成立，∴
a＋ b
ba≥
为了证明 π(2Lπ)2>(L4)2 成立，只需证明π4Lπ22>1L62， 两边同乘正数L42，得1π>41，因此，只需证明 4>π. 因为 4>π 显然成立，所以 π(2Lπ)2>(L4)2. 这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，
那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．
四、分析法与综合法的综合应用 应用综合法可以使证明过程表述成简短的形式，所 以，非常适宜于叙述证明．但用综合法论证命题时，必 须先想到从哪里开始起步，而这一点正是我们所感到困 难的．分析法就可以帮助我们克服这种困难，因为，应 用分析法思考起来比较自然，容易探求到解题的途径．
二、综合法 综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后 达到待证结论，它是一种由因导果的思维方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
1．综合法的特点 综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际 上是寻找使结论成立的必要条件． 2．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条 件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选 择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
设C→M＝xD→P＋yD→A⇒x＝34，y＝41. ∴C→M，D→P，D→A共面． ∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
(2)作 BE⊥PA 于点 E，∴E(2， 3，1)． B→E＝(2，－ 3，1)，∴B→E·D→A＝0. ∴BE⊥DA. 又∵BE⊥PA， ∴BE⊥面 PAD，∴面 PAB⊥面 PAD.
只需证11＋－ccssooiinnss2222αααα＝2(11－＋cscsoioinsns222β2βββ) 即证 cos2α－sin2α＝21(cos2β－sin2β)， 只需证 1－2sin2α＝21(1－2sin2β)， 即证 4sin2α－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．
三、分析法 1．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论 成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证 明的事实． 若用 Q 表示要证明的结论，则分析法可表示如下：
一个明显成立 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 的条件
2．分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分 条件．
a＋
b.
命题方向3 分析法与综合法的综合应用 例 4 △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列． 求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：分析法：结论是关于△ABC 三边的关系式． 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立． 也就是a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
c ab≥
3(
a＋
b＋
c)．
证明：(1)要证明 a＋b＋c≥ 3， 由 a，b，c∈R＋，因此只需证(a＋b＋c)2≥3. 即证明 a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3. 又因为由条件知 ab＋bc＋ca＝1， 故只需证 a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca. 也就是证 2a2＋2b2＋2c2－2(ab＋bc＋ca)≥0. 即证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0. 而上式显然成立，故原不等式成立．
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8aabbcc＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立．
例 2 在锐角三角形中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA ＋cosB＋cosC. 证明：锐角三角形中，A＋B>π2， ∴A>π2－B，∴0<π2－B<A<π2. 又∵在0，2π内正弦函数是单调递增函数，
命题方向1 综合法 例 1 已知 a，b，c 为不全相等的正数，求证： b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
证明：左边＝ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3， ∵a，b，c 为不全相等的正数， ∴ba＋ab≥2，bc＋bc≥2，ac＋ac≥2，且等号不能同时成立． ∴ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac－3>6－3＝3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c>3.
(2)∵ bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c(已知 a，b，c∈R＋)，
在(1)中已证得 a＋b＋c≥ 3，
∴原不等式成立只需证明
1 abc≥
a＋
b＋
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c.
也就是只需证明 a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.
而 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac，b ac≤ab＋2 bc，c ab≤ca＋2 bc， ∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca 成立． ∴原不等式成立．
方法总结 在分析法证明中，从结论出发的每一个步 骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步 归结到已被证明了的事实，因此，从最后一步可以倒 推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
跟踪训练
3.已知 a>0，b>0，求证： ab＋ ba≥ a＋ b.
证明：∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b a≥
方法总结 对不等式的左端进行恒等变形，其目的都 是为了有效地利用有关的基本不等式，这是利用基本 不等式证明不等式的一个难点．“变形”的形式很多， 常见的是拆、并项，也可乘一个数或加上一个数等．
跟踪训练 1.已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1， 求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
证明：1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
但分析的过程，叙述起来比较繁琐，不及综合法那样 简明．所以实际证明命题时，应当把分析法与综合法 结合起来使用．常用两种结合途径：一是以分析法为 主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程；
二是用“两头凑”的方法，即根据条件的结构特点去转 化结论，得到中间结论再进行证明．用 P 表示已知条 件、定义、定理、公理等，用 Q 表示要证明的结论， 上述过程可用框图表示为：
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件， 转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形 三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑， 简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾 反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整， 有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
3．综合法格式 从己知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”， 由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺 推法的格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条 件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．
3．分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证……， 只需证……，
只需证……， … 由于…显然成立(已知，已证…)， 所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．
即时训练 2.求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆 的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为 L，依题意，圆的面积 为 π(2Lπ)2，正方形的面积为(L4)2，因此，本题只需证明 π(2Lπ)2>(L4)2.
＝2＋cosCcos(A－B)－cos2C ≤2＋|cosC|·|cos(A－B)|－cos2C≤2＋|cosC|－|cosC|2 ＝－|cosC|－122＋94≤49.
命题方向2 分析法
例 3 已知 a，b，c∈R＋，且 ab＋bc＋ca＝1，求证：
(1)a＋b＋c≥ 3；
(2)
bac＋
abc＋
即时训练 1.如图，四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2， 在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1， 点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：面PAB⊥面PAD.
证明：(1)以 C 为原点，CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系． 由∠PBC＝30°，PC＝2，BC＝2 3，AB＝4，不难得到 D(1,0,0)，B(0,2 3，0)，A(4,2 3，0)，P(0,0,2)，M(0， 23， 32)．
∴sinA>sin2π－B＝cosB， 即 sinA>cosB.① 同理 sinB>cosC② sinC>cosA.③ 由①＋②＋③得 sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.
方法总结 本题采用综合法通过构造角的不等式转化 为利用三角函数的单调性来证明．
跟踪训练
2.在△ABC 中，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C≤94. 证明：sin2A＋sin2B＋sin2C ＝12(1－cos2A＋1－cos2B)＋sin2C ＝1－12·2cos(A＋B)cos(A－B)＋1－cos2C
化简得a＋c b＋b＋a c＝1. 只需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 猜想，可能使用余弦定理． 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，∴B＝60°.
由余弦定理，有 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝21， ∴a2＋c2－b2＝ac. 这也就是上面分析欲证的等式． 综合法：∵△ABC 三内角 A、B、C 成等差数列， ∴B＝60°.
Pn＝P′
P⇒P1 → P1⇒P2 →…→ ⇓
←…← Q2⇒Q1 ← Q1⇒Q
Q′⇒Qm
即时训练 3.已知 α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且 sinθ＋cosθ＝2sinα ①， sinθ·cosθ＝sin2β ②. 求证：11－＋ttaann22αα＝2(11－＋ttaann22ββ).
解：由①得(sinθ＋cosθ)2＝4sin2α， 即 1＋2sinθcosθ＝4sin2α 把②代入上式并整理得：4sin2α－2sin2β＝1③ 另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝2(11－＋ttaann22ββ)，