吉林省高一下学期阶段性测试数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
{}
2
20A x x x =∈--≤Z {B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．
[]1,2-(]1,2{}1,2{}1,1,2-【答案】C
【分析】根据题意，先将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果.
,A B 【详解】因为
{}
{}{}2
20121,0,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z
，则且，则可得 {B x y ==21log 0x -≥0x >{}02B x x =<≤所以 {}1,2A B = 故选:C
2．已知点，向量，则（ ）
(1,3),(2,7)A B (0,2)AC =- BC =
A ．
B ．
C ．
D ．
(1,4)(1,4)--(1,6)(1,6)--【答案】D
【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可.
【详解】，所以. ()1,4AB = ()1,6BC AC AB =-=-- 故选：D.
3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，则216,BC AB AC AB AC =+=-
= AM （ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1
【答案】C
【分析】由可得，，结合即可得结果. ||||AB AC AB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC ⊥
2||16BC = 【详解】因为，所以，
2||16BC =
||4BC = 又因为，
22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=
所以,又因为是的中点，
AB AC ⊥
M BC 所以,
1||||22AM BC ==
故选C.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两
2
2
4．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为.
A ．
B ．
2sin()26x y π
=-52sin()212
x y π
=+C ． D ． 332sin()24
x y π=--32sin(
24
x y π
=-+【答案】C
【详解】试题分析：由图象可得最大值为2，则A=2，周期 ，∴ 74663T πππ⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭232
T πω==∴ ，
32sin 2y x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭又，是五点法中的第一个点，∴ ，∴
6x π
=-
30264ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭3
2sin 2
4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭把A,B 排除，
对于C ： ，故选C
3
333
2sin 2sin 2sin 2
4242
4y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--
=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】本题考查函数的图象和性质 ()sin y A x ωϕ=+点评：解决本题的关键是确定 的值 ,,A ωϕ5．下列说法正确的是（ ）
A ．若，则
a c = a c =
B ．若，则存在唯一实数使得
//a b λa b λ=
C ．若，，则
//a b //b c
//a c D ．与非零向量共线的单位向量为
a
a a
± 【答案】D
【分析】对A ，向量模相等，则向量相等或相反；对B ，向量共线定理判断；对C ，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D 利用非零向量的单位向量的求解方法求解.
【详解】若，则或，所以选项A 错误；
a c = a c =- a c = 若，此时 不存在，选项B 错误； 00
b a =≠
，λ若，由，，不一定得到，选项C 不正确；
//a c
由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D 正确. a
故选：D.
6．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量,a b
(2)(2)a b a b +⊥- b a 14
a a
与的夹角是（ ） b
A ．
B ．
C ．
D ．
6
π
3
π
2
π23
π【答案】B
【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两
2a b = b a 1cos ,4b a b a =
式得出，进而得出夹角.
1cos ,2
a b
=【详解】因为，所以，即
①. (2)(2)a b a b +⊥- 22(2)(2)40a b a b a b +⋅-=-= 2a b = 因为向量在向量方向的投影向量是，所以.
b a
14
a 1cos ,4a
b a b a a ⋅= 所以②，将①代入②得，，又，
1cos ,4
b a b a =
1cos ,2a b =[],0,a b π∈ 所以.
π,3a b =
故选：B
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深<>远．若不相等的两个正实数满足，则下列结论正确的个数是（ ） ,a b 4a b +=①
111a b
+>
2<
<④ 228a b +>A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【分析】妙用1可得①；直接使用基本不等式可得②；利用基本不等式先证，然后28<可得③；不等式两边同加，然后可得④. 222a b ab +>22a b +【详解】
，因为，所以，①正
1111111()(2)(22)1b a a b +=++=++≥+=a b ¹11
1+>
确；
，因为，②正确；
4a b ≤+=2≤a b ¹2<
，所以，即③正确； 2<48a b a b +<++=28<<因为，所以，所以，即，④正确. a b ¹222a b ab +>222222(2()16)a b a b ab a b +>+=+=+228a b +>故选：D
8．定义在R 上的偶函数满足且在上是减函数，又是锐角三()f x ()()11f x f x +=-()f x [3,2]--,αβ角形的两个内角，则（ ） A ． B ． ()()sin cos f f αβ>()()sin cos f f αβ<C ． D ．
()()sin sin f f αβ>()()cos cos f f αβ<【答案】A
【解析】由定义在R 上的偶函数f （x ）满足得函数的周期为2，然后利用函数的()()11f x f x +=-周期和奇偶性进行转化，确定函数f （x ）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案． 【详解】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足， ()()11f x f x +=-∴
()()11f x f x =+-∴函数f （x ）为周期函数，周期T ＝2， ∵f （x ）在[﹣3，﹣2]上为减函数， ∴f （x ）在[﹣1，0]上为减函数，
∵f （x ）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反， ∴f （x ）在[0，1]上为单调增函数． ∵在锐角三角形中，则π﹣α﹣β，
2
π
＜∴α+β，
2
＞
π
∴αβ＞0，
2
π2＞π
-∴sinα＞sin （
β）＝cosβ，
2
π
-∵f （x ）在[0，1]上为单调增函数． ∴f （sinα）＞f （cosβ）． 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．
二、多选题
9．下面叙述正确的有（ ）
A ．不等式的解集为；
22
33(21)(1)x x --->+(0,2)B ．若函数的值域为，则； 2()lg(1)f x x ax =++R 2Δ40a =-≥C ．若函数的定义域为，则； 2()lg(1)f x x ax =++R 240a ∆=-<D ．函数在上单调递减． 2()421x x f x +=--[0,2]【答案】BC
【分析】A 利用的单调性及奇偶性求解不等式；B 、C 根据对数型复合函数的值域、定义2
3y x -=域，结合二次函数的性质判断正误；D 应用换元法，结合二次函数的性质判断区间单调性即可. 【详解】A ，由在上递增，在上递减且为偶函数，由不等式可得
23y x -=(,0)-∞(0,)+∞，解得且，故错误； |21||1|210
10x x x x -<+⎧⎪-≠⎨⎪+≠⎩
02x <<1
2
x ≠B ，要使值域为，即的值域必包含，故只需，故正确； ()f x R 21y x ax =++(0,)+∞240a ∆=-≥C ，要使定义域为，即在上恒成立，故只需，故正确； ()f x R 210y x ax =++>x R ∈240a ∆=-<D ，在上，令，则，显然在上递减，[0,2]2[1,4]x t =∈22()()41(2)5f x g t t t t ==--=--()g t [1,2)上递增，即在上递减，上递增，故错误.
(2,4]()f x [0,1)(1,2]故选：BC.
10．下列命题正确的是（ ） A ．零向量与任意向量平行
B ．是向量的必要不充分条件
=a b =a b
C ．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
AB
CD A B C D D ．空间中任意两个向量，，则一定成立
a b ()
222
a b a b ⋅=⋅ 【答案】AB
【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC 选项，根据向量的定义可判断B 选项，根据向量的数量积公式可判断D 选项.
【详解】A 选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A 选项正确；
B 选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则=a b a b =a b =a b
，故B 选项正确；
=a b
C 选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同AB C
D AB
CD A B C D 一条直线上，也可能组成平行四边形，故C 选项错误；
D 选项：由，，，所以与
cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ()
2
222cos ,a b
a b a b ⋅⋅=⋅
2222a a b b =⋅⋅ ()
2a b ⋅ 不一定相等，D 选项错误； 22
a b ⋅ 故选：AB.
11．对于函数，给出下列选项其中正确的是（ ）
()sin f x x x =A ．的图象关于点对称
B ．的最小正周期为
()f x π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x πC ．在区间上单调递增
D ．时，的值域为
()f x 5ππ,66⎛⎫
- ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎣⎦
()f x [1,2]【答案】CD
【分析】由辅助角公式化简，利用正弦函数的对称中心可判断A ；由正弦函数的周期公式可()f x 判断B ；利用正弦函数的单调性可判断C ；利用正弦函数的性质可判断D ，进而可得正确选项.
【详解】，
()πsin 2sin 3f x x x x ⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭对于A ：令，可得，故选项A 不正确；
()ππ
πZ 63k k +=∈1Z 2k =∉对于B ：的最小正周期为，故选项B 不正确； ()f x 2π
=2π1
对于C ：若，则，所以在区间上单调递增，故选项C 正
5ππ66x -<<πππ232x -<+<()f x 5ππ,66⎛⎫
- ⎪⎝⎭
确；
对于D ：当时，，所以，所以时，的值域为
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
ππ5π336x ≤+≤1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()f x ，故选项D 正确； [1,2]故选：CD.
12．在△ABC 中，M ，N 分别是线段，上的点，CM 与BN 交于P 点，若
AB AC 3177AP AB AC =+
，则（ ）
C ．
D ．
3AN NC = 13
AN NC = 【答案】AD
【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.
【详解】设，，由，可得，AM mAB = AN nAC = 3177
AP AB AC =+ 3177AP AM AC m =+
．
3177AP AB AN n =+ 因为C ，P ，M 共线，所以，解得．因为N ，P ，B 共线，所以，解得31177m +=12
m =311
774n +=． 1
4n =
故，，即，．
12
AM AB = 14AN AC = AM MB = 13AN NC = 故选：AD ．
三、填空题
13．设为的边的中点，，则________． E ABC A AC BE m AB n AC =+ m n +=【答案】
1
2-【分析】，对比系数即可得到答案.
12
BE BA AE AB AC =+=-+ 【详解】由已知，，所以，.
12BE BA AE AB AC =+=-+ 1
1,2m n =-=12m n +=-故答案为：
1
2
-
【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
14．命题:，的否定为真命题，则实数a 的最大值为__________.
[1,4]x ∃∈()22
4140x a a x ---+<【答案】5
【详解】由特称命题的否定可知： ，的否定为
[1,4]x ∃∈()22
4140x a a x ---+<，且为真命题.
[]()221,4,4140x x a a x ∀∈---+≥分离参数化简得：恒成立. []()22
4
411,4x a a x x
+--≤∈
对，当且仅当时取得最小值4，
[]2441,4,4x x x x x
+∀∈=+≥=2x =即，∴a 的最大值为5
[]2
4141,5a a a --≤∴∈-故答案为：5
15．已知A ，B (1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
37(,)22AB (,)22ππ
-【答案】
或
6
π
2
π
-
【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合特殊角的正弦值、余弦值进行求解即可.
【详解】解析　由题意知＝＝(sin α，cos β)，
AB 11
(,22-∴sin α＝－，cos β＝， 1
21
2又∵α，β∈， (,22
ππ
-∴α＝，β＝
或－，
6
π-
3
π
3
π
∴α＋β＝
或－
.
6
π
2
π故答案为：
或
6
π
2
π
-
16．给出下列命题：
（1）设角的始边为轴非负半轴，则“角的终边在第二､三象限”是“”的充要条件；
αx αcos 0α<（2）若函数：的最小正周期为；那么实数；
2sin 13y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭2π4ω=（3）若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为：； 21
sin 1
（4）若，，为的三个内角，则：的最小值为：； A B C ABC A 41
A B C ++9π
其中正确的命题是______. 【答案】（3）（4）
【解析】利用象限角的定义以及三角函数在各个象限符号的判定分析选项(1)，利用三角函数的周期公式分析选项(2)，利用扇形的弧长公式以及面积公式分析选项(3)，利用三角形的内角和公式，再运用换元法结合基本不等式求最值分析选项(4)，即可得到答案.
角，所以;若，则角的终边在第二、三象限或者在x 轴的非正半轴上，故“角cos 0α<cos 0α<αα的终边在第二、三象限”是”的充分不必要条件，故(1)错误；
cos 0α<因为函数：的最小正周期为；则，解得实数；故（2）错
2sin 13y x πω⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭2π2||2ππω=4ω=±误；
因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，所以扇形的半径为：，弧长为1
sin1
r =，所以此扇形的面积为，故（3）正确； 12
2sin1sin1⨯
=212112sin1sin1sin 1
⨯⨯=因为，，为的三个内角，所以，令则，有
A B C ABC A A B C π++=,,a A B C β==+a βπ+=，所以
1αβπ
+=414141(141(A B C αβαβαβαβπ++=+⨯=⋅+++=
当且仅当，即时取等号，故(4)正确.
1419
(5)5),αβπβ
α
π
π
=
++≥⋅=4αββα
=2a β=故答案为：（3）（4）．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、解答题
17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点
.设，. 11,33AF AD BG BC ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
AB a =AD b =
(1)用，表示，.
a b EF EG
(2)如果，EF ，EG 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
3||||2
b a =
【答案】(1)；
1132EF b a =- 1123EG a b =+
【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解；
（2）证明即可判断EF ⊥EG .
0EF EG ⋅=
【详解】（1）；
11113232
EF AF AE AD AB b a =-=-=-
.
1111122323
EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+ （2）. ⊥EF EG 证明如下：
由（1）知，，，
1132EF b a =- 1132
EG b a =+
.
2222
11111119103
23294944EF EG b a b a b a a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，.
EF EG ∴⊥
EF EG ∴⊥18．已知，为两个不共线向量，，，，.
a b 2a = 1b = 2c a b =- d a kb =+
（1）若，求实数；
//c d
k （2）若，且，求与的夹角.
7k =-c d ⊥ a b
【答案】（1）（2）
12
k =-3π
θ=【详解】分析：（1）向量，则存在实数使得，由此可得的方程组，从而解得//c d
λc d λ= ,k λk
；
（2）由求得．
0c d ⋅=
a b ⋅ 详解：（1）∵，∴，∴，
//c d c d λ= ()
2a b a kb λ-=+ . 21
12k k λλ=⎧⇒=-⎨
-=⎩
（2）∵，∴，又∵， 7k =-7d a b =- c d ⊥ ∴，∴，
()()
270a b a b --= 2221570a a b b -⋅+= 又∵，，∴，∴.
2a = 1b = 1a b ⋅=
1cos 2a b a b θ⋅==
又∵，∴.
[]0,θπ∈3
π
θ=
点睛：本题考查向量的平行与垂直，解题关键是掌握它们成立的条件．向量（）存
//c d 0d ≠
⇔在实数使得，向量．
λc d λ=
c d ⊥ ⇔0c d ⋅=
(1)若，且，求的值；
12b e e =- a b ⊥ t (2)求的最小值．
||a 【答案】(1)
1t =
【分析】（1）由题知，再根据，结合向量数量积的运算律求解即可； 1212
e e ⋅= 0a b ⋅= （2）根据向量模的计算公式得，再结合二次式求最值即可.
()222212||1a a e te t t ==+=++ 【详解】（1）解：由向量，是夹角为60°的单位向量，可得，．
1e 2e 11e = 21e = 所以，． 12121cos 602
e e e e ︒⋅== 因为，
a b ⊥ 所以，即，解得． 0a b ⋅= ()()121211022
t a b e te e e t ⋅=+⋅-=-+-= 1t =所以
1t =（2）解：∵，
()222212||1a a e te t t ==+=++
∴，∴，当且仅当时等号成立， 2
2133||244a t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ ||a ≥ 12t =-
∴||a 20．已知函数的图象经过点. 21()21
x x a f x ⋅-=+11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求的值；
a （2）求函数的定义域和值域；
()f x （3）证明：函数是奇函数.
()f x 【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；（3）证明见解析. ()f x R ()1,1-【分析】（1）将点代入即可解得的值； 11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭21()21
x x a f x ⋅-=+a （2）由（1）知，函数，定义域为，分离常数后可求值域. ()2121
x x f x -=+R （3）求出，判断即可.
()f x -()()f x f x -=-【详解】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得. ()f x ()f x ()211133
a f -=
=1a =
（2）由（1）知，函数，∵，，即的定义域为. ()2121
x x f x -=+20x >211x +>()f x R 因为， ()21212121
x x x f x -==-++又∵，∴，所以的值域为． ()20,x ∈+∞()20,221
x ∈+()f x ()1,1-（3）∵的定义域为，且，所以是奇函数． ()f x R ()()21122112x x
x x
f x f x -----===-++()f x 【点睛】本题主要考查了函数的定义域和值域，以及函数的奇偶性的判断，属于基础题. 21．中华人民共和国第十四届运动会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布.某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为元时，销售量可达到万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价x ()150.1x -格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
（2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
【答案】（1）总利润为240万元；（2）每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套利润最大，最大值80元.
【解析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）求出单套的利润的表达式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为(万套)，
150.11005-⨯=供货单价为(元)， 1050525
+=总利润为(万元).
()510052240⨯-=答：总利润为240万元；
（2）销售量为，供货单价为， 150.1x -1050150.1x
+-
单套利润为，因为，所以 101005050150.1150
x x x x --
=-+--150.10x ->0150x <<所以单套利润为： ()
1001005015010010080150150y x x x x ⎡⎤=--=--++≤-=⎢⎥--⎣⎦
当且仅当，即时取等
15010x -=140x =所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.
22．已知函数.
()2sin f x x =（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;
()f x （Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围. 2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,t R ∈()22mt mt f x -+≥m 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 2,T π=3[2,2),(2,2]().4444
k k k k k ππππππππ-+-+-++∈Z 0 4.m ≤≤【详解】试题分析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，．（2）多个变
{|,}4x x k k Z π
π≠-+∈量恒成立问题，先把x 作变量，求出，，转化为关于t 的不等式恒成max ()f x 22mt mt -+≥max ()f x 立问题，对系数t 分类讨论． 试题解析：（Ⅰ）因为 222,1
T π
ππω===函数的定义域为 ()f x {|,}4x x k k Z ππ≠-
+∈
2224k x k π
π
ππ-+≤+<, 322,44
k x k ππππ-+≤<-+ 22,42k x k ππππ<+
≤+
22,44k x k π
π
ππ-+<≤+ ()32,2,2,2.4444k k k k k Z ππππππππ⎡⎫⎛⎤-+-+-++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦所以的递增区间为 ()f x 2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（Ⅱ）因为,
221mt mt -+≥所以当时,
2x π
=()max 1,f x =所以恒成立,
210mt mt -+≥即恒成立,
240m m ∆=-≤
①当时,
0m =显然成立;
②当时,
0m ≠若对于恒成立,
t R ∈只需成立,
0 4.m ≤≤所以,
04m <≤
综上,的取值范围是 m c 1==【点睛】对于函数化简一定要注意定义域是化简前的定义域，也就是函数做题是先求定义域，再求解．这是学生容易忽略的问题．
对于多个变量的恒成立问题，一般我们先把一个当变量，其余当参量，逐步减少变量个数．。