真题——文科数学(山东卷)含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
本试卷分第Ｉ卷和第II卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:
１.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

２.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

３.第II卷必须用0。

5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。

４.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：
如果事件A，B互斥，那么()()()
+=+
P A B P A P B
第Ｉ卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位。

若a i +＝2bi -，则2
()a bi +=
(A ）
34i -
(B)
34i + （C) 43i - (D ） 43i +
（2） 设集合2
{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =
(A)
(0,2]
(B) (1,2) (C ） [1,2) (D ） (1,4)
（3）
函数()f x =
(A ）
(0,2)
（B) (0,2]
（C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞
（4） 用反证法证明命题:“设,a b 为实数,则方程3
0x ax b ++=至少有一个
实根"时，要做的假设是 (A) 方程3
0x ax b ++=没有实根 （B ） 方程3
0x
ax b ++=至多有一个
实根
（C ） 方程3
0x ax b ++=至多有两个实根 （D ） 方程3
0x
ax b ++=恰好
有两个实根
(5) 已知实数,x y 满足(01)x
y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是
（A) 33x y >
(B ）
sin sin x y >
（C)
22ln(1)ln(1)x y +>+
(D)
22
11
11
x y >++ (6） 已知函数log
()(,0,1)a
y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结
论成立的是
（A) 0,1a c >> （B)
1,01a c >
<< （C ） 01,1a c <<>
(D ）
01,01a c <<<<
(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =
（A)
（B) (C) 0 （D ）
（8) 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为
[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一
组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
kPa
(A) 6 （B ） 8 （C) 12 （D ） 18
（9) 对于函数()f x ,若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 （A ）
()f x = (B ）
3()f x x =
(C ）
()tan f x x = （D) ()cos(1)f x x =+
（10） 已知,x y 满足约束条件10,
230,
x y x y --≤⎧⎨
--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在
该约束条件下取到最小值2
2a b +的最小值为 (A) 5 (B) 4 （C ）
(D ） 2
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11) 执行右面的程序框图,若输入的x 的值为1，
则输出的n 的值为 . (12)
函数22cos y x x =+的最小正周期为 .
（13）
一个六棱锥的体积为边长
为2的正六边形,侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。

（14）圆心在直线20
x y
-=上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所
得弦的长为C的标准方程为。

(15) 已知双曲线22
221(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的焦距为2c，右顶点为A,抛物线
22(0)
x py p
=>的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且||FA c=，则双曲线的渐近线方程为。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
（Ｉ）求这6
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。

(17) （本小题满分12分）
ABC ∆中，角A ，B,C 所对的边分别为,,a b c 。

已知3,cos 2
a A B A π==
=+. （Ｉ）求b 的值； (II ）求ABC ∆的面积. (18)（本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，
1
,,,,2
AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段
,AD PC 的中点。

（Ｉ）求证：AP BEF ∥平面； (II ）求证：BE PAC ⊥平面。

(19) （本小题满分12分）
在等差数列{}n
a 中,已知公差2d =,2
a 是1
a 与4
a 的等比中项。

（Ｉ）求数列{}n
a 的通项公式；
（II ）设(1)2
n
n n b
a +=，记1234(1)n n n T
b b b b b =-+-+-+-…，求n T .
(20) (本小题满分13分）
设函数1()ln 1
x f x a x x -=++ ，其中a 为常数。

(Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）讨论函数()f x 的单调性。

（21）(本小题满分14分）
A F
C
D
B
P
E
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
y x =被椭圆C 截得的线段长为
5
. (Ｉ）求椭圆C 的方程；
（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A,B 两点（A,B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上,且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点。

(i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为1
2
,k k ，证明存在常数λ使得
12k k λ=，并求出λ的值;
（ii ）求OMN ∆面积的最大值。

2014年普通高等学校招生考试(山东卷）
文科数学试题参考答案
一、
选择题
（1）A （2)C （3） C （4）A （5)A （6)D （7）B (8）C （9）D (10)B
二、填空题
(11）3 （12）π （13)12 （14）（x —2）2+(y-1)2=4 (15）y=±x
三、解答题
（16)
解：（Ⅰ）因为样本容量与总体中的个体数的比是错误!=错误!,
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×错误!=1, 150×错误!=3，100×错误!=2。

所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2
（Ⅱ）设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3;C1，C2,
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1｝，｛A，B2},{A,B3｝,{A,C1｝，｛A，C2｝，
{B1,B2}，｛B1，B3｝，｛B1,C1},{B1，C2},{B2，B3｝,
｛B2,C1}，｛B2，C2}，{B3，C3}，｛B1,C2｝，｛C1，C2}，
每个样品被抽到的机会均等，因此这些事件的出现是等可能的，
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区"，
则事件D包含的基本事件有
｛B1，B2}，{B1，B3｝，｛B2，B3}，｛C1，C2｝，共4个，
所以P（D）=错误!,即这2件商品来自相同地区的概率为错误!.（17)
解：（I）在：△ABC中
由题意可知==
又因为B=A+
所以sinB=sin（A+）=cosA=
由正弦定理可知
b==3
(）由B=A+
CosB=cos（A+）=-sinA=
由A+B+C=π，得C=π—(A+B)
所以sinC=sin[π—（A+B）］=sin（A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=1/3
因此,△ABC的面积S=absinC=
（18)
证明：设AC
由于E为AD的中点,
所以AE//BC
因此四边形ACBE为菱形,
所以O为AC的中点
又F为PC的中点
因此在△PAC中,可得AP//OF
又OF属于平面BEF，AP不属于平面BEF 所以AP//平面BEF
所以四边形……
因此BE∥CD。

又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，
所以BE⊥AC。

又AP∩AC=A ,AP ，AC 包含于平面PAC ， 所以BE⊥平面PAC 。

(19）
解：（I ）由题意知()()d a a d a 31121+=+ 即()()621
1
2
1
+=+a a a
解得 21
=a
所以,数列{an}的通项公式为n a n
2=
(Ⅱ）由题意知 b n =)n(n a
)
n(n 12
1+=+
所以，Tn=)1()1(433221+⨯-++⨯-⨯+⨯-n n n
因为，)1(21
+=-+n b b
n n
可得，当n 为偶数时,
)()()(14321b b b b b b T
n n n
++++-++-=--
2
)2(2)24(221284+=
+=++++=n n n n
n
当n 为奇数时,
)
(1
n T
T n n
-+=-
2
)1()1(2
)1)(1(2
+=+-+-=n n n n n 所以,{
⎪⎩
⎪⎨⎧++-为偶数，为奇数，n 2)2(2)1(2n n n n 当a ≥0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增加；
当a 12
≤-时，函数f （x ）在（0，+∞)上单调递减； 当12
-＜a ＜0时， F （x)在（0，
(1)a a -+），
（(1)a a
-+-,+∞)上单调递减，
）上单调递增。

（20)
解：（1）由题意知
0a =时,1(x),(0,)1x f x x -=∈+∞+. 此时
'22(x)(x 1)f =+ 可得
'1(1),(1)02f f == 所以
(x)y f = 在 (1,(1))f 处的切线方程为 x 2y 10--= （2） 函数
(x)f 的定义域为(0,)+∞.
2'222(2a 2)a (x)(x 1)(x 1)a ax f x x +++=+=++ 当 '0,(x)0a f ≥≥ ，函数
(x)f 在(0,)+∞上单调递增 当
a 0<时，令2(x)ax (2a 2)x a g =+++ 由于
22(2a 2)44(2a 1)a ∆=+-=+ ①当1a 2=-时,
0∆=
2
'21(x 1)2(x)0(x 1)f x --=≤+，函数(x)f 在(0,)+∞上单调递减 ②1
2a <-时，0∆<，(x)0g <
'(x)0f <，函数(x)f 在(0,)+∞上单调递减 ③当1
02a -<<时,0∆>
设 1x 2x 12()x x <是函数(x)g 的两个零点
则1x =
,2x =
由10
x ==>
所以 1x (0,x )∈时，(x)0g <,'(x)0f <,函数(x)f 单调递减 12x (,x )x ∈ 时， (x)0g >，'(x)0f >函数(x)f 单调递增 2x (,)x ∈+∞时，(x)0g <，'(x)0f <函数(x)f 单调递减
（21）
解：
(I
,可得2
a =42
b ，
椭圆C 的方程可化简为224x y -=2a 将y=x 代入可得
x=
⨯
，可得a=2.
因此b=1,所以椭圆C 的方程式为2
4x +2y =1
（II)（i ）设A （1x ，1y )（1x 1y ≠0），D(2x ，2y ），则B
（-2x ，—2y ）,
因为直线AB 的斜率AB k =1
1
y x
又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率K=-1
1
y x
设直线AD 的方程为y=kx+m
由题意知 k ≠0，m ≠0
由2
214
x m
y y kx ⎧⎪⎨+==+⎪⎩ 可得(1+42k ）2x +8mkx+42m —4=0 所以1x +1y =-2814mk k
+， 因此1y +2y =k(1x +2x )+2m=2214m k
+ 所以12,112y y k x x +=+=-14k =114y x 所以,直线BD 的方程为1111(x x )4y y y x +=+ 令y=0,得x=31x ，即M(31x ，0）。

可得1
21
k 2y x =-， 所以，1212k k =-，即λ=12
- 因此，存在常数λ=12
-使得结论成立。

（2）直线BD 的方程1111x+x 4y y y x +=（）， 令x=0，得y=34-,即N （0，234y -） 由（1）知，M(31x ,0） 可得△OMN 的面积S=12⨯311113948x y x y ⨯= 因为
11x y ≤221114x y +=
，当且仅当1122x y ==时等号成立, 此时
S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98。