高中文科数学线性规划部分常见题型整理

高中文科数学线性规划部分常见题型整理
1．图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为 （ C ）
A ．20≤≤x
B ．⎩⎨
⎧≤≤≤≤1
020y x
C ．⎪⎩⎪⎨
⎧>
≤-+y
x y x 022
D ．⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥≥≤-+00022y x y x 3．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ D ）
A ．02300>+y x
B ．<+0023y x 0
C ．82300<+y x
D ．82300>+y x
一、求线性目标函数的取值范围
4.若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将
l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值
2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A
5.已知变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≤+-0
710
2y x x y x ，则x y 的取值范围是（ A ）
A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59
B.[]6,3
C.[)∞+⎥⎦⎤
⎝
⎛∞-,659,Y D.(][)∞+∞-,63,Y
二、求可行域的面积
7.不等式组260
302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为
（ ）A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大
解：如图作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯
形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B
8.已知R y x ∈,，则不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥0
2|||
1|x x y x y 表示的平面区域的面积是__45______.
9.不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域的面积是____，平面区域内的整点坐标 .
三、求可行域中整点个数
10.满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)
2(0,0)2
(0,0)
x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪
⎨
-+≤≥⎪⎪--≤⎩p p p p
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围
11.已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数
z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D
五、求非线性目标函数的最值
12.已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则
z=x 2
+y 2
的最大值和最小值分别是 （ ） A 、13，1 B 、13，2
C 、13，
4
5
D
、
解：如图，作出可行域,x 2
+y 2
是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2
=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为4
5
，选C
13.若变量x y 、满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为 （A ）
14.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为（ C ）
A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8
六、求约束条件中参数的取值范围
19.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值
范围是（ ）
A 、（-3,6）
B 、（0,6）
C 、（0,3）
D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230
230x y m x y m -++>⎧⎨
-+-<⎩
由右图可知33
30
m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C
七、线性规划的实际应用
20.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3
，第二种有56m 3
，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?
解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
05628.008.07209.018.0y x y x y x 而
z =6x +10y .
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且
与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩
⎨⎧=+=+5628.008.072
09.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:
应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.
18．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2
、3 m 2
，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，则A 、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？
（ A ）
A ．A 用3张，
B 用6张 B ．A 用4张，B 用5张
C ．A 用2张，B 用6张
D ．A 用3张，B 用5张。