系列高考数学一轮复习讲义课件选修4-1几何证明共51张

∴BGGF＝GGHC，即 BG·GC＝GF·GH. 又 ∵DG2＝ BG·GC(射影定理 )， ∴ DG2＝ GF·GH.
变式迁移 2 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD ＝3，则 AC 的长为________．
答案
2 13 3
解析 如图所示，由射影定理得 CD2＝AD·BD，∵CD＝2，BD
AHA－HMH，
∴x4＝
3－ 23x 3
＝2－2 x，解得
x＝43.
题型二 射影定理
例 2.如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的 直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝∠BCF.
求证：GD2＝GF·GH.
证明 ∵CE⊥AB， ∴∠H＋∠HFE＝90°. 又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG， ∴∠BCF＋∠CFG＝90°. ∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.
(9)圆的切线 ①直线与圆的位置关系 当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交； 当直线与圆只有 1 个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点； 当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． ②切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切 线垂直的直线过圆心． (10)弦切角定理 ①弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等．
＝3，∴AD＝43，得 AB＝AD＋BD＝133.
又 AC2＝AD·AB＝43·133，
∴AC＝2
13 3.
题型三 相似三角形的判定定理的应用 例 3.如图所示，AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线，O 为 EF 的中点．
求证：
＝AB2
2.
分析
等于△ABO 与△ACO 的面积之比(高相等)，
考点串串讲
1．平行截割定理常用结论 (1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． (2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得 的对应线段成比例． (4)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在 运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在 三角形与四边形中的灵活应用．
(2)对于相似三角形需注意以下几点 ① 相 似 三 角 形 的 传 递 性 ： 如 果 △ABC∽△A1B1C1 ， △A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2. ②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交， 所构成的三角形与原三角形相似．
③直角三角形相似的判定定理：
(简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)； (ⅲ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三
角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简述为：三边对 应成比例，两三角形相似)．
②相似三角形的性质定理： (ⅰ)相似三角形的对应角相等． (ⅱ)相似三角形的对应边成比例． (ⅲ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 都等于相似比； (ⅳ)相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都 等于相似比； (ⅴ)相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．
∠B＝∠ACD，可得△ABC∽△ACD∽△CBD.
于是SS△ △AACBCD＝AACB22 ①，
S△ S△
CABBCD＝ABBC22
②，
①和②两边相加，得
AC2A＋B2BC2＝S△
ACD＋ S△CBD＝ S△ABC
1，
所以 AC2＋BC2＝AB2.
点评 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于 相似比，面积的比等于相似比的平方.
证明 如图所示，连结 OC，所以∠OAC＝∠OCA.
又因为 CA 是∠BAF 的角平分线， 所以∠OAC＝∠FAC. 所以∠FAC＝∠OCA.所以 OC∥AD. 因为 CD⊥AD，所以 CD⊥OC，即 CD 是⊙O 的切线． (2)连结 BC，则在 Rt△ACB 中，CM2＝AM·MB. 因为 CD 是⊙O 的切线， 所以 CD2＝DF·DA. 又 Rt△AMC≌Rt△ADC，所以 CM＝CD， 所以 AM·MB＝DF·DA.
题型五 圆的切线 例 5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，C，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点， 作 CM⊥AB，垂足为点 M. (1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)求证：AM·MB＝DF·DA.
分析 证明圆的切线可以借助切线的判定定理．
(1)AD·BC＝BE·AC； (2)AH·HD＝BH·HE.
证明 (1)在 Rt△ADC 和 Rt△BEC 中，∠C 为公共角． ∴Rt△ADC∽Rt△BEC，
∴ABDE＝ABCC， ∴AD·BC＝BE·AC. (2)在 Rt△BHD 和 Rt△AHE 中， ∵∠BHD＝∠AHE， ∴Rt△BHD∽Rt△AHE，
自然想到证明△ABO∽△ACO.
证明 ∵AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线，
∴AE⊥ AF，
又∵O 为 EF 的中点，
∴∠OEA＝∠OAE.
∵∠ OAE＝∠ CAE＋ ∠OAC， ∠OEA＝ ∠B＋ ∠BAE，
而∠BAE＝ ∠CAE， ∴∠OAC＝ ∠B.
∵∠AOB 为公共角，∴△OAC∽△OBA.
典例对对碰 题型一 平行截割定理 例 1.如图所示，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中 点，AE 交 BC 于 F，则FBCF的值为________．
解析 过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M.
∵点 E 是 BD 的中点，∴在△BDM 中，BF＝FM，∵点 D 是
AC 的中点，
4．几何证明中的思想方法 (1)分类思想方法 所谓分类思想方法．就是依据一定的标准，按照既不重复也不 遗漏的原则，将所要研究的对象划分为若干类别，然后通过对每一 类别的研究去达到对事物整体研究的目的．例如，按角的关系分类， 可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，每种类 型的三角形有自身的一些特性，如果不作分类讨论，那么就很难找 出这些特性．另一方面，对一些问题的讨论，必须通过分类才能穷 尽各个方面，使得到的结论具有一般性．要结合圆周角定理、四点 共圆判定定理和弦切角定理的证明，认真对分类思想方法加以体会．
(ⅰ)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角 形相似．
(ⅱ)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．圆的有关性质结论 (1)圆内接四边形的性质定理与判定定理： ①圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的 内角的对角． ②如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共 圆； ③如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边 形的四个顶点共圆． (2)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长 的积相等． (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线 与圆的交点的两条线段长的积相等． (4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
∴在△CAF 中，CM＝MF，∴FBCF＝FMB＋FMC＝12.
答案
1 2
变式迁移 1 如 图 所 示 ， 等边 △DEF 内 接 于△ABC， 且 DE∥BC， 已 知 AH⊥BC 于点 H，BC＝4，AH＝ 3，则△DEF 的边长为________．
答案
4 3Βιβλιοθήκη 解析 如图所示，设 DE＝x，AH 交 DE 于 M，则DBCE＝AAMH ＝
∴ABHH＝HHDE. ∴AH·HD＝BH·HE.
题型四 相似三角形的性质定理 例 4.已知：Rt△ABC，∠C＝90°，求证：AC2＋BC2＝AB2. 分析 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，从而得出 线段的比例关系，进而得到勾股定理．
证明 如图所示，设 CD 是斜边 AB 上的高，由∠A＝∠BCD，
(2)运动变化思想 运动变化思想具体体现为图形的运动变化．几何中的许多问题 源于相同的模型，尽管图形中某些要素的位置关系有差异，但其本 质是相同的．要结合相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长 定理之间的关系领悟运动变化思想在数学探究中的作用． (3)猜想与证明 数学中的许多定理都是先对一定的典型事例进行观察、实验、 类比和归纳后，发现一定的规律性，并提出一个猜想，然后再对猜 想进行严格的证明得来的．猜想和证明既是数学研究的常用方法， 同时又是训练思维的重要工具.
变式迁移 4 如图所示，已知在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 AD＝AC， DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.
(1)求证：△ABC∽△FCD； (2)若 S△FCD＝5，BC＝10，求 DE 的长．
解析 (1)证明：∵DE⊥BC，D 是 BC 的中点， ∴EB＝EC， ∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB. ∴△ABC∽△FCD.
(2)过点 A 作 AM⊥BC，垂足为点 M. ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴SS△ △AFCBDC＝BCCD2，又∵S△FCD＝5， ∴S△ABC＝20. ∵S△ABC＝12BC·AM，BC＝10，∴20＝12×10×AM， ∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴ADME ＝BBMD ， ∵DM＝12DC＝52，BM＝BD＋DM， BD＝12BC＝5， ∴D4E＝5＋5 52，∴DE＝83.
点评 判断圆的切线除了用切线的判定定理外，还可以利用圆 心到直线的距离等于半径.
变式迁移 5 如图所示，已知：AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于 D，过圆心 O 作 AD 的平行线交 ED 于 C.求证：CB 是⊙O 的切线．
证明 如图所示，连结 BD，交 OC 于 F，连结 OD.由于 AB 是 ⊙O 的直径，所以 AD⊥BD.
又因为 AD∥OC， 所以 BD⊥OC. 又因为 OA＝OB， 所以 DF＝FB. 所以△DFC≌△BFC， 所以∠DCO＝∠BCO. 又因为 OD＝OB，OC＝OC. 所以△CDO≌△CBO， 所以∠OBC＝∠ODC＝90°， 即 OB⊥CB，所以 CB 是⊙O 的切线.
题型六 圆的切割定理 例 6.已知：如图所示，⊙O 和⊙O′相交于 A、B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D.
∴S△OBA △OAC＝AB2
2.
又∵△OAB 与△OCA 有一个公共边 OA.
∴S△OBA ∴
△OAC＝ ＝ AB2
， 2.
点评 利用三角形相似的判定定理来证明三角形相似，然后由
面积比等于相似比的平方这一性质来解题．所以并非见到内外角平
分线，就用角平分线定理.
变式迁移 3 如图所示，已知 AD、BE 分别是△ABC 中 BC 边和 AC 边上的 高，H 是 AD、BE 的交点，求证：
求证：AB 是 BC 和 BD 的比例中项． 分析 要证 AB2＝BC·BD.即ABBC＝BADB，即证△ACB∽△DAB.
证明 因为 AC、AD 分别是两圆的切线， 所以∠C＝∠2，∠1＝∠D， 所以△ACB∽△DAB.
所以BABC＝ABBD， 所以 AB2＝BC·BD， 所以 AB 是 BC 和 BD 的比例中项． 点评 在证明线段比例关系时，要找出线段所在的三角形， 通 过三角形相似解题．如果线段不在两个三角形中时，考虑圆的相交 弦定理或切割线定理，通过转化思想得到问题答案 .
(5)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
(6)圆弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周 角所对的弧也相等．
(7)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 直径．
(8)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直 于切线的直线必经过圆心．
2．相似三角形 (1)相似三角形的判定与性质 ①相似三角形的判定定理：
(ⅰ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简述为：两角对应 相等，两三角形相似)；
(ⅱ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两条边和另一个三 角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似