数学人教A版必修第一册1.4充分条件与必要条件课件
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要条件，则实数 的取值范围是？
例3：设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是
乙的必要条件，那么(
)
A、丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B、丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件Cຫໍສະໝຸດ 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D、丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
知识、方法小结
解： ⊆ 。
变式：已知 = 满足条件 }， = 满足条件 } ,
(1)如果 ⊆ ，那么 是 的什么条件？
(2)如果 ⊆ ，那么 是 的什么条件？
(3)如果 = ，那么 是 的什么条件？
概念应用
例2：已知 = {| − 4 < < + 4}， = 1 < < 3 ，“ ∈ ”是“ ∈ ”的必
充分条件与必要条件
概念生成
概念生成
命题：一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，其形式一般为
“若 （条件），则 （结论）”
问题1：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若我是陆丰人，则我是汕尾人；
（2）若两个三角形的周长全等，则这两个三角形全等；
追问3：对于问题1（2）而言， 是 的什么条件？
解：此时 ⇏ 但 ⟹ ，称 是 的必要不充分条件。
概念生成
问题2：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
如果若 ，则 ”为假命题，那么由 不能推出 ，记作 ⇏ 。
追问1：对于问题1（1）而言，如果“我不是汕尾人”，能推出“我是陆丰人”吗？
解：不能。“我不是汕尾人”，则“我”一定不是陆丰人。也就是说，“我是汕尾人”是
“我是陆丰人”成立所“必须”的条件。
必要条件：一般地，若 ⟹ ，则 是 的必要条件。此时，如果 不成立，则 一定
不成立。 的成立是 成立的前提。
概念生成
若 ，则 ”为真命题
等价于
等价于
是 的充分条件
⟹
等价于
整体
是 的必要条件
追问2：对于问题1（1）而言，如果“我是汕尾人”，能推出“我是陆丰人”吗？
解：不能。此时 ⟹ 但 ⇏ ，称 是 的充分不必要条件。
知识、方法小结
基础知识
充分条件、必要条件、充要条件的定义，集合与条件的关系
基本数学思想
1、归纳思想
2、分类讨论思想
(4) 2 为无理数，但 2 × 2 = 2 为有理数， ⇏ 。
概念生成
问题3：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若 = 1，则 2 = 1 ；
（4）若 为无理数，则 , 为无理数。
解：(1)这是一条平行四边形的性质定理， ⟹ ，所以 是 的必要条件；
(2)这是一条相似三角形的性质定理， ⟹ ，所以 是 的必要条件；
(3)显然成立；
(4)由于 1 × 2 = 2 为无理数，但 1, 2 不全是无理数， ⇏ ，所以， 不是 的必要条件。
概念生成
追问4：对于问题2（1）而言，其充分条件唯一吗？你还能举出哪些充分条件？
解：不唯一。四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等…
追问5：对于问题2（1）、（2）而言，你还能发现什么？
解：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。
追问6：对于问题3（1）而言，其结论唯一吗？你还能举出哪些必要条件？
追问8：命题的条件有哪些？
充分不必要条件： ⇒ ， ⇏
必要不充分条件： ⇒ ， ⇏
是的
充分必要条件： ⟺
既不充分也不必要条件： ⇏ ， ⇏
概念应用
概念应用
例1：若 ：小于1的数， ：小于2的数，则 , 的关系是？
解： ⇒ 。
追问1：已知 = < 1 ， = < 2 ，则 , 之间有什么关系？
问题4：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程 2 + + = 0 有两个不相等的实数根，则 < 0 ；
（3）若 2 −4 + 3 = 0 ，则 = 1 。
解：(1)由条件 通过推理可以得到结论 ，为真命题；
(2) (3)中由条件 不能得到结论 ，为假命题。
概念生成
充分条件：一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得到 。这时，我
们就说，由 可以推出 ，记作 ⟹ ，并且说 是 的充分条件。
（4）若 ∪ 是空集，则 与 均是空集。
解：(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
(3)是假命题，但它的逆命题是真命题。
概念生成
充要条件：如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均是真命题，即既有 ⇒ ，
⇒ ，就记作 ⟺ , 是 的充分必要条件。
（3）若 2 = 1，则 = 1 ；
（4）若 , 为无理数，则 为无理数。
解：(1)这是一条平行四边形的判定定理， ⟹ ，所以 是 的充分条件；
(2)这是一条相似三角形的判定定理， ⟹ ，所以 是 的充分条件；
(3) (−1)2 = 1 ，但 −1 ≠ 1 ， ⇏ ；
解：不唯一。这个四边形的两组对边分别相等、这个四边形的一组对边平行且相等…
追问7：对于问题3 （1）、（2）而言，你还能发现什么？
解：一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
概念生成
逆命题：将命题“若 ，则 ”中的条件 和结论 互换得到的新命题，即若 ，则 。
例3：设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是
乙的必要条件，那么(
)
A、丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B、丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件Cຫໍສະໝຸດ 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D、丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
知识、方法小结
解： ⊆ 。
变式：已知 = 满足条件 }， = 满足条件 } ,
(1)如果 ⊆ ，那么 是 的什么条件？
(2)如果 ⊆ ，那么 是 的什么条件？
(3)如果 = ，那么 是 的什么条件？
概念应用
例2：已知 = {| − 4 < < + 4}， = 1 < < 3 ，“ ∈ ”是“ ∈ ”的必
充分条件与必要条件
概念生成
概念生成
命题：一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，其形式一般为
“若 （条件），则 （结论）”
问题1：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若我是陆丰人，则我是汕尾人；
（2）若两个三角形的周长全等，则这两个三角形全等；
追问3：对于问题1（2）而言， 是 的什么条件？
解：此时 ⇏ 但 ⟹ ，称 是 的必要不充分条件。
概念生成
问题2：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
如果若 ，则 ”为假命题，那么由 不能推出 ，记作 ⇏ 。
追问1：对于问题1（1）而言，如果“我不是汕尾人”，能推出“我是陆丰人”吗？
解：不能。“我不是汕尾人”，则“我”一定不是陆丰人。也就是说，“我是汕尾人”是
“我是陆丰人”成立所“必须”的条件。
必要条件：一般地，若 ⟹ ，则 是 的必要条件。此时，如果 不成立，则 一定
不成立。 的成立是 成立的前提。
概念生成
若 ，则 ”为真命题
等价于
等价于
是 的充分条件
⟹
等价于
整体
是 的必要条件
追问2：对于问题1（1）而言，如果“我是汕尾人”，能推出“我是陆丰人”吗？
解：不能。此时 ⟹ 但 ⇏ ，称 是 的充分不必要条件。
知识、方法小结
基础知识
充分条件、必要条件、充要条件的定义，集合与条件的关系
基本数学思想
1、归纳思想
2、分类讨论思想
(4) 2 为无理数，但 2 × 2 = 2 为有理数， ⇏ 。
概念生成
问题3：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若 = 1，则 2 = 1 ；
（4）若 为无理数，则 , 为无理数。
解：(1)这是一条平行四边形的性质定理， ⟹ ，所以 是 的必要条件；
(2)这是一条相似三角形的性质定理， ⟹ ，所以 是 的必要条件；
(3)显然成立；
(4)由于 1 × 2 = 2 为无理数，但 1, 2 不全是无理数， ⇏ ，所以， 不是 的必要条件。
概念生成
追问4：对于问题2（1）而言，其充分条件唯一吗？你还能举出哪些充分条件？
解：不唯一。四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等…
追问5：对于问题2（1）、（2）而言，你还能发现什么？
解：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。
追问6：对于问题3（1）而言，其结论唯一吗？你还能举出哪些必要条件？
追问8：命题的条件有哪些？
充分不必要条件： ⇒ ， ⇏
必要不充分条件： ⇒ ， ⇏
是的
充分必要条件： ⟺
既不充分也不必要条件： ⇏ ， ⇏
概念应用
概念应用
例1：若 ：小于1的数， ：小于2的数，则 , 的关系是？
解： ⇒ 。
追问1：已知 = < 1 ， = < 2 ，则 , 之间有什么关系？
问题4：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程 2 + + = 0 有两个不相等的实数根，则 < 0 ；
（3）若 2 −4 + 3 = 0 ，则 = 1 。
解：(1)由条件 通过推理可以得到结论 ，为真命题；
(2) (3)中由条件 不能得到结论 ，为假命题。
概念生成
充分条件：一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得到 。这时，我
们就说，由 可以推出 ，记作 ⟹ ，并且说 是 的充分条件。
（4）若 ∪ 是空集，则 与 均是空集。
解：(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
(3)是假命题，但它的逆命题是真命题。
概念生成
充要条件：如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均是真命题，即既有 ⇒ ，
⇒ ，就记作 ⟺ , 是 的充分必要条件。
（3）若 2 = 1，则 = 1 ；
（4）若 , 为无理数，则 为无理数。
解：(1)这是一条平行四边形的判定定理， ⟹ ，所以 是 的充分条件；
(2)这是一条相似三角形的判定定理， ⟹ ，所以 是 的充分条件；
(3) (−1)2 = 1 ，但 −1 ≠ 1 ， ⇏ ；
解：不唯一。这个四边形的两组对边分别相等、这个四边形的一组对边平行且相等…
追问7：对于问题3 （1）、（2）而言，你还能发现什么？
解：一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
概念生成
逆命题：将命题“若 ，则 ”中的条件 和结论 互换得到的新命题，即若 ，则 。