1.3第1课时 正方形的性质(数学北师大版九年级上册)

A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
B
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
E
F C
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF. A
∴BE=DF.
6.如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
【答案】5 【解答】解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点． ∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2， ∴EF⊥l1，EF⊥l4， 即∠CED＝∠BFC＝90°． ∵ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°． ∴∠DCE+∠BCF＝90°． 又∵∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠BCF． 在△CDE和△BCF中，
∴△PME≌△PNB（ASA）， ∴EM＝BN．
课堂小结
正方形
定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形
1.四个角都是直角
性质 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平Hale Waihona Puke 对角轴对称图形（4条对称轴）
三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且
CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
D
C
O
5 6
M
N
A
Q 87 B
当堂练习 1．在正方形ABC中,∠ADB=90° ,∠DAC= 45° , ∠BOC= 45° .
A
D
O
B
C
第1题
A
D
O E
B
C
第2题
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 22.5° .
3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE , 求∠DEC的度数.
北师大版九年级上册
第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理.（重点） 3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）
导入新课 活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF，∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形．
课后作业
2.如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为 （2，2），则点D的坐标为（ ） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
请同学们动手完成以上证明？
A
D
O
B
C
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题.
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
【答案】B 【解答】解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点 A的坐标为（2，2）， ∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）． 故选：B．
3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点， 则△BFE周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B 【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BF＝DF， ∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°， ∵点E在AB上且BE＝1， ∴AE＝3， ∴DE＝ ∴△BFE的周长＝5+1＝6， 故选：B．
∴△CDE≌△BCF（AAS）， ∴BF＝CE＝2． ∵CF＝1， ∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．
10.如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB 交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分 别为点M和N． （1）求证：PM＝PN； （2）求证：EM＝BN．
讲授新课
一 正方形的定义
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
正方形
问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
正方形
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义）
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形, （矩形的定义）
A
D
正方形是菱形.(菱形的定义)
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
B
C
已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证： AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
4.如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作 BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G． 求证：AF＝DG
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°， ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°， ∵∠DAG+∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF， 在△BAF和△ADG中， ∵
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE, ∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
D
A
又∵四边形ABCD是正方形. E
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°. ∴∠DAE=∠CBE=150°.
C
B
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
证明：（1）∵MN∥AB. ∴∠1 =∠2 =∠3 =∠4 = 45°. ∴OM = ON. ∵OA= OB, ∴OA- OM = OB - ON,AM=BN. 又∵∠2=∠NBC,AB=BC. ∴△ABM ≌△BCN(SAS) ∴BM=CN.
D
C
O
M 13 N
2
A
4
B
(2)延长CN交线段MB于点Q. ∵△ABM≌△BCN. ∴∠6=∠8. ∵∠OCB =∠ABO =45°. ∴∠5=∠7. 又∵∠ONC=∠QNB. ∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB, ∠CON =∠NQB = 90°. ∴BM⊥CN.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
B
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
D
EM F
C
例2：如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M , N. 求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN.
∴△BAF≌△ADG（AAS）， ∴AF＝DG，
5.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且 ∠ADE＝∠CDF，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【解答】解：△DEF是等腰直角三角形． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°， 在△ADE与△CDF中，
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AC平分∠BAD， 又∵PM⊥AD，PN⊥AB， ∴PM＝PN．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN， ∴四边形PMAN为正方形， ∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°． ∵PE⊥PB， ∴∠EPN+∠NPB＝90°， ∴∠MPE＝∠NPB． ∵PM⊥AD，PN⊥AB， ∴∠PME＝∠PNB＝90°． 在△PME和△PNB中，
二 正方形的性质探究和证明
填一填：
A
a
角：
D
边：
四个角都是直角.
a
a
对角线：四条边相等.
对称性：
对角线相等且互相垂直平分.
B
C
a
轴对称图形（4条对称轴）.
定理 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
定理证明
已知：如右图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.