山东省临沂市经济开发区2016-2017学年八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年山东省临沂市经济开发区八年级（下）期中数学
试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x=0 B．x≥0 C．x＞﹣4 D．x≥﹣4
2．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cm B．cm，cm，cm C．1cm，2cm，cm D．2cm，3cm，4cm
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A．2B．C．D．
4．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍
5．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）
A．20 B．15 C．10 D．5
6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
7．已知y=，则的值为（）
A．B．﹣ C．D．﹣
8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE
10．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）
A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2
11．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）
A．6 B．8 C．12 D．10
12．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
13．在实数范围内因式分解：3m2﹣6=．
14．如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=60m，BC=84m，AE=100m，则这条小路的面积是m2．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．
16．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长．
17．如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=AC，则∠E=度．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．
19．如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm．
20．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n=．
三、解答题（本大题共60分）
21．已知x=2﹣，y=2+，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
22．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
23．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE与DE交于点E，请探索DC与OE的位置关系，并说明理由．
24．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．
25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
26．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线
上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
2016-2017学年山东省临沂市经济开发区八年级（下）期
中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x=0 B．x≥0 C．x＞﹣4 D．x≥﹣4
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x+4≥0，解得x≥﹣4．
故选D．
2．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cm B．cm，cm，cm C．1cm，2cm，cm D．2cm，3cm，4cm
【考点】KS：勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形；
B、∵2+2≠2，∴不能构成直角三角形；
C、∵12+2=22，∴能构成直角三角形；
D、∵22+32=≠42，∴不能构成直角三角形．
故选C．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A．2B．C．D．
【考点】74：最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、2是最简二次根式，故本选项正确；
B、=，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；
D、=x，故本选项错误．
故选A．
4．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍
【考点】KQ：勾股定理．
【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
【解答】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
故选A．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）
A．20 B．15 C．10 D．5
【考点】L8：菱形的性质；KM：等边三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=5
故选D．
6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=AM=1.2km．
故选D．
7
．已知y=，则的值为（）
A．B．﹣ C．D．﹣
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，计算即可．
【解答】解：由题意得，4﹣x≥0，x﹣4≥0，
解得x=4，
则y=3，
则=，
故选：C．
8．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】L5：平行四边形的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；N2：作图—基本作图．
【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性
质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO===4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE
【考点】LC：矩形的判定；L5：平行四边形的性质．
【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．
故选B．
10．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）
A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．
【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；
第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；
第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；
…
∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；
故选：C．
11．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）
A．6 B．8 C．12 D．10
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM==10，
∴DN+MN的最小值是10．
故选D．
12．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】KQ：勾股定理．
【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
【解答】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
综上，可得
面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选：D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
13．在实数范围内因式分解：3m2﹣6=3（m+）（m﹣）．
【考点】58：实数范围内分解因式．
【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：3m2﹣6=3（m2﹣2）=3（m+）（m﹣）．
故答案为：3（m+）（m﹣）．
14．如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=60m，BC=84m，AE=100m，则这条小路的面积是240m2．
【考点】LB：矩形的性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】ABCD是矩形，则AF∥EC，又AF=CE，进而可判断四边形AECF的形状，继而面积可以利用底边长乘以高进行计算．
【解答】解：在矩形ABCD中，AF∥EC，
又AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
在Rt△ABE中，AB=60，AE=100，
根据勾股定理得BE=80，
∴EC=BC﹣BE=4，
所以这条小路的面积S=EC•AB=4×60=240（m2）．
故答案为：240．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：AB=BC或AC⊥BD等，可使它成为菱形．
【考点】L9：菱形的判定．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=BC或AC⊥BD等．
16．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长14和4．
【考点】KQ：勾股定理．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD ﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，
∵在Rt△ACD中AC=13，AD=12，
∴CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，
∴CD=5，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，
∴CD=9，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，
∴CD=5，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，
∴BD=9，
∴BC的长为DB﹣BC=9﹣5=4．
故答案为14或4．
17．如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=AC，则∠E=22.5度．
【考点】LE：正方形的性质．
【分析】连接BD，根据等边对等角及正方形的性质即可求得∠E的度数．
【解答】解：连接BD，则BD=AC
∵BE=AC
∴BE=BD
∴∠E=°=22.5°
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=3．
【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．
【解答】解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
19．如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是10cm．
【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题．
【分析】要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，
其中AC=6cm，BC=8cm，
在Rt△ABC中，AB==10cm．
故答案为：10．
20．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n=﹣．
【考点】76：分母有理化．
【分析】首先根据题意，可得：a1+a2+a3+…+a n=，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
…
a1+a2+a3+…+a n
=
=
=﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共60分）
21．已知x=2﹣，y=2+，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【考点】7A：二次根式的化简求值．
【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2=（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）根据已知条件先计算出x+y=4，x﹣y=﹣2，再利用平方差公式得到x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵x=2﹣，y=2+，
∴x+y=4，
∴x2+2xy+y2=（x+y）2=42=16；
（2））∵x=2﹣，y=2+，
∴x+y=4，x﹣y=﹣2，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
=4×（﹣2）
=﹣8．
22．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
【考点】KU：勾股定理的应用．
【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1﹣CB即可求得BB1的长度．
【解答】解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，
则AC==2.4m，
∵AC=AA1+CA1
∴CA1=2m，
∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1==1.5m，
∴BB1=CB1﹣CB=1.5﹣0.7=0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
23．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE与DE交于点E，请探索DC与OE的位置关系，并说明理由．
【考点】LA：菱形的判定与性质；LB：矩形的性质．
【分析】DC⊥OE，先证明四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质得出OC=OD，证出四边形OCED是菱形，得出对角线互相垂直即可．
【解答】解：OE⊥DC，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC，OD=BD，AC=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OE⊥DC．
24．如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2=AE2+BE2．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB DC，
∴CE D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；（3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
【考点】KQ：勾股定理．
【分析】（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【解答】
解：（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；
（2）如图2的三角形的边长分别为2，，；
（3）如图3，连接AC，CD，
则AD=BD=CD==，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=BC==，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
26．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
2017年5月30日。