高中数学 1.3.2函数的奇偶性精讲精析 新人教A版必修1

课题：1.3.2函数的奇偶性
学习目标展示
1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；
2. 会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；
3. 以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性； 衔接性知识
1. 画出下列函数的图象
（1）()(0)f x kx k =≠ (2)()(0)k
f x x x
=
≠ （3）()||f x x = （4）2()f x x = (5) 2()2f x x x =-+
2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？
基础知识工具箱
典例精讲剖析
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1)3
1
()f x x x
=
+
；(2)2
()1f x x =+；(3)()|1||1|f x x x =++-；(4)()21f x x =+；
(5)()f x 6）()f x 2()(1)2f x x x =+-
（8）()f x =
解：（1）由已知，得0x ≠，()f x ∴的定义域为(,0)
(0,)
-∞+∞ 3311()()()f x x x f x x x -=-+
=--=--，31
()f x x x
∴=+是奇函数 （2）()f x 的定义域为R ，
22()()11()f x x x f x -=-+=+=，2()1f x x ∴=+是偶函数
（3）()f x 的定义域为R ，
()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()|1||1|f x x x ∴=++-是偶函数
（4）()f x 的定义域为R ，
(1)2113f =⨯+=，(1)2(1)11f -=⨯-+=
-，(1)(1)
f f ∴-≠，且(1)(1)f f -≠- ()21f x x ∴=+为非奇非偶函数
（5）由10
10
x x -≥⎧⎨
-≥⎩，得1x =，所以()f x 的定义域为{|1}x x =，定义域不关于原点对
称，()f x ∴
（6）由22
10
110
x x x ⎧-≥⎪⇔=±⎨-≥⎪⎩，()f x 的定义域为{|1}x x =±，定义域关于原点对称
()0f x ∴=，()0f x -=()()f x f x ∴-=-，且()()f x f x -=
所以()f x
（7）()f x 的定义域为R ，22()(1)21f x x x x =+-=+
22()()11()f x x x f x -=-+=+=，2()(1)2f x x x ∴=+-是偶函数
（8）由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x 2
≥0
|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，
定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2
x ＋2－2＝1－x 2
x ，
∵f (－x )＝1－(－x )2
－x ＝－1－x
2
x
＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
例2. 已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且当0x >时，2
()23f x x x =-+.试
求()f x 在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 解： ∵函数()f x 的图象关于原点对称． ∴()f x 为奇函数，则(0)0f =，
设0x <，则0x ->，∵0x >时，2
()23f x x x =-+， ∴2
2()()[()2()3]23f x f x x x x x =--=----+=---
于是有：2223(0)()0
(0)23(0)
x x x f x x x x x ⎧-+>⎪
==⎨⎪---
>⎩
先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性 画出y 轴左边的图象．如下图．
由图象可知
()f x 的单调递增区间是(,1]-∞-、[1,)+∞∞)，单调递减区间是[1,0)-、(0,1]．
例3. 如果奇函数f (x )在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么
f (x )在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f (x )在[－6，－1]上的最大值和最小值
解：设1261x x -≤<≤-，则2116x x ≤-<-≤，
∵()f x 在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4， ∴214(1)()()(6)10f f x f x f =≤-<-≤=， 又∵()f x 为奇函数，∴214()()10f x f x ≤-<-≤， ∴1210()()4f x f x -≤<≤-，
即()f x 在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.
例4. (1)如图①是奇函数()y f x =的部分图象，则(4)(2)f f -⋅-＝ . (2)如图②是偶函数()y f x =的部分图象，比较(1)f 与(3)f 的大小的结果为 ．
解：(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数()f x 图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴(4)(2)f f -⋅-＝(－2)×(－1)＝ 2 .
(2)∵偶函数()f x 满足(3)(1)f f ->-，∴(3)(1)f f >．
精练部分
A 类试题（普通班用）
1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝－x 2
＋1 C ．y ＝|x |＋1
D ．y ＝2
－|x |
[答案] C
[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C 2. 若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ [答案] －1
[解析] 解法1：f (x )＝x 2
＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.
解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，
即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1 3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋x (x >0)
x 2
＋x (x ≤0)；(2)f (x )＝
1
x 2
＋x
. [解析] (1)f (－x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x (x ≥0)
－x 2
－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(2)f (－x )＝
1
x 2
－x
≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数． 4．函数f (x )＝
ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且12
()25
f =，求函数f (x )的解析式． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又12
()25f =，所以1
2a 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2
5．已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．
[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2
＋2，
∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2
＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2
＋2. 当x <0时，－x >0，
f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，
∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2
－2，
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2(x －1)2
＋2 (x ≥0)
2(x ＋1)2
－2 (x <0)，
其图象如图所示．
B 类试题（3+3+4）（尖子班用） 1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③
[答案] D
[解析] f (x )＝1
x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，
其图象与y 轴不相交，故③错．
2．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝－x 2
＋1 C ．y ＝|x |＋1
D ．y ＝2－|x |
[答案] C
[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.
3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13的x 取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23
[答案] A
[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <2
3，∴选A.
4. 若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ [答案] －1
[解析] 解法1：f (x )＝x 2
＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.
解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，
即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1
5. 已知f (x )＝x 7＋ax 5
＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝ [答案] －15
[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7
＋a (－3)5
＋(－3)b －5＝－(37
＋a ·35
＋3b －5)－10＝－
f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.
解法2：设g (x )＝x 7
＋ax 5
＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5， ∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.
6. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2
＋x －2，则f (x )＝ ，
g (x ) ＝ ．
[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2
－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2
－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2
＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2
－2，g (x )＝x . 7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋x (x >0)x 2
＋x (x ≤0)
；(2)f (x )＝
1
x 2
＋x
. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－x (x ≥0)－x 2
－x (x <0)
，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(2)f (－x )＝
1
x 2－x
≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数． 8．函数f (x )＝
ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且12
()25
f =，求函数f (x )的解析式． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又12
()25f =，所以1
2a 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2
9．已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，
b ]上是增函数还是减函数？
[解析]设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数． ∴f (－x 2)＜f (－x 1)
又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1) ，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数
10．已知f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．
[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2
＋2，
∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2
＋2. 当x <0时，－x >0，
f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，
∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2
－2，
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2(x －1)2
＋2 (x ≥0)
2(x ＋1)2
－2 (x <0)，
其图象如图所示．。