高二数学 第二学期期中考试数学(理科)试题

高二数学（理科）试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题（共40分）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则7S 等于（ ） A.13 B.35 C.49 D.63
2.如果5个数54321,,,,x x x x x 的方差是7，则543213,3,3,3,3x x x x x +++++这5个数的方差是（ ）
A.63
B.21
C.14
D.7
3.一个空间几何体的正视图、侧视图是两个边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A.1
B.
21 C.31 D.4
1 4.已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22
>”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos
x
π的值介于
2
1
到1的概率为（ ）
A.31
B.π
2 C.21 D.32 6.如图所示的算法流程图中（注：“1=A ”也可写“1:=A ”或“1←A ”，均表示赋值语句），第3个输出的数是（ ）
7.若方程
11
92
2=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围
是（ ）
A.)9,5(
B.),5(+∞
C.)9,5()5,1(
D.)9,(-∞
8.幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间]1,0[ 上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）.设点)0,1(A ，
)1,0(B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数
βαx y x y ==,的图像三等分，即有NA MN BM ==，
那么αβ的值是（ ）
A.31
B.21
C.2
D.1
第二部分 非选择题（共110分）
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

9．命题“01,2
<++∈∃ax x R x ”否定的是 。

10.
=+⎰
dx x x )sin (0
2π
11.若直线⎩⎨
⎧+=-=kt y t
x l 221:1（t 为参数）与直线⎩⎨
⎧-==s
y s
x l 21:2
（s 为参数）垂直， 则=k 。

12.已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则y x z -=2的最大值是 。

13.在极坐标系中，2=ρ上的点到直线6)sin 3(cos =+θθρ的距离的最小值 是 。

14.若点O 在ABC ∆内，则有结论→
→
∆→
∆→
∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC ，把命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内，则有结论： 。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15.（本题满分12分）已知)sin ,(cos ),2,0(),0,2(ααC B A ，且πα<<0。

（1）若7=+→
→
OC OA ,求→OA 与→OC 的夹角；
（2）若→OA ⊥→
OC ，求αcos 的值。

16.（本题满分14分）
已知圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点。

（1）求证：BC 与SA 不可能垂直。

（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为6
2
，求圆锥的体积。

17.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4+=x y 上，半径为22的圆C 经过坐标原点O 。

（1）求圆C 的方程；
（2）是否存在直线0:=--m y x l 与圆C 交于不同的两点B A ,，且线段AB 的中点恰在抛物线y x 42=上，若l 存在，请求出m 的值，若l 不存在，请说明理由。

18.（本题满分14分）已知函数bx ax x x f ++=
23
3
1)(，且0)1('=-f （1）试用含a 的代数式表示b ；（2）求)(x f 的单调区间。

19.（本题满分14分）设有抛物线42
9
:2
-+-=x x y C ，通过原点O 作C 的切线mx y =，使切点P 在第一象限。

（1）求m 的值，及点P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；
（3）设C 上有一点R ,其横坐标为t ，为使OPQ ∆的面积小于PQR ∆的面积，试求t 的取值范围。

20.（本题满分12分）已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数）。

（1）求函数)(x f 的最小值；（2）若+
∈N n ，证明：1
)()()()(-<
++++e e
n
n n n 。