上海市上海中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 (含解析)
上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．i是虚数单位， 的虚部是_______________．
2．复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是________．
3．双曲线 的渐近线方程________．
【详解】
（1）由题意，将点 代入双曲线方程得， ，又 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，设点 ，则 ，且 或 ，
则 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，所以 的最小值为 .
20．（1） （ 且 ）；（2）当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，两焦点分别为 ， ；当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 ， ．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
7．
【分析】
先求解出双曲线的右焦点坐标，然后设抛物线方程 ，根据抛物线的焦点列式求解 .
【详解】
由双曲线的方程可得，双曲线的右焦点坐标为 ，因为抛物线以双曲线C的右焦点为焦点，所以设抛物线方程为 ，由 ，得 ，所以抛物线方程为 .
联立方程组 ，解得 ，
即点 的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：本题解答的关键在于找出直线所过的顶点，以及垂直条件，求得点 的轨迹方程，以及结合题设条件联立方程组进行求解.
13．C
【分析】
根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解】
因为 ， ，
4．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程是______.3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9.1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10.已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11.已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12.已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A.1个B.2个C. 3个D.4个16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.10. 5052 11. 5 12. ①③二、选择题 13-16：BCBB 三、解答题17.32z i =+或12z i =-+. 18.()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=.21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22.椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎫⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； （3）由（2）知，2222212i m x x k-=+， 而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT ∆∆⇒⋅==:.。
【精准解析】上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
1.复数 z 满足 i z 1，则 Im z _________. 【答案】 1
【解析】 【分析】 求出复数 z ，然后找出其虚部即可.
【详解】因为 i z 1，故 z 1 i i
故 Im z 1. 故答案为： 1.
【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.
【详解】根据题意,若直线 x 2 y 3 = 0 与直线 a 1 x by = 2 互相垂直,
则有 a 1 2b = 0 ,变形可得 a 2b =1,
则 ab 1 a 2b 1 ( a 2b )2 1 ,当且仅当 a = 2b 1 时,等号成立;
2
22
8
2
即 ab 的最大值为 1 , 8
PQ 的最小值为_________.
-3-
【答案】 2
【解析】 【分析】 先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.
【详解】由圆的方程 C : x2 y2 2x 4y 4 0 ，可得圆心为 1, 2 , r 4 16 16 1.
2 因为圆心到直线的距离 d 3 8 4 3 r 1，故直线与圆相离，
2 故答案为： arctan 1 .
2
【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.
5.若方程 (k 1)x2 (5 2k) y 2 1 表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围为_________.
【答案】 (,1) ( 5 , ) 2
-2-
【解析】 【分析】 根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.
2.抛物线 y 4x2 的焦点坐标是___________．
2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要 【答案】B【解析】先化简条件“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”，结合k 的范围进行判定. 【详解】因为方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；因为211k k -<<-⇒<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.2．双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（ ）A ．BCD ．2【答案】C【解析】根据双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直可求k ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知0k >，因为双曲线221kx y -=的渐近线为y =，且一条渐近线与直线210x y ++=垂直，12=，即14k =；此时双曲线为2214x y -=，224,5a c ==,. 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确,,a b c 的关系式，或者,,a b c 的值，侧重考查数学运算的核心素养.3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得. 【详解】对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得()()1122220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故②不正确； 对于③：当0z =时，满足22z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.二、填空题5．若复数()1231i z i +=-，则z =______.【解析】先化简求解z ，然后再求解模长. 【详解】因为()1231i z i +=-，所以()()()()3i 112i 3i 155i1i 12i 12i 12i 5z ---+====+++-，所以z ==【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．抛物线2y x =的准线方程为________．【答案】14x =-【解析】抛物线2y x =的准线方程为14x =-；故填14x =-. 7．椭圆2236x y +=的焦距是______. 【答案】4【解析】先把椭圆方程化为标准形式，结合,,a b c 的关系可求焦距. 【详解】2236x y +=可化为22162x y +=，所以226,2a b ==，因为2224c a b =-=，所以2c =，焦距24c =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的方程求解焦距，从给定的方程中求解,,a b c 是关键，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.【答案】1【解析】根据集合相等的含义，分别求解复数,a b ，然后可求ab . 【详解】因为1b b ≠+，{}{}2,,1a b a b -=+，所以21a b b a-=+⎧⎨=⎩， 即有210a a ++=，解得12212a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或12212a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 所以1ab =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.9．计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______. 【答案】56i +【解析】先求解n i ，然后再根据复数的加法规则进行求解. 【详解】因为2349i 1,i i,i 1,,i i =-=-==L ，所以23912i 3i 4i 10i 12i 34i 10i =5+6i ++++⋅⋅⋅+=+--+⋅⋅⋅+.故答案为：56i +. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确4414243i 1,i i,i 1,i i nn n n +++===-=-是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______. 【答案】[)4,+∞【解析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得12y y +，然后把PQ 用12y y +表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线:1l x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得2440y ty --=，12124,4y y t y y +==-，22112212()41441P y Q x x x x t y t ++=++===++++；因为20t ≥，所以4PQ ≥. 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】(-∞【解析】把所求问题转化为求点P 到直线2y x =+的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，而直线2y x =+与y x =平行，平行线间的距离d ==由题意可知点P 到直线2y x =+；所以m ≤故答案为：(-∞. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.12．平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.【答案】【解析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求. 【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由1,2a c ==可得23b =，所以机器人的运动轨迹方程为221(1)3y x x -=≥；直线3(y k x -=，即(3y k x =+，联立22(313y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩得2222(3)6)3120k x k k x -+-+--=， 当230k -=时，若k =则此时直线(3y k x =-+=恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若k =.当230k -≠时，由∆<0得22226)4(3312)0k k k -----<，k <<综上可得k的取值范围是.故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______． 【答案】3 【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ∆为正三角形，且PQ x ⊥轴，设2PF t =，可得1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.【详解】因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上，则1PF PQ =，160F PQ ∠=oQ ，1F PQ ∴∆为正三角形，11F Q F P ∴=，又1212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=Q ， 所以PQ x ⊥轴，设2PF t =，则1122,3PF t F F t=， 即2332323323c c t c t e a a t a t⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩，故答案为33. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．14．已知一族双曲线22:2019n nE x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与nE 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.【答案】5052【解析】设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】 设()00,n A x y ， 双曲线22:2019n nE x y -=的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C，则n n n n A B A C ==易知n n n A B C V为直角三角形，22001=2420194n n nA B C x y nS -==⨯V 即20194n na =⨯为等差数列，其前2019项的和为()12019201912019201920195052019420194=222a a S ⎛⎫+⨯ ⎪+⨯⨯⨯⎝⎭==【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.15．已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u v =2PB u u u v ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.16．已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______. 【答案】①③【解析】利用椭圆的定义先求解P 的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确. 【详解】由题意，点P 在椭圆C ：)222106x y m m+=>>上，所以1212PF PF PB PB +=+=所以点P 也在以12,B B 为焦点的椭圆222166y x m+=-上， 所以点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆222166y x m +=-的交点，共4个，故①正确，②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=， 22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，所以OP ，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知复数z 满足2274z z i -=+，求z . 【答案】32z i =+或12z i =-+.【解析】设出复数,,z a bi a b R =+∈，代入已知条件，利用复数相等的含义可求. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，222i,z z a a b b =-=+， 因为2274z z i -=+，所以222(i)=7+4i a a b b +--，2227a b a +-=且24b =，解得2b =，1a =-或3，所以32z i =+或12z i =-+. 【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -55≥. 【解析】（1）先对复数进行化简，然后结合z 是纯虚数可求m 的值； （2）结合复数的模长公式，表示出1z -，利用二次函数的知识求解. 【详解】（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，22214(1)521z m m m m -=+-=-+，因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45； 所以1z -25≥. 【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 13弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）(22,22k ∈-. 【解析】（1）根据题意可得2,6a c a c -=+=，从而可求椭圆C 的标准方程； （2）根据与轨道中心O 13P 的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线320kx y k -+-=的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于,,a b c 的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20．已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）.（1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）22240x x y y --+=. 【解析】（1）先把24x t=+12t t =+，然后两式平方相减可得曲线C 的普通方程；（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求. 【详解】 （1）因为24x t=+12t t =+，所以有2222221121,144t t x t y t =++=+-，两式相减可得2222x y -=，即2212y x -=.（2）设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，则222212121,122y y x x -=-=，两式相减得12121212()()()()02y y y y x x x x -+-+-=，即121212122()x x y y y y x x +-=+-. 因为M 为PQ 的中点，所以12122,2x x x y y y +=+=，因为,M A 均在直线上，所以121212y y y x x x --=--，整理可得22240x x y y --+=，经检验知符合题意，即线段PQ 中点M 的轨迹方程22240x x y y --+=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养. 21．由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =;（2）存在实数12k =+QBA PBA ∠=∠. 【解析】（1）通过点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上可求a 的值；（2）根据题意得出1QB QA k k ⋅=，结合斜率公式即可求出k 的值. 【详解】（1）由题意易知，点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上，所以()2321a =-，即1a =.（2）假设存在，由题意可知QBA PBA ∠=∠，90APB ∠=︒， 所以90QBA BAP ∠+∠=︒，所以1QB QA k k ⋅=.设()200,1Q x x -，其中00x >，22000000111,111QBQA x x k x k x x x --==-==++-， 所以2011QB QA k k x ⋅=-=， 因为00,x >所以0x =所以1QA k k ==+.故存在实数实数1k =+QBA PBA ∠=∠. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围； （3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=;（2）λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U ;（3）是定值，23AT BT ⋅=. 【解析】（1）把两点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -代入方程可得椭圆C 的方程； （2）先根据直线和圆相切，求出223220m k --=，然后联立方程，结合韦达定理求出1212,x x y y ++，结合平行四边形性质和Q 在椭圆上可得实数λ的取值范围； （3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把AT BT ⋅转化为AT TB ⋅u u u r u u r，结合向量运算及韦达定理可求. 【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -， 所以222121411a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l ：y kx m =+与圆2223x y +=3=， 即223220m k --=①.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ()()1212y y kx m kx m =++++()122x x m k =++2212mk =+.由向量加法的平行四边形法则，得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r， 因为,OP OQ λ=u u u r u u u r 所以OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r .由题意易知0λ≠，设00(,)Q x y ，则()()()112200,,,x y x y x y λ+=，()()0121211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即()()0202412 212km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以()()222242221212kmmk k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得()222412m k λ=+②由>0∆可得2212k m +>，所以2224m m λ>， 204λ<<，即20λ-<<或02λ<<.由①②可得2228(1)3(12)k k λ+=+，令212t k =+，则2811()322t λ=+， 因为0,t ≥所以24833λ<≤，解得33λ-≤<-或33λ<≤，综上可得λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U . （3）由（2）知223220m k --=，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++222212m k k -=+设33(,)T x y ，则33y kx m =+，由T 为切点可知OT AB ⊥,所以330x ky +=， 解得321kmx k =-+. ()()31312323,,AT BT AT TB x x y y x x y y ⋅=⋅=--⋅--u u u r u u r()()31212121222333x x x y x x x y y y y y ++--+=--22332243222123my kmx m k k --++=-+ 22232222()22221123123kmm km m kmx k k k ---+=-=-++ 222242213333m k =-=-=+.所以AT BT 是定值且定值为23. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.。
上海市七宝中学2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷(含解析)
上海市七宝中学2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷 一、填空题1．直线l 的倾斜角范围是 ． 2．方程x 24+y 2m=1表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是 ．3．抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点坐标是 ．4．经过原点及复数√3−i 对应点的直线的倾斜角为 ．5．下面四个命题：①a ，b 是两个相等的实数，则（a ﹣b ）+（a +b ）i 是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；③z 1，z 2∈C ，且z 12+z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；④两个共轭虚数的差为纯虚数．其中正确的序号为： ． 6．已知点A 为双曲线x 2﹣y 2＝1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 ．7．已知直线l 经过点P （﹣2，1），且点A （﹣1，﹣2）到直线的距离为1，则直线l 的方程为 ． 8．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2+y 2＝18k 2|x |（k ∈R ，k ≠0）的公共点的个数为 ．9．当实数a ，b 变化时，两直线l 1：（2a +b ）x +（a +b ）y +（a ﹣b ）＝0与12：m 2x +2y +n ＝0都通过一个定点，则点（m ，n ）所在曲线的方程为 ．10．动点P 到点F （﹣1，0）的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是 ． 11．椭圆x 24+y 2＝1的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是 ．12．若实数x ，y 满足x ﹣4√y =2√x −y ，则x 的取值范围是 ． 二、选择题：13．已知平面直角坐标系内的两个向量a →=（1，2），b →=（m ，3m ﹣2），且平面内的任一向量c →都可以唯一的表示成c →=λa →+μb →（λ，μ为实数），则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，+∞）D ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）14．椭圆C ：x 216+y 29=1与直线1：（2m +1）x +（m +1）y ＝7m +4，m ∈R 的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．由m 的取值而确定15．过点P （1，1）作直线与双曲线x 2−y 22=1交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为2x ﹣y ﹣1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±（y +1）＝0D ．不存在16．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A 、B 、C ，其中OA →⋅OB →=0，存在实数λ，μ满足OC →+λOA →+uOB →=0→，则实数λ，μ的关系为（ ） A ．λ2+μ2＝1 B ．1λ+1μ=1C ．λμ＝1D ．λ+μ＝1三、解答题17．已知x ∈R ，设z ＝log 2（3+x ）+i log 2（3﹣x ），当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线x +y ﹣2＝0上．18．已知直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （1）求证：若直线l 过该抛物线的焦点，则y 1•y 2＝﹣p 2； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断．19．（1）若圆C 的方程是x 2+y 2＝r 2，求证：过圆C 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0x +y 0y ＝r 2． （2）若圆C 的方程是（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，则过圆C 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为 ，并证明你的结论． 20．已知双曲线x 22−y 2=1的两焦点为F 1，F 2，P 为动点，若PF 1+PF 2＝4．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 方程；（Ⅱ）若A 1（﹣2，0），A 2（2，0），M （1，0），设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线A 1R 与A 2Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．已知椭圆E 两个焦点F 1（﹣1，0），F 2（1，0），并经过点（√22，√32）． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设M ，N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，A （x 1，0），B （x 2，0）为x 轴上两点，且x 1x 2＝2，证明：直线AM ，NB 的交点P 仍在椭圆E 上．（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可．一、填空题1．【详解详析】直线l 的倾斜角的范围是[0，π）， 故答案为：[0，π）．2．【详解详析】由题意可得a2＝m，b2＝4，所以c2＝a2﹣b2＝m﹣4，所以c=√m−4，故答案为：（0，±√m−4）．3．【详解详析】当a＞0时，整理抛物线方程得x2=1a y，p=12a∴焦点坐标为（0，14a）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，14a）．4．【详解详析】复数√3−i对应点的坐标为（√3，﹣1），则经过原点及复数√3−i对应点的直线的斜率k=√3=−√33，∴直线的倾斜角为为5π6．故答案为：5π6．5．【详解详析】①若a＝b＝0，则（a﹣b）+（a+b）i是0，为实数，即①错误；②复数分为实数和虚数，而任意实数都可以比较大小，虚数是不可以比较大小的，即②错误；③若z1＝1﹣i，z2＝1+i，则z12+z22=−2i+2i=0，但z1≠z2，即③错误；④z=a+bi，z=a−bi（b≠0），则z−z=2bi（b≠0）是纯虚数，即④正确．故答案为：④．6．【详解详析】双曲线x2﹣y2＝1的左顶点为A（﹣1，0），根据双曲线的对称性，可设B（x1，y1），C（x1，﹣y1）．由△ABC是等边三角形⇒AB＝BC，得：（x1+1）2+y12＝（﹣y1﹣y1）2，又x12﹣y12＝1，∴x12﹣x1﹣2＝0，∴x1＝﹣1或x1＝2右支的特点是x≥0，所以x1＝2，从而y1=±√3，由此A（﹣1，0），B（2，√3），C（2，−√3），可以算出面积：S=√34AB2=√34×[32+（√3）2]=3√3．故答案为：3√3．7．【详解详析】设直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0 ∵点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，∴√1+k 2=1，解之得k =−43，得l 的方程为4x +3y +5＝0．当直线与x 轴垂直时，方程为x ＝﹣2，点A （﹣1，﹣2）到l 的距离为1， ∴直线l 的方程的方程为x ＝﹣2或4x +3y +5＝0． 故答案为：x ＝﹣2或4x +3y +5＝0．8．【详解详析】联立直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2+y 2＝18k 2|x |（k ∈R ，k ≠0）， 可得9k 2x 2+4k 2＝18k 2|x |， 由k ≠0化为9x 2﹣18|x |+4＝0， 即为9|x |2﹣18|x |+4＝0， 解得|x |=3+√53或3−√53， 即有四个解：（±3+√53，2k ），（±3−√53，2k ），可得直线和曲线的交点个数为4． 故答案为：4．9．【详解详析】直线l 1：（2a +b ）x +（a +b ）y +（a ﹣b ）＝0，l 1的方程化为（2x +y +1）a +（x +y ﹣1）b ＝0， 令{2x +y +1=0x +y −1=0，解得{x =−2y =3，所以定点的坐标为（﹣2，3）．由l 2过定点（﹣2，3），代入m 2x +2y +n ＝0得﹣2m 2+n +6＝0， ∴点（m ，n ）所在曲线C 的方程为：n ＝2m 2﹣6． 故答案为：n ＝2m 2﹣6．10．【详解详析】由题意可知：动点P 到F （﹣1，0）的距离等于其到直线x ＝1的距离， 由抛物线的定义可知动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝﹣4x ． 故答案为：y 2＝﹣4x ．11．【详解详析】由题意可得a 2＝4，所以a ＝2，设F 为椭圆的右焦点（√3，0），设左焦点F '，则由题意的定义可得PF +PF '＝2a ＝4，所以以线段PF 为直径的圆M 的半径r =12PF ，定圆的半径为R ，因为|MO |=12|PF '|=12（4﹣|PF |）＝2−12|PF |＝2﹣r ，所以|MO |+r ＝2，即圆心距加动圆的半径为定值2，所以当原点为定圆圆心，以R ＝2时，定圆始终与圆M 相切，并且是内切．所以定圆的方程为：x 2+y 2＝4，故答案为：x 2+y 2＝4．12．【详解详析】方法一：【几何法】当x ＝0时，解得y ＝0，符合题意，当x ＞0时，解答如下： 令t =√y ∈（0，√x ]，原方程可化为：﹣2t +x2=√x −t 2，记函数f （t ）＝﹣2t +x2，g （t ）=√x −t 2，t ∈（0，√x ]， 这两个函数都是关于t 的函数，其中x 为参数， f （t ）的图象为直线，且斜率为定值﹣2， g （t ）的图象为四分之一圆，半径为为√x ，问题等价为，在第一象限f （t ），g （t ）两图象有公共点， ①当直线与圆相切时，由d ＝r 解得x ＝20，②当直线过的点A （0，x2）在圆上的点（0，√x ）处时，即√x =x2，解得x ＝4，因此，要使直线与圆有公共点，x ∈[4，20]， 综合以上分析得，x ∈[4，20]∪{0}． 方法二：【代数法】令t =√y ∈（0，√x ]，原方程可化为：x ﹣4t ＝2√x −t 2， 因为x ﹣y ＝x ﹣t 2≥0，所以x ≥t 2≥0，两边平方并整理得，20t 2﹣8xt +x 2﹣4x ＝0（*），这是一个关于t 的一元二次方程，则方程（*）有两个非负数跟， {△=64x 2−80(x 2−4x)≥0t 1t 2=120(x 2−4x)≥0，解得，x ∈[4，20]∪{0}． 故答案为：[4，20]∪{0}．二、选择题：13．【详解详析】根据题意，向量a →、b →是不共线的向量 ∵a →=（1，2），b →=（m ，3m ﹣2） 由向量a →、b →不共线⇔m1≠3m−22解之得m ≠2所以实数m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠2}． 故选：D ．14．【详解详析】直线1：（2m +1）x +（m +1）y ＝7m +4， ∴（2x +y ﹣7）m ＝﹣x ﹣y +4， 令{2x +y −7=0−x −y +4=0得：{x =3y =1，∴直线l 过定点（3，1），又∵3216+19=97144＜1，∴点（3，1）在椭圆内， ∴直线l 与椭圆有2个交点， 故选：C ．15．【详解详析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2， 则x 12−12y 12=1，x 22−12y 22=1，两式相减得（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）−12（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0， ∴x 1−x 2=12(y 1−y 2)， 即k AB ＝2，故所求直线方程为y ﹣1＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1＝0． 联立{y =2x −1x 2−12y 2=1可得2x 2﹣4x +3＝0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在 故选：D ．16．【详解详析】由题意可得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，且OA →⋅OB →=0． ∵OC →+λOA →+uOB →=0→，即 OC →=−λOA →−μOB →，平方可得 1＝λ2+μ2， 故选：A ． 三、解答题17．【详解详析】（1）由题意可知：{log 2(3+x)＜0log 2(3−x)＞0，即{0＜3+x ＜13−x ＞1，解得：﹣3＜x ＜﹣2；（2）由题意可知：log 2（3+x ）+log 2（3﹣x ）﹣2＝0， ∴log 2[（3+x ）（3﹣x ）]﹣2＝0， ∴log 2(9−x 2)−2=0， ∴log 2(9−x 2)=log 24， ∴9﹣x 2＝4，∴x 2＝5， 又∵{3+x ＞03−x ＞0，即﹣3＜x ＜3，∴x =±√5．18．【详解详析】（1）已知直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若直线l 过该抛物线的焦点F （p2，0），设直线l ：x ＝ky +p2， 由{x =ky +p2y 2=2px，得y 2﹣2ky ﹣p 2＝0，y 1y 2=−p 2；综上，命题成立；（2）逆命题：若y 1•y 2＝﹣p 2，直线l 过该抛物线的焦点． 证明如下：设直线x ＝ky +m ，由{x =ky +my 2=2px ，得y 2﹣2ky ﹣2pm ＝0， △＝4k 2+4m 2＞0，y 1•y 2＝﹣2pm ， 又y 1•y 2＝﹣p 2，故m =p2 所以直线l 过该抛物线的焦点．19．【详解详析】（1）证明：圆C 的方程是x 2+y 2＝r 2，其圆心为C ，坐标为（0，0）， 则k MC =y 0−0x 0−0=y 0x 0，则切线的斜率k =−1kCM=−x0y 0，则切线的方程为：（y ﹣y 0）=−x0y 0（x ﹣x 0），变形可得x 0x +y 0y ＝r 2，即可得证明；（2）根据题意，过圆C 上一点M （x 0，y 0）的切线方程为（x ﹣a ）（x 0﹣a ）+（y ﹣b ）（y 0﹣b ）＝r 2， 证明：圆C 的方程是（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，其圆心坐标为（a ，b ）， 则k MC =y 0−b x 0−a，则切线的斜率k =−1k CM=−x 0−a y 0−b，则切线的方程为：（y ﹣y 0）=−x 0−a y 0−b（x ﹣x 0），即（y ﹣b +b ﹣y 0）（y 0﹣b ）＝﹣（x ﹣a +a +x 0）（x 0﹣a ），则有（y ﹣b ）（y 0﹣b ）+（x ﹣a ）（x 0﹣a ）﹣（x 0﹣a ）2+（y 0﹣b ）2， 变形可得：（x ﹣a ）（x 0﹣a ）+（y ﹣b ）（y 0﹣b ）＝r 2， 即可得证明．20．【详解详析】（Ⅰ）由题意知：F 1(−√3，0)，F(√3，0)， 又∵PF 1+PF 2＝4，∴动点P （x ，y ）必在以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆，∴a ＝2， 又∵c =√3，b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）由题意，可设直线l 为：x ＝my +1． 取m ＝0，得R(1，√32)，Q(1，−√32)，直线A 1R 的方程是y =√36x +√33，5 直线A 2Q 的方程是y =√32x −√3，交点为S 1(4，√3)．若R(1，−√32)，Q(1，√32)，由对称性可知交点为S 2(4，−√3)．若点S 在同一条直线上，则直线只能为ℓ：x ＝4．以下证明对于任意的m ，直线A 1R 与直线A 2Q 的交点S 均在直线ℓ：x ＝4上． 事实上，由{x 24+y 2=1x =my +1，得（my +1）2+4y 2＝4，即（m 2+4）y 2+2my ﹣3＝0，记R （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4．设A 1R 与ℓ交于点S 0（4，y 0），由y04+2=y 1x1+2，得y 0=6y 1x1+2． 设A 2Q 与ℓ交于点S 0′（4，y 0′），由y′4−2=y 2x2−2，得y 0′=2y 2x2−2．∵y0−y0′=6y1x1+2−2y2x2−2=6y1(my2−1)−2y2(my1+3)(x1+2)(x2−2)=4my1y2−6(y1+y2)(x1+2)(x2−2)=−12mm2+4−−12mm2+4(x1+2)(x2−2)=0，∴y0＝y0′，即S0与S0′重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线ℓ：x＝4上．21．【详解详析】（1）根据题意设椭圆E的标准方程为：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），∴{c=1(√22)2a2+(√32)2b2=1a2=b2+c2，解得：{a=√2b=1c=1，∴椭圆E的标准方程为：x 22+y2=1；（2）设M（m，n）N（m，﹣n），P（x0，y0），则直线AM的方程为：y（m﹣x1）＝n（x﹣x1）①，直线BN的方程为：y（m﹣x2）＝﹣n（x﹣x2）②，把交点P（x0，y0）代入①，②，整理得：（y0﹣n）x1＝my0﹣nx0，③（y0+n）x2＝my0+nx0，④③与④两边分别相乘得：(y02−n2)x1x2=m2y02−n2x02，又∵x1x2=2，m2=2−2n2，∴x02+2y02=2，∴直线AM，NB的交点P仍在椭圆E上；（3）若椭圆标准方程为：x 2a2+y2b2=1，M，N为椭圆上关于x轴对称的不同两点，A（x1，0），B（x2，0）为x轴上两点，且x1x2＝a2，则直线AM，NB的交点P仍在椭圆E上．。
2019-2020学年度第一学期高二期末数学卷(PDF版)
轨迹的大致图形.
M
A
B
P
20.已知关于 x 的二次方程 a 1 i x2 1 a2i x a2 i 0 有实根，求实数 a 的值及相应的实根.
21.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1a
b
0
经过点
P
6 2
,
1 2
,
c a
2 ，动点 M 在直线 x 2 上， O 为坐标原点. 2
y
sec
t
x tant
D.
y
cot
t
15.设双曲线 x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0 ，右焦点 F c, 0, c
a
2 ，方程 ax2 bx c 0 的两个实数根分别为 x1 , x2 ，
则点 P x1, x2 与 x2 y2 4 的位置关系是（ ）
D. 动点 M 到点 2,3 和到 2x y 1 0 的距离相等 4 ；
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知两圆 C1 : x2 y2 12 和 C2 : x2 y2 14 ，又点 A 坐标为 (3, 1) ，M 、N 是 C1
上的动点， Q 为 C2 上的动点，则四边形 AMQN 能构成矩形的个数为（ ）
19.我边防局接到情报，在两个海标 A，B 所在直线的一侧 M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇 前去搜捕，如图，已知快艇出发位置码头 P 处，线段 AB 布满暗礁，已知 PA 8 公里，PB 10 公里，APB 60 ，
且 AM BM .
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部， 所以直线与椭圆必相交， 所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（ ）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点， 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________； 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ， 所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________； 【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________； 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ， 解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ， 所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______． 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程． 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=． 故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________； 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________； 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-， 因为 2l 也通过定点()2,3-， 将()2,3-代入220++=m x y n ， 得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ，1x =+， 两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =， 当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________； 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切， 所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=， 故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时： （1）在复平面上z 对应的点在第二象限？ （2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上， 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-； （2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-， 代入22y px =， 得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 代入22y px =， 得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-， 所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点， 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点， 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ， 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上， 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ， 因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ， 由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ， 又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程， 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上； 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。
2019-2020学年上海市第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设()()224522z t t t t i =-++++⋅，其中t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） A ．复数z 可能为纯虚数 B ．复数z 可能是实数C ．复数z 在复平面上对应的点在第一象限D ．复数z 在复平面上对应的点在第四象限 【答案】C【分析】根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z 在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.【详解】因为()2245210t t t -+=-+>，()2222110t t t ++=++>， 故ABD 均错误，C 正确. 故选：C.2．已知曲线C 的方程是(),0F x y =，则下列命题中错误的是（ ） A ．不在曲线C 上的点的坐标可以满足方程(),0F x y = B ．曲线C 上的点的坐标都满足方程(),0F x y = C ．坐标不满足方程(),0F x y =的点都不在曲线C 上 D ．不在曲线C 上的点的坐标都不满足方程(),0F x y = 【答案】A【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.【详解】满足方程是(),0F x y =的解对应点都在曲线C 上, 曲线C 上的点的坐标都满足方程，则曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则不在曲线C 上的点的坐标不可能满足方程 0(),F x y =，故A 错误. 故选：A.340y +-=和圆()2cos 022sin 1x y ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=+⎩的位置关系为（ ）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离【答案】B【分析】化为圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，圆()2cos 022sin 1x y ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=+⎩，消去参数，可得22(1)4x y +-=，则圆心坐标为(0,1)，半径为2r，又由圆心到直线340x y +-=的距离为221432(3)1d -==+，可得d r <， 又由圆心不适合直线340x y +-=方程， 所以直线与圆相交但不过圆心. 故选：B.4．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为------------------------------------------------------------------A ．10B ．8C ．45D ．12【答案】A【详解】由题意，可设切线的斜率为k （k 必存在），圆C 的半径为r ，则切线的方程为()1200kx y k x r -+-=≤≤，2121kr r kr k-+-=+，()12y k x -=-，则点,M N的坐标分别为21,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭，()012k -，，且210120k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，，即0k <，所以MON C ∆=二、填空题5．i是虚数单位，1212ii+-的虚部是_______________．【答案】4 5【分析】根据复数的除法运算，化简12341255iii+=-+-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()1212123434 121212555i ii iii i i+++-+===-+--+，可得复数1212ii+-的虚部是45.故答案为：4 5 .6．复数21zi=-（i为虚数单位）的共轭复数是________．【答案】1i-【详解】复数21zi=-()()()21111iii i+==+-+,其共轭复数为1z i=-,故填1i-.7．双曲线2214xy-=的渐近线方程________．【答案】12 y x =±【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214xy-=的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214xy-=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±1 2 x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想8．设P是椭圆22153x y+=上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.【答案】【分析】由椭圆方程求出a ，再根据椭圆的定义可求得结果.【详解】由22153x y +=得25a =，所以a =由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =.故答案为：9．抛物线2x y =的准线方程为_______. 【答案】14y =-【分析】由抛物线方程求出11224p p =⇒=，判断焦点位置，从而可得答案. 【详解】因为抛物线方程为2x y =， 所以11224p p =⇒=， 又因为抛物线焦点在y 轴上， 所以抛物线2x y =的准线方程为14y =-， 故答案为：14y =-. 【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题. 10．已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ． 【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则5=． 故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．11．已知双曲线22:145x y C ，则以双曲线C 的中心为顶点，以双曲线C 的右焦点为焦点的抛物线方程为_______________． 【答案】212y x =【分析】先求解出双曲线的右焦点坐标，然后设抛物线方程22(0)y px p =>，根据抛物线的焦点列式求解p .【详解】由双曲线的方程可得，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，因为抛物线以双曲线C 的右焦点为焦点，所以设抛物线方程为22(0)y px p =>，由32p ，得6p ，所以抛物线方程为212y x =. 故答案为：212y x =.12．已知直线l 过点()1,2且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_______________． 【答案】()1,0【分析】根据截得线段长可求a ，从而可求焦点坐标.【详解】在抛物线24y ax =的方程中令1x =，则y =±4=， 故1a =，所以抛物线的方程为：24y x =，故其焦点坐标为：()1,0.故答案为：()1,0.13．如果双曲线22145x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是1，那么点P 到y 轴的距离是_______________． 【答案】2【分析】由题意可知点P 为双曲线的右顶点，由此可求得点P 到y 轴的距离.【详解】在双曲线22145x y -=中，2a =，b =3c ==，所以，双曲线22145x y -=的右焦点为()3,0F ，而双曲线22145x y -=的右顶点到F 的距离为1，则()2,0P ，因此，点P 到y 轴的距离是2. 故答案为：2.14．设椭圆22162x y +=和双曲线2221x y a-=的公共焦点为1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12F F P S =△_______________． 【答案】2【分析】利用已知条件求出a ，运用椭圆和双曲线的定义，求解三角形的边长，然后求解三角形的面积．【详解】椭圆22162x y +=的焦点坐标(20)，双曲线2221x y a-=的焦点坐标(20)，所以3a =，设1||AF m =，2||AF n =，不妨P 在第一象限， 由椭圆的定义可得26m n +=，① 由双曲线的定义可得23m n -=，② 由①、②，可得63m =+，63n =-，1263626362161cos 32(63)(63)F PF ++++--∠==+-， 所以1222sin F PF ∠=． 所以三角形的面积为：121122sin (63)(63)222mn F PF ∠=⨯+-⨯=．故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用好椭圆与双曲线的定义，然后把问题转化为解三角形问题.15．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 【答案】94【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.【解析】1.新定义；2.直线与曲线的位置关系16．若a ∈R ，直线1:30l x ay a +-=与2:40l ax y a --=交于点P ，点P 的轨迹C 与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，O 为坐标原点（A 、B 异于原点O ），则满足PA PB OA OB -=-的位于第一象限内的点P 坐标为_______________．【答案】7296,2525⎛⎫⎪⎝⎭【分析】分别求得直线1l 过定点(0,3)M ，直线1l 过定点(4,0)N ，且12l l ⊥，根据MP NP ⊥，求得点P 的轨迹方程22325(2)()24x y -+-=，得到(4,0),(0,3)A B ，联立方程组，求得4PA =，再结合两点间的距离公式和圆的方程，联立方程组，即可求得点P 的坐标.【详解】由题意，将直线1:30l x ay a +-=变形为(3)0x a y +-=，由030x y =⎧⎨-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 过定点(0,3)M ，同理可得直线1l 过定点(4,0)N ，且12l l ⊥， 设点P 的坐标为(,)x y ，则MP NP ⊥， 由(,3),(4,)MP x y NP x y =-=-，可得(,3)(4,)(4)(3)0MP NP x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-+-=， 整理得22325(2)()24x y -+-=， 令0y =，可得4x =，令0x =，可得3y =，即(4,0),(0,3)A B , 所以AB 时点P 的轨迹圆的一条直径，则90APB ∠=， 由勾股定理，可得2225PA PB +=，联立方程组22125PA PB OA OB PA PB ⎧-=-=⎪⎨+=⎪⎩ ，解得4,3PA PB ==， 由于点P 在第一象限，则0,0x y >>，由两点间的距离公式，可得222(4)16PA x y =-+=，联立方程组()()22224163252240,0x y x y x y ⎧-+=⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>>⎩，解得7296,2525x y ==，即点P 的坐标为7296(,)2525. 故答案为：7296(,)2525.【点睛】方法点睛：本题解答的关键在于找出直线所过的顶点，以及垂直条件，求得点P 的轨迹方程，以及结合题设条件联立方程组进行求解.三、解答题17．若z 是关于x 的方程2x x 50++=的一个虚根，求z 的值．【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，根据实系数一元二次方程有虚根的情况及系数关系判断5z z ⋅=，得到22a b +，再计算z =即可【详解】设复数(),,z a bi a b R =+∈，因为z 是关于x 的方程2x x 50++=的一个虚根，所以其共轭复数z a bi =-也是该方程的根，根据两根之积5z z ⋅=，可知225a b +=，故z ==18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PA l ⊥，A 为垂足． （1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）若直线AF 的斜率k =PF 的长． 【答案】（1）2:4C y x =，:1l x =-；（2）4．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可求得p 的值，可得出抛物线C 的方程，进而可求得抛物线C 的准线l 的方程；（2）利用斜率公式求出点A 的坐标，由PA l ⊥以及点P 在抛物线C 上可求得点P 的坐标，利用抛物线的定义可求得线段PF 的长．【详解】（1）由于抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，则12p=，可得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线l 的方程为1x =-；（2）设点()1,A t -，则2tk ==-，可得t =，即点(1,A -，设点()00,P x y ，PA l ⊥，则0y =，20034y x ∴==，即点(3,P ，因此，014PF x =+=.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抛物线的定义求焦半径，解题的关键就是求出点P 的坐标，注意到PA l ⊥，可以通过点A 与点P 之间的关系来求解. 19．已知点()3,1在双曲线()222:0C x y aa -=>上．（1）求正数a 的值；（2）求双曲线C 上的动点P 到定点()8,0A 的距离的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）把点()3,1代入双曲线的方程，直接求出a 的值；（2）设点()00,P x y ，由两点的距离公式表示出2PA ，然后化简得关于0x 的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.【详解】（1）由题意，将点()3,1代入双曲线方程得，222318-==a ，又0a >，所以a =（2）由（1）知，228x y -=，设点()00,P x y ，则22008-=x y ，且0≤-x 或0x ≥则()()22222220000000888216562(4)+24=-+=-+-=-+=-PA x y x x x x x ，所以当04x =时，2PA 取得最小值为24，所以PA 的最小值为20．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||DM m DA =（0m >且1m ≠），当点A 在单位圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．【答案】（1）2221y x m+=（0m >且1m ≠）；（2）当01m <<时，曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，两焦点分别为()，)；当1m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(．【分析】（1）首先设出点M 和点A 的坐标，利用||||DM m DA =，确定点M 和点A 坐标之间的关系，再利用点A 在单位圆221x y +=上运动，即可求得曲线C 的方程； （2）根据（1）中曲线C 的方程，分别分析01m <<和1m 两种情况下曲线C 为何种圆锥曲线，再根据曲线的方程求出焦点坐标. 【详解】（1）设00(,),(,)M x y A x y ，因为点M 和点A 满足||||DM m DA =（0m >且1m ≠），所以00,==x x y m y ①，又因为点A 在单位圆221x y +=上，所以22001x y +=②，将①代入②可得曲线C 的方程为2221y x m+=（0m >且1m ≠）；（2）因为0m >且1m ≠，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点分别为()，)；当1m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(．【点睛】关于动点轨迹方程的求解，一般比较常用的方法是定义法、代入法以及相关点法，关于定义法需要掌握几种曲线的定义表示并判断题干条件符合哪个曲线的定义；代入法则直接代入计算，但需要注意定义域；相关点法的应用则需要寻找不同动点之间的关系列式，然后写出轨迹方程.21．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点()0,B b ，过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ,112DF F F = (1)求证:b =； (2)若过2,,B D F 三点的圆与直线:0l x y +=相交于,E F 两点,且EF =求Γ的方程；(3)若2a ，=过2F 且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于,P Q 两点,点M 是点P 关于x 轴的对称点,在x 轴上是否存在一个定点N ,使得,,M Q N 三点共线?若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由．【答案】(1)见解析；(2) 22186x y +；(3)存在，(4,0)N【分析】(1)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半得到答案.(2) 过2,,B D F 三点的圆，半径为2c ，圆心(,0)c -，圆心到直线0x y +=的距离为：d =，再根据垂径定理得到答案. (3) 设直线为：1x ky =+ 112211(,),(,),(,)P x y Q x y M x y -，联立方程，根据韦达定理得到：122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，直线MQ l ：212221()y y y x x y x x +=-+-，取0y =化简得到答案.【详解】(1)在2Rt BDF ∆中，112DF F F =，1F 是2DF 中点，故1212BF DF =14222a c c b =⨯=∴= (2) 过2,,B D F 三点的圆，半径为2c ，圆心(,0)c -圆心到直线0x y +=的距离为：d =根据垂径定理得到：222(2)c=+解得：c=根据（1）知：a b==Γ的方程为：22186x y+(3) 存在定点，(4,0)N22143x y+=，2(1,0)F，设直线为：1x ky=+112211(,),(,),(,)P x y Q x y M x y-221431x yx ky⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到：22(34)690k y ky++-=, 2F在椭圆内，一定有两个交点.故122122634934ky yky yk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线MQl：212221()y yy x x yx x+=-+-取0y=得到222121212212 2222212121()11 x x k y y ky ky y ky ky yx y x y kyy y y y y y---+++=-+=-++=+ +++12212181146ky y ky y k-=+=+=+-故存在定点(4,0)N【点睛】本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定点问题，综合性大，技巧性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析
上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析___高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1.抛物线C的方程为y = 3 - x^2；2.实数k的取值范围为k ≤ 1；3.参数方程为x = a cosθ，y = b sinθ；4.普通方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1；5.实数a的取值范围为2/3 ≤ a ≤ 3/2；6.动圆圆心的轨迹方程为(x-2)^2 + y^2 = 1；7.焦点坐标为(√(k+2),0)和(-√(k+2),0)；8.2x+3y的最大值为3√2；9.直线的方程为y = x - 1；10.实数a的取值范围为0 < a < √2；11.y = x^2/4；12.椭圆C的最小值为2；13.2个；14.充分必要条件；15.2条；16.双曲线的一部分。
二、选择题（共20分，每题5分）13.B；14.A；15.B；16.B。
三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．1）证明：l与C必有两交点。
解：将直线l代入抛物线C的方程中，得到2x^2 - kx - 1 + 2 = 0.由于k不为0，所以该方程必有两个实根，因此直线l与抛物线C必有两个交点。
2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值。
解：由于A和B在抛物线C上，所以它们的纵坐标分别为2x_A^2和2x_B^2，横坐标分别为x_A和x_B。
根据题意，有(x_A + x_B)/2 = 1，即x_A + x_B = 2.又根据直线OA和OB斜率之和为1，有(x_A +x_B)/(2x_Ax_B) = 1，即x_Ax_B = (x_A + x_B)/2 = 1.将x_A和x_B代入x_Ax_B = 1，得到x_A = √2，x_B = 1/√2.将x_A和x_B代入2x^2 - kx - 1 + 2 = 0，得到k = 2√2 - 1.18．斜率为1的动直线L与椭圆(x^2/4) + (y^2/9) = 1相交于A、B两点，过点A作椭圆的切线，交椭圆于点M，求点M的轨迹方程。
上海市浦东新区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 (含解析)
an
满
1,1 n 2019
(
1 2
)n
,
n
2020
,
①当1 n 2019 时,
lim
n
an
lim1
n
0
②当 n 2020 时,
当
n
为奇数时,
lim
n
an
1 2n
0
当
n
为偶数时,
lim
n
an
1 2n
0
综上所述,
lim
n
an
0
.
故选:B
【点睛】本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础
12.若实数 x, y 满足 x2 y2 1 ,则 x2 y2 6x 8 y 25 的取值范围为_____．
【答案】4, 6
【解析】
【分析】
依题意,本题求圆
x2
y2
1
上的点到点
3,
4 的距离的取值范围,先求出圆心到点
3,
4 ,从
而可得出圆 x2 y2 1 上的点到点 3, 4的最小距离和最大距离,进而得出取值范围.
【解析】
【分析】
先求出 AB 的中点 M 的坐标,再求出直线 AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为 1得到
垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程.
【详解】解:设 M
x,
的坐标为
y ，
则
x=
1+ 3 2
=
2
,
y
=
2 +0 2
=1
M
,所以
2,1 .
因为直线
AB
的斜率为
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_35
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.复数满足，则_________.【答案】【解析】【分析】求出复数，然后找出其虚部即可.【详解】因为，故故.故答案为：.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.2.抛物线的焦点坐标是___________．【答案】【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.3.若（为虚数单位，）且，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】由行列式的计算可得复数，再根据即可求出参数.【详解】因为，故，则故整理得分解因式可得对，因，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.4.直线（参数）的倾斜角为_________.【答案】【解析】【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由可得，代入，可得整理得：直线的一般式方程为则直线的斜率为，设其倾斜角为，故.故答案为：.【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.5.若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.【详解】因为方程表示双曲线故，即解得.故答案为：【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.6.若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程是_________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可.【详解】因为双曲线的渐近线为，且过点不难判断，点在直线的上方，故该双曲线的焦点在轴上.设双曲线方程为，则，解得，，则双曲线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置.7.点为直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.【详解】由圆的方程，可得圆心为.因为圆心到直线的距离，故直线与圆相离，则.故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题.8.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为，则_________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得.【详解】因为，故；由椭圆中焦点三角形的面积公式可得即，解得故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.9.已知,,若直线=与直线=互相垂直,则的最大值等于________.【答案】【解析】【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得=,变形可得= ,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线=与直线=互相垂直,则有=,变形可得=,则,当且仅当=时,等号成立;即的最大值为,故答案为：【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.10.已知曲线上一动点，曲线与直线交于点，则的最大值是_________.【答案】【解析】【分析】先计算出交点的坐标，设出点的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线与直线交于点，故令，又因为，解得，故可得，则点的坐标为.设点，则，其中又因为，故，则故 .故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.11.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】－1或【解析】试题分析：设点，则令令（1）当时，时取得最小值，，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.12.如图，已知椭圆和圆，设点为椭圆上的任一点，过作圆的两条切线，分别交于椭圆于两点，若直线与圆相切，则_________.【答案】【解析】【分析】根据一般的结论，取特殊的点，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为为椭圆上任意一点，都满足题意，故设点坐标为，设.则点满足椭圆方程，即可得①直线方程为因为该直线与圆相切，故由圆心到直线的距离公式可得②联立①②，消去可得：故解得或因为当时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意，故.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.二、选择题13.设为非零复数，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出复数，对”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可.【详解】设不能同时为0，则=又，等价于，即若，则，解得或，不一定满足，故充分性不成立；若，即，则一定有，即，故必要性成立.综上是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题.14.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故；又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于.综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题. 15.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有无穷多条D. 不存在【答案】A【解析】【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为.若直线的斜率不存在，则两点关于焦点对称，故满足；若直线的斜率不存在，设直线方程为联立抛物线方程，可得设，故，不可能等于2，故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.16.曲线，要使直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：等价于当时，，或故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线即为满足题意的直线；不妨联立方程与解得，即可得，由图容易知当或时，直线与曲线有4个交点.故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题.三、解答题17.已知实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），另一根为复数.（1）求复数，以及实数的值；（2）设复数的一个平方根为，记在复平面上对应点分别为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数；（2）求出平方根，再求出对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）因为是方程的一个根，故整理得故可得，即故原方程等价于故方程的另一个根综上所述：.（2）设，则即可得解得或不妨取（另一解也有相同的结果），则故则.故.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18.如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（2）垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可.【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒故故点的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为由题可知，解得，故点的轨迹方程为.（2）因为，设的垂直平分线方程为则，则的垂直平分线方程为联立可得，故故观察员遇险地点坐标为与检测中心的距离为.（3）设轨迹上一点为，则又因为，可得代入可得：当且仅当时，取得最小值.故扫描半径至少是.【点睛】本题考查根据双曲线定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19.已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的右侧），与轴交于点；（1）当且时，求点的坐标；（2）当时，设，求证：为定值，并求出该值.【答案】（1）（2）证明见详解；定值为【解析】【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当且时，联立直线与椭圆方程可得，因为点在点的右侧，故解得代入直线方程可得故两点的坐标分别为.（2）当时，椭圆方程为联立直线方程，可得设则对直线方程，令，解得故点的坐标为.因为即可得，则，故为定值，定值是3.【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20.设抛物线，满足，过点作抛物线的切线，切点分别为.（1）求证：直线与抛物线相切；（2）若点坐标为，点在抛物线的准线上，求点的坐标；（3）设点在直线上运动，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）证明见详解；（2）（3）是，【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由，即可证明；（2）根据点在抛物线上解得，进而写出点坐标，再根据点既在直线上，又在抛物线上，联立方程组即可求得的坐标；（3）写出直线的方程，根据过点和过点的直线交于点得到的结论，整理化简直线方程，即可求得恒过的定点.【详解】（1）联立直线与抛物线方程，消去可得故，因为点在抛物线上，故则直线与抛物线只有一个交点又因为，故该直线不与轴平行，即证直线与抛物线相切.（2）因为点在抛物线上，故可得，解得由（1）可知过点的切线方程为，即又抛物线的准线方程为，故令，解得，即点的坐标为.因为过点的切线方程为，其过点故可得，又因为点满足抛物线方程，故可得，联立方程组可得解得（舍去，与点重合），，故点的坐标为.（3）由（1）得过点的切线方程为令，可解得过点的切线方程为令，可解的因为两直线交于点，故可得整理得①当过两点的直线斜率存在，则设其方程为：整理得，将①代入可得故直线方程为故该直线恒过定点;当过两点的直线斜率不存在时，，代入①可得过此时直线，也经过点综上所述，直线恒过定点，即证.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21.已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值；（3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理；（3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到之间的关系，从而利用是整数，对结果进行取舍即可.【详解】（1）对椭圆，因为，故其焦点为，椭圆的长轴长为.设双曲线方程为，由题可知：，解得.故双曲线的方程为：.（2）因为直线AB的斜率显然不为零，故设直线方程为，联立椭圆方程可得设交点，则则又故令，解得故当且仅当时，即时，取得最大值.故的面积的最大值为.（3）联立直线与椭圆方程可得整理得①设直线与椭圆的交点为故可得②同理：联立直线与双曲线方程可得整理得③设直线与双曲线的交点为故可得④要使得即可得故可得将②④代入可得解得.综上所述，要满足题意，只需使得：故当时，可以取得满足题意；即直线方程可以当时，可以取满足题意.即直线方程可以为故存在这样的直线有9条，能够使得.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.复数满足，则_________.【答案】【解析】【分析】求出复数，然后找出其虚部即可.【详解】因为，故故.故答案为：.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题.2.抛物线的焦点坐标是___________．【答案】【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.3.若（为虚数单位，）且，则的值为_________.【答案】【解析】【分析】由行列式的计算可得复数，再根据即可求出参数.【详解】因为，故，则故整理得分解因式可得对，因，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.4.直线（参数）的倾斜角为_________.【答案】【解析】【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由可得，代入，可得整理得：直线的一般式方程为则直线的斜率为，设其倾斜角为，故.故答案为：.【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.5.若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可.【详解】因为方程表示双曲线故，即解得.故答案为：【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.6.若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程是_________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可.【详解】因为双曲线的渐近线为，且过点不难判断，点在直线的上方，故该双曲线的焦点在轴上.设双曲线方程为，则，解得，，则双曲线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置.7.点为直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.【详解】由圆的方程，可得圆心为.因为圆心到直线的距离，故直线与圆相离，则.故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题.8.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为，则_________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得.【详解】因为，故；由椭圆中焦点三角形的面积公式可得即，解得故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.9.已知,,若直线=与直线=互相垂直,则的最大值等于________.【答案】【解析】【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得=,变形可得=,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线=与直线=互相垂直,则有=,变形可得=,则,当且仅当=时,等号成立;即的最大值为,故答案为：【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.10.已知曲线上一动点，曲线与直线交于点，则的最大值是_________.【答案】【解析】【分析】先计算出交点的坐标，设出点的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线与直线交于点，故令，又因为，解得，故可得，则点的坐标为.设点，则，其中又因为，故，则故 .故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.11.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】－1或【解析】试题分析：设点，则令令（1）当时，时取得最小值，，解得（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，解得综上可知：或所以答案应填：-1或.考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.12.如图，已知椭圆和圆，设点为椭圆上的任一点，过作圆的两条切线，分别交于椭圆于两点，若直线与圆相切，则_________.【答案】【解析】【分析】根据一般的结论，取特殊的点，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为为椭圆上任意一点，都满足题意，故设点坐标为，设.则点满足椭圆方程，即可得①直线方程为因为该直线与圆相切，故由圆心到直线的距离公式可得②联立①②，消去可得：故解得或因为当时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意，故.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.二、选择题13.设为非零复数，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出复数，对”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可.【详解】设不能同时为0，则=又，等价于，即若，则，解得或，不一定满足，故充分性不成立；若，即，则一定有，即，故必要性成立.综上是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题.14.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故；又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于.综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.15.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有无穷多条D. 不存在【答案】A【解析】【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为.若直线的斜率不存在，则两点关于焦点对称，故满足；若直线的斜率不存在，设直线方程为联立抛物线方程，可得设，故，不可能等于2，故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.16.曲线，要使直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：等价于当时，，或故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线即为满足题意的直线；不妨联立方程与解得，即可得，由图容易知当或时，直线与曲线有4个交点.故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题.三、解答题17.已知实系数一元二次方程的一根为（为虚数单位），另一根为复数.（1）求复数，以及实数的值；（2）设复数的一个平方根为，记在复平面上对应点分别为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数；（2）求出平方根，再求出对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）因为是方程的一个根，故整理得故可得，即故原方程等价于故方程的另一个根综上所述：.（2）设，则即可得解得或不妨取（另一解也有相同的结果），则故则.故.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18.如图，某野生保护区监测中心设置在点处，正西、正东、正北处有三个监测点，且，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）.（1）以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知点与点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心的距离；（3）若点监测点信号失灵，现立即以监测点为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径至少是多少公里？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；（2）垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可.【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为因为点接收到信号的时间比点接收到信号的时间早秒故故点的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为由题可知，解得，故点的轨迹方程为.（2）因为，设的垂直平分线方程为则，则的垂直平分线方程为联立可得，故故观察员遇险地点坐标为与检测中心的距离为.（3）设轨迹上一点为，。
上海市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
上海市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分）下列语句中不是命题的为（）A . 向英雄致敬B . 闪光的东西并非都是金子C . 如果一个人骄傲自满，他就要落后D . 3－5＝－12. （2分）已知椭圆的两个焦点分别为、，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A .B .C .D .3. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .4. （2分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A,B两点，，则C的实轴长为（）A .B .C . 4D . 85. （2分）已知命题p：，则是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高一上·深圳期末) 在正四面体S﹣ABC中，若P为棱SC的中点，那么异面直线PB与SA 所成的角的余弦值等于（）A .B .C .D .7. （2分）角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·柳林期末) 已知直线a、b，平面α、β，则a∥α的一个充分条件是（）A . a∥β，β∥αB . a⊥b，b⊥αC . a∥b，b∥α，a⊄αD . b⊂α，a∥b9. （2分） (2016高一下·肇庆期末) 在△ABC中，已知| |=| |=4且• =8，则该三角形是（）A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 等腰三角形D . 不能判断形状10. （2分） (2018高三上·山西期末) 已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .11. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 如图，在正方体AC1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A . 点H是△A1BD的垂心B . AH的延长线经过点C1C . AH垂直平面CB1D1D . 直线AH和BB1所成角为45°12. （2分） (2018高三上·西安模拟) 是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A . 9B . 2C . 10D . 2或10二、填空题：. (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·莆田期末) 已知 =（2，﹣3，1）， =（2，0，3），则• =________．14. （1分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知椭圆方程为，直线与该椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则 ________.15. （1分） (2016高二上·大庆期中) 已知双曲线 =1上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是________．16. （1分） (2017高二下·牡丹江期末) 设命题：n N， > ，则为________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共40分)17. （10分）(2019高三上·上海月考) 已知集合，设，，若是成立的充分不必要条件（1）求出集合（2）求实数的取值范围18. （10分） (2017高三下·漳州开学考) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB 为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．19. （10分）(2017·厦门模拟) 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点M为BC边的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线T，直线MF1与曲线T另一个交点为N，线段MF2中点为E，记S=S +S ，求S的最大值．20. （10分） (2016高二上·安徽期中) 如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2 ．M 是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题：. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2019-2020学年上海市交大附中高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷、填空题6.（ 3分）若双曲线的渐近线方程为 y =± 3x ,且过点A （ 1，血3）,则双曲线的方程是 2 2 _（3分）点P 为直线3x+4y+4= 0上的动点，点Q 为圆C : x +y - 2x - 4y+4= 0上的动点, 则|PQ|的最小值为 =1 （a > b > 0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一大值等于于点Q .则「二?门的最大值是一动点，若点P , A 之间的最短距离为2二 则满足条件的实数 a 的所有值为 1和圆O : x 2+y 2= r 2（r > 0）,设点A 为椭圆r 上的任一点，过A 作圆0的两条切线，分别交椭圆r 于 B , C两点，若直线BC 与圆0相切,1. （3 分） 复数z 满足i?z = 1 .贝U Imz =2. （3 分） 2已知抛物线y = 4x 2，则焦点的坐标为 3. （3 分） （i 为虚数单位，a > 0）, |z 3|= 5甬，则a 的值为4. （3 分）5. （3 分）K=2+2t y=3+t若方程（k - 1） 直线（参数t€R ）的倾斜角为x 2 + （5- 2k ） y 2= 1表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围7. 9. ,右^ PF I F 2的面积为4,贝V b =（3分）已知a , b€R +,若直线x+2y+3 = 0与直线（a - 1） x+by = 2互相垂直，则ab 的最10. （3分）已知曲线r ：x=2cos R y=sin 9,（0f 0,］）上一动点P ,曲线r 与直线x = 1交11. （3分）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点A （a , a ）, P 是函数y =一 （x > 0） 图象上-2g 4（3分）已知F 1、F 2是椭圆 点，且「|丄 12.（3分）已知椭圆r ：二、选择题13. （3分）设z 为非零复数，则“ z+—駅“是Zl = 1”的（ ）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C •充要条件D •既非充分也非必要条件B . (- 3, 3)15. （3分）过抛物线y 2= 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2,则这样的直线（ ）A •有且仅有一条B .有且仅有两条C •有无穷多条D .不存在16. （ 3分）曲线r ： 11= 0,要使直线y = m （ m€R ）与曲线r 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（14. （ 3分）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（(—C. (- 3,D •( - 3，-旦)U( - 3)U (丄，3)3333三、解答题217. 已知实系数一元二次方程 x+ax+b = 0 (a , b €R )的一根为-2i (i 为虚数单位)，另一 根为复数乙(1) 求复数乙以及实数a ，b 的值；(2) 设复数z 的一个平方根为 入，记入汽入-斤在复平面上对应点分别为 A 、B 、C , 求(.<+ IJ?「的值.18.如图，某野生保护区监测中心设置在点 0处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ,且|OA|=0B|= 0C|= 30km , —名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三 个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比 B 点接收到信号的时间早 J 秒(注： 信号每秒传播V o 千米).(1 )以O 为原点，直线 AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如题)，根据题设条件求观察 员所有可能出现的位置的轨迹方程：中心O 的距离:(1 )当m = 1且k = 1时，求点M 、N 的坐标; (2)若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同,求观察员遇险地点坐标，以及与监测(3 )若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点 C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径 r 至少是多少公里?li19.已知椭圆r ：2T+1一，过点 D (- 1,m的直线I : y = k (x+1)与椭圆r 交于 M 、N 两点(M 点在N 点的右侧)，与y 轴交于点E .第3页(共21页)2 220. 设抛物线『：y = 2px (p>0) , D (x o, y0)满足y0 >2px0,过点D作抛物线r的切线，切点分别为 A ( X1 , y1) , B (x2. y2).(1)求证：直线yy1= p (x+x1 )与抛物线r相切：(2)若点A坐标为(4, 4),点D 在抛物线r的准线上，求点B的坐标：(3)设点D在直线x+p = 0上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由.2 221. 已知椭圆Q:二r+L = 1.双曲线r的实轴顶点就是椭圆Q的焦点，双曲线r的焦距16 12等于椭圆Q的长轴长.(1 )求双曲线r的标准方程；(2)设直线1经过点E ( 3, 0)与椭圆Q交于A、B两点，求△ OAB的面积的最大值；(3)设直线1: y= kx+m (其中k, m为整数)与椭圆Q交于不同两点A、B，与双曲线r交于不同两点C、D，问是否存在直线I，使得向量「J+"=ii,若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由.2019-2020学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1. ( 3 分)复数 z 满足 i?z = 1 .贝U Imz =- 1【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.故答案为：-1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，注意先把方程化为标准方 程求出p .3. （ 3分）若z = * 1（i 为虚数单位，a > 0）, |z 3|=，则a 的值为11 2【分析】由已知求得 乙再由|z 3|= z|3列式求解a . 【解答】解：z = ； ；「2a - i , 由|z 3|= 5眞，得怯宀（』4岛1）'亦，2即 4a +1 = 5,得 a = 1 （a >0）. 故答案为：1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.2. （3分）已知抛物线 y = 4x 2，则焦点的坐标为 _（0,1 16【分析】把方程化为标准方程求出 p ,利用焦点坐标为（0, ）,写出焦点坐标.【解答】解：抛物线y = 4x 2的标准方程为x 2 =丄y ,焦点在y 轴的正半轴上，p =4故焦点坐标为（0,L 16), 故答案为：（0, 1 16•'•Imz =- 1.4. （ 3分）直线P =2+2t （参数t€R ）的倾斜角为一匸cnrA_. I y=3+t \ 2— 【分析】直接把参数方程转换为直角坐标方程，进一步求出结果.【解答】解：直线J 巨一"旣（参数t€R ）转换为直角坐标方程为： x - 2y = 2 - 6,即x -lv=3+t2y+4= 0,故直线的斜率为k =±,2所以直线的倾斜角为arctaa l . 故答案为：arct an77【点评】 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5. （ 3分）若方程（k - 1） x 2+ （5 - 2k ） y 2= 1表示的曲线为双曲线，则实数 k 的取值范围为( — 8, 1)U(,+m )2【分析】利用已知条件，列出不等式转化求解即可.【解答】解：方程（k - 1） x 2+ （5 - 2k ） y 2= 1表示的曲线为双曲线， 可得（k - 1）?（5- 2k ）v 0，解得 k v 1 或 k >—2故答案为：（-R, 1）ur- , +R ）.2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.6. （ 3分）若双曲线的渐近线方程为 y =± 3x ,且过点A （1,/币），则双曲线的方程是 丄 -9“ = 1.2【分析】可设双曲线的方程是 x 2-L = k ,把点（1, 一」）代入解得即可.9解得k =-者，故所求的双曲线的方程是 y 2 - 9x 2= 1, 故答案为：y 2- 9“= 1.【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，设出双曲线的方1―retail -^•步求出结果. 【解答】解：由题意可知，可设双曲线的方程是2x 2-^— = k ,把点（1，厉d ）代入方程g程是X 2- h = k ,是解题的突破口，属于中档题92 2 一7. ( 3分)点P 为直线3x+4y+4= 0上的动点，点Q 为圆C ： x +y -2x -4y+4= 0上的动点，则|PQ|的最小值为 2 .【分析】根据直线和圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，即可得到结论【解答】解：由圆的标准方程(x - 1) 2+ (y - 2) 2= 1得圆心坐标为C (1, 2),半径R =1 ,圆心到直线的距离 d = -- -- ■ 1=丄=3,在|PQ|的最小值为 d - R = 2; 故答案为：2【点评】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求出圆心到直线的距离是解决本题 的关键【分析】通过椭圆的定义和勾股定理、 三角形的面积公式得|PF 1|+|PF 2|= 2a , |PF 1|2+|PF 2|2 =4c 2, T||PF 1|?|PF 2|= 9，由此能得到 b 的值.P 为椭圆C 上一点，且 PF 1丄PF 2,••• |PF 1|+|PF 2|= 2a ,2221_|PF 1|2+|PF 2|2= 4c 2,专|PF 1?|PF 2|= 4, •( |PF 1|+|PF 2|) 2= 4c 2+2|PF 1||PF 2| = 4a 2, ••16 = 4 (a 2- c 2)= 4b 2, •- b = 2. 故答案为：2.【点评】本题考查椭圆的定义和勾股定理、直角三角形的面积公式，考查运算能力，属 于中档题.& (3分)已知F 1、F 2是椭圆C ：2 X 2+ - 2 .2ab =1 (a > b > 0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一 ,若厶PF 1F 2的面积为4,贝U b =2 .【解答】解：I F 1、F 2是椭圆C ：2X 2 y2 a b £丄点，且-妇 (a > b > 0)的两个焦点,9. （ 3分）已知a , b€R +,若直线x+2y+3 = 0与直线（a - 1） x+ by = 2互相垂直，则ab 的最大值等于【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得（ a - 1） +2b = 0,变形可得a+2b = 1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【解答】解：根据题意，若直线 x+2y+3 = 0与直线（a - 1） x+by = 2互相垂直, 则有(a - 1) +2b = 0,变形可得 a+2b = 1,交于点Q .2COs 0= 1?cos0*?0=故答案为:【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力, 第8页（共21页）则ab =(a x 2b )< —x(二，当且仅当 Sa = 2b^—时，等号成立;即ab的最大值为一,故答案为:【点评】 本题考查直线与直线垂直的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题.10. (3 分) 已知曲线r ：于点Q . x=2cos 8 y=sin 919,(0f 0,］）上一动点P ,曲线r 与直线x = 1交则"•的最大值是一.一【分析】 先求出Q 的坐标，表示出其数量积，结合三角函数的取值范围即可求解 【解答】 解：曲线r ： ?i=2eos 0 y=s in 。
上海市闵行区2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学试题
闵行区高二上期末数学试卷一、填空题1.椭圆221259x y +=的短轴长为__________.【答案】6 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程，直接求解，即可得答案．【详解】∵椭圆的方程为：221259x y +=∴短轴长26b =． 故答案为：6．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 2.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则x =________ 【答案】2- 【解析】 【分析】根据向量共线，得到1(4)20⨯--=x ，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ， 则1(4)20⨯--=x ，解得：2x =-. 故答案为2-【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.3.若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________.【答案】2365x y -+= 【解析】 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=． 故答案为：2365x y -+=． 【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4.已知平面向量,a b 的夹角为6π，||1,||2a b ==，则a b ⋅=_________.【解析】 【分析】直接代入向量的数量积公式求解，即可得答案． 【详解】因为平面向量a ，b 的夹角为6π，||1a =，||2b =， ∴||||cos 1262a b a b π=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．5.若线性方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_______. 【答案】2 【解析】 【分析】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩，即可得出x y +．【详解】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩，两个方程相加可得：336x y +=，则2x y +=．故答案为：2．【点睛】本题考查线性方程组的增广矩阵及其解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 6.若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 7.参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=-⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________. 【答案】(0,3) 【解析】 【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形普通方程，令0x =，即可得答案.【详解】根据题意，曲线的参数方程2cos ,4x y sin θθ=⎧⎨=-⎩，变形可得241x y +-=，即23y x =+，为二次函数，与y 轴的交点坐标为(0,3)；故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，注意求出参数方程对应的普通方程，属于基础题．8.双曲线221169x y -=上一点A 到点（5,0）的距离为15，则点A 到点（−5,0）的距离为_________________. 【答案】7或23 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果．【详解】双曲线221169x y -=，()()28,5,05,0a ∴=-是双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上， 128PF PF ∴-=，点A 到点()5,0的距离为15，则点A 到点()5,0-是15823+=或1587-=，故答案为7或23.【点睛】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．9.以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线221259y x -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点；②设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；③设点A 、P 分别是定圆C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若1()2OQ OA OP =+，则动点Q 的轨迹为圆；其中真命题是_________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】①根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解；②根据双曲线的定义即可得解；③根据平面向量的加法法则，可知点Q 为弦AP 的中点，再判定点Q 的轨迹即可．【详解】①在双曲线中，22225934c a b =+=+=，在椭圆中，22235134c a b =-=-=，且焦点均在y 轴上，所以①正确；②由双曲线的定义知，只有当||k AB <时，动点P 的轨迹才为双曲线的一支，即②错误； ③若1()2OQ OA OP =+，则点Q 为弦AP 的中点，由垂径定理可知，OQ AQ ⊥，所以动点Q 的轨迹是圆，即③正确；所以真命题为①③. 故答案为：①③．【点睛】本题考查命题真假的判断，涵盖的知识点有圆锥曲线的定义与几何性质、平面向量运算，考查综合运用知识的能力．10.已知数列{}n a 的通项公式为()()20191,12019N 1,20203n n n n a n n *-⎧-≤≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_______.【答案】12- 【解析】 【分析】分别求得当12019n 时，2020n 时，前n 项和n S ，再由数列极限公式，可得所求值． 【详解】当12019n 时，1111111n S =-+-+-+⋯-=-；2020n 时，2018201911()11131()2139313n n n S ---=-+++⋯+=-+-， 可得131lim 2212213n n S →∞=-+=-+=--，故答案为：12-． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式、数列的极限的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．11.若关于x2kx =-有解，则实数k 的取值范围是____________.【答案】[1)-⋃ 【解析】 【分析】由题意画出图形，由于双曲线的对称性，只需求出斜率大于0的情况，同理可得斜率小于0的范围，求出相切时的k 值及与渐近线平行的斜率，介于之间的即可．【详解】∵21y x =-，即221(0)x y y -=，∴原问题转化为等轴双曲线221x y -=位于x 轴上方的部分与经过定点(0,2)-的动直线2y kx =-有交点的问题，计算直线与双曲线相切可得5k =±，再结合双曲线渐近线的知识，可得[5,1)(1,5]k ∈--⋃.【点睛】本题考查方程的解与函数的交点的互化，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意借助图形进行分析求解. 12.如图，已知直角MON ∆的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆221259x y +=的交点，O 为坐标原点，当MON ∆绕着点O 旋转时，PM PN ⋅的取值范围为__________.【答案】[35,27]-- 【解析】 【分析】求得椭圆的a ，b ，由题意可得||OP 的最小值为3，最大值为5，运用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得||OD ，进而得到||PD 的范围，再由向量的加减运算和数量积的性质，可得所求范围．【详解】椭圆221259x y +=的5a =，3b =，由椭圆的性质可得P 为长轴的端点时||OP 取得最大值5，P 为短轴的端点时||OP 取得最小值3， 由直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得1||||62OD MN ==， 所以||||||[1,3]PD OD OP =-∈，从而2()()()PM PN PD DM PD DN PD PD DM DN DM DN =++=+++ 221||||[35,27]4PD MN =-∈--．故答案为：[35,27]--．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直角三角形的性质和向量的加减和数量积的运算，考查化简运算能力，属于中档题． 二、选择题13.过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 1或4D. 1或2【答案】A 【解析】试题分析：依题意有41,12aa a -==+． 考点：斜率.14.已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】C 【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，221212(22)(25)5C C r r =--+-==+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定15.设x,y 满足约束条件1,1,0,x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则z 2x y =+的最小值是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】约束条件1,1,0,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩对应的可行域如图所示：平移直线2y x =-，由图易得，当经过点()0,1时，目标函数2x x y =+最小，最小值为1. 故选C.16.若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +-++++--的最大值为( ) A. 12 B. 14 C. 18 D. 24【答案】C 【解析】 【分析】令x y t +=22，可得44t -．化简原式12|2|t =++，即可得答案．【详解】令t x y =+，则4sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭， 于是|2|[0,6]t -∈，60t +>，60t ->，从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +-++++--=-+++-=++∈，故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、绝对值不等式的解法、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题17.已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【解析】 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果． （2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=． 所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ． 所以2112tan||141k k k k π-==+，解得3m =或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.已知向量32a i j b i j =-=+，，其中,i j 是互相垂直的单位向量.(1) 求向量a 在向量b 方向上的投影；(2) 设向量,m a b n a b λ=-=+，若m n ⊥，求实数λ的值. 【答案】（1）5；（2）0λ= 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，结合向量投影的概念，即可得出结果； （2）根据m n ⊥，得到()()0a b a b λ-⋅+=，得出220λλ+⋅-⋅-=aa b a b b ，进而求解，即可得出结果.【详解】（1）因为32,=-=+a i j b i j ，,i j 是互相垂直的单位向量， 所以()()32615⋅=-+=-=a b i ji j ，()23391===--+a i j i j ()2224=+=+=+=b i j i j所以向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,5⋅<>===a ba ab b （2）因为,m a b n a b λ=-=+，m n ⊥， 则()()0a b a b λ-⋅+=，即220λλ+⋅-⋅-=aa b a b b ，即105550λλ+--=，解得0λ=.【点睛】本题主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.19.已知三点(3,1)M 、(0,2)N -、(3,5)T -都圆C 上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若经过点(2,0)P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为l 的方程. 【答案】(1)22(3)(2)9x y -++=；(2)3460x y +-=或2x =.【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，把已知点的坐标代入，求解方程组得D ，E ，F 的值，可得圆的一般方程，进一步化为标准方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得k ，则答案可求．【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=．则9130420925350D E F E F D F F ++++=⎧⎪-+=⎨⎪++-+=⎩，解得6D =-，4E =，4F =．∴圆C 的方程为226440x y x y +-++=，化为标准方程：22(3)(2)9x y -++=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足直线l 被圆C所截得的弦长为 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=．1==，解得34k =-． ∴直线方程为3460x y +-=．∴若经过点(2,0)P 的直线l 被圆C所截得的弦长为l 的方程为2x =或3460x y +-=．【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对直线的斜率分成存在和不存在两种情况讨论．20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点(2,3).(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线0(0)x y m m -+=>与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线C 的右顶点为2A ，求2A AB ∆的面积.【答案】(1)2213y x -=；(2)2；(3)2. 【解析】【分析】（1）由题意设双曲线22:(0)62y x C λλ-=≠，把已知点的坐标代入求得λ，则双曲线方程可求；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得AB 的中点坐标，代入圆的方程即可求得m 值；（3）双曲线C 的右顶点为2(1,0)A ，当2m =时，可得122x x +=，1272x x =-，利用行列式计算面积，即可得答案． 【详解】(1)设22:(0)62y x C λλ-=≠， ∵C 过点(2,3)，∴941622λ-==-， ∴221:622y x C -=-，即2213y x -=； (2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22013x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(3)0x mx m --+=①． 12x x m ∴+=，则AB 的中点坐标为3(,)22m m ， 代入圆2210x y +=，得2291044m m +=，解得2(0)m m =>； (3)∵2(1,0)A ，当2m =时，①式即22470x x --=，∴122x x +=，1272x x =-，∴21122122113|21|22101A AB x x S x x x x ∆+=+=-==. 【点睛】本题考查双曲线方程的求法、直线与圆、直线与双曲线位置关系、三阶行列式的应用，考查计算能力，是中档题．21.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x y C a a a +=>-. (1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值；(2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围；(3)若直线:13x y l a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)6a =；(2)[24,49]；(3)证明见解析，(3,0)-.【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由MN 的长可得纵坐标，即椭圆过9(3,)2-，代入椭圆的方程求出a 的值；（2）6a =代入椭圆可得椭圆的标准形式，设A 的坐标，TA BA 中的BA 用,TA TB 向量表示，再由题意可得关于A 的坐标的关系，由A 的坐标的范围求出数量积TA BA 的取值范围；（3）将直线l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出PQ 的中点的坐标，及弦长PQ ，求出以线段PQ 为直径的圆的方程，整理出关于a 的二次三项式恒为0，可得a 的所有系数都为0，可得x ，y 的值，即圆恒过的定点坐标．【详解】（1）由题意可得：222(9)9c a a =--=，即左焦点为：(3,0)-，若||9MN =，所以9||2y =，将3x =，9||2y =代入椭圆可得：229181149a a +=-，又3a >解得：6a =；（2）6a =时，椭圆的方程为：2213627x y +=，设(,)A x y ，66x -， 2()||TA BA TA TA TB TA TA TB =-=-，由题意可得：222222211||(1)(1)27(1)228(4)243644x TA BA TA x y x x x x ==-+=-+-=-+=-+，由66x -，所以[24TA BA ∈，49]．（3）联立直线l 与椭圆的方程可得：22(9)0ay a y --=，解得10y =，229a y a -=，设(,0)P a ，29(3,)a Q a --，所以PQ 的中点为：3(2a -，29)2a a-， 22229||(3)()a PQ a a -=++， 所以以线段PQ 为直径的圆的方程为：2222223919()()[(3)()]224a a a x y a a a----+-=++， 整理可得：22222222239939(3)()()()()2222a a a a a x a x y y a a a ---+---++-+=+， 即2229(3)30a x a x y y a a ---+--=， 整理可得：22(3)(3)90x y a x x y a y -++++++=，对于任意的3a >，关于a 的二次三项式22(3)(3)9x y a x x y a y -++++++恒为0， 所以二次项，一次项和常数项的系数均为0，即2(3)390x y x x y y -++=++==， 所以3x =-，0y =，即定点坐标为(3,0)-．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、向量与椭圆的交会、一元二次函数的值域、圆过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa→•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√2=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√4(9−a2)+9(a+3)2=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a 1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a 2+4，y 1y 2=−213a 2+4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。