第3章-频谱分析

周期信号分解为一系列虚指数函数的离散和或连续和。 利用
信号的正弦分解思想, 系统的响应则可表示为不同频率正弦分 量产生响应的叠加。
第3章 连续时间系统的频域分析
3.1.2 傅立叶级数 1. 周期信号的三角级数表示 在电子技术、 通信工程、 自动控制等领域, 除了正弦
信号外, 非正弦周期信号也经常遇到。 把非正弦周期信号分 解为傅立叶级数是法国科学家傅立叶所做出的巨大贡献。 1807年, 傅立叶以他惊人的洞察力大胆断言: 任何周期函数都 可以用收敛的正弦级数表示。 他的关于把信号分解为正弦分 量的思想对后来的自然科学等领域产生了巨大的影响。
【例 3-4】 画出图3-4所示矩形周期信号f(t)的双边频谱图
形。
第3章 连续时间系统的频域分析
解 由
Fn
1 T
T /2 f t ejn1t dt 1 2sinn π/ 4
T / 2
4 n π/ 4
得:
F0=0.25 F±1=0.225 F±2=0.159 F±3=0.075 F±4=0 F±5=－0.045 F±6=0.053 F±7=－…
12 e jn1t dt
0
2
j4n1
e
jn 2
1
1
jn
jn
e4
e
j
n 4
jn
e 4
2
jn
e4
sin
n
n
4
故f(t)展开为指数形式的傅立叶级数为
f
t
(
2
jn
e4
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
n
) e jn1t
n
4
第3章 连续时间系统的频域分析
3.2 周期信号的频谱及特点
1. 单边频谱 若周期信号f(t)的傅立叶级数展开式为
以正弦函数为基本信号分析工程上常用的周期和非周期信
号的一些基本特性, 以及信号在系统中的传输问题。 由于
sint 1 e jt ejt 2j
(3-2)
第3章 连续时间系统的频域分析
cost 1 ejt ejt 2
(3-3)
故也可把虚指数函数ejωt作为基本信号, 将任意周期信号和非
f(t)=f(－t)
第3章 连续时间系统的频域分析
则f(t)是偶函数, 其傅立叶级数展开式中只含有直流分量和余 弦分量, 没有正弦分量, 即
bn 0
an
4 T
T 0
/2
f
t
c
osn1tdt
(n=0, 1, 2, 3, …)
(2) 奇函数。 若周期信号f(t)波形相对于纵坐标轴是反对称 的, 即满足
第3章 连续时间系统的频域分析
a2≈0.32 a6≈0.106
a3=0.15
图 3-5 例3-3单边振幅频谱
第3章 连续时间系统的频域分析
2. 双边频谱 若周期信号f(t)的傅立叶级数展开式为
f t
Fn e jn1t
n
则|Fn|与nω所描述的振幅频谱以及Fn的相位θn与nω所描述的相 位频谱称为双边频谱。
a0 an cos n1t bn sin n1t n1
(3-4)
图 3-1 周期性非正弦信号
第3章 连续时间系统的频域分析
当周期信号f(t)满足狄里赫利条件:
(1) 在一周内连续或只有有限个第一类间断点。
(2) 一周内函数只有有限个极值点。
(3) 一周内函数是绝对可积的, 即
T
0
f tdt
周期信号是定义在(－∞, ∞)区间内, 每隔一定时间T按相 同规律重复变化的信号。
图3-1所示是实际的周期性非正弦信号, 它们一般表示为 f(t)=f(t+kT) (k=0, ±1, ±2, …)
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f t a0 a1 cos1t a2 cos21t a3 cos31t b1 sin 1t b2 sin 21t b3 sin 31t
t
a0
n1
an
2
jbn
e jn1t
an
2
jbn
e jn1t
(3-6)
令
Fjn1
1 2
an
jbn
(3-7)
第3章 连续时间系统的频域分析
由傅立叶系数可知an是n的偶函数, bn是n的奇函数, 则
F
jn1
1 2
an
jbn
将式(3-7)和式(3-8)代入式(3-6), 得
f t a0 F jn1 e jn1t F jn1 e jn1t
n1
令F(0)=a0, 并且
F jn1 e jn1t F jn1 e jn1t
n1
n1
式(3-9)又可写为
f t F jn1 e jn1t Fn e jn1t
(3-8) (3-9)
(3-10)
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式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式, 其中F(jnω1)为傅立叶系数, 简写为Fn, 又称为频谱函数。 由于 Fn为复数, 所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。
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4. 周期信号的有效频谱宽度
在周期信号的频谱分析中, 周期矩形脉冲信号的频谱具有
典型的意义, 得到了广泛应用。 下面以图3-7所示的周期矩形
脉冲信号为例, 进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的关系。
图3-7所示信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉冲幅度为E, 重复周期
为T, 重复角频率为ω=(2π/T)。
傅立叶系数Fn为
Fn
1 T
T
f
0
t e jn1t dt
(3-11)
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【例 3-2】 将图3-3所示的矩形脉冲信号f(t)展开为指数 形式的傅立叶级数。
图 3-3 例3-2图
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解 由式(3-11)可得
Fn
1 T
T
f
0
t e jn1t dt 1 4
f(t)=－f(－t) 则f(t)是奇函数, 其傅立叶级数展开式中只含有正弦分量, 没有余 弦分量, 即
an 0
bn
4 T
T/
f
0
2t
sin
n1tdt
(n=0, 1, 2, 3, …)
第3章 连续时间系统的频域分析
(3) 奇谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周 期后与原波形相对于时间轴镜像对称, 即满足
第3章 连续时间系统的频域分析
第3章 连续时间系统的频域分析
3.1 复指数函数的正交性与傅立叶级数 3.2 周期信号的频谱及特点 3.3 非周期信号的频谱 3.4 傅立叶变换的性质 3.5 线性非时变系统的频域分析
第3章 连续时间系统的频域分析
3.1 复指数函数的正交性与傅立叶级数
3.1.1 复指数函数的正交
所以f(t)的双边频谱如图3-6所示。
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图 3-6 例3-3双边频谱图形
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3. 周期信号频谱的特点 (1) 离散性。 谱线沿频率轴离散分布, 这种谱线称为离散 频谱或线谱。 (2) 谐波性。 各次谐波分量的频率都是基波频率ω=2π/T 的整数倍, 而且相邻谱线的间隔是均匀的, 即谱线在频率轴上 的位置是ω的整数倍。 (3) 收敛性。 指谱线幅度随n→∞而衰减到零。 因此这种 频谱具有收敛性或衰减性。
在通信系统中广泛应用正交信号的知识。 如果定义在(t1,
t2)区间的两个函数f1(t)和f2(t), 满足
t2
t1
f1tf2 t 0
则称f1(t)和f2(t)在区间(t1, t2)内正交。
(3-1)
三角函数集{1, cosω1t, cos2ω1t, …, cosmω1, …, sinω1t,
sin2ω1t, …, sinnω1t, …}在区间(t0, t0+T)组成正交函数集。
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由高等数学可知, 傅立叶系数为
a0
1 T
T 0
f tdt
an
2 T
T 0
f tcosn1tdt
bn
2 T
T 0
f tsin n1tdt
由此可以得出, 当f(t)给定后, a0、 an和bn就可以确定, 因而f(t)的 傅立叶级数展开式就可以写出。 由于
an cosnω1t+bn sinnω1t=An cos(nω1t+jn)
式中,
An
an2
bn2
,jn
arctan
bn an
, 故傅立叶级数又可以写为
f t a0 An cosn1t jn
(3-5)
n1
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【例 3-1】 如图3-2所示的周期矩形波, 求其傅立叶级数。
图 3-2 例3-1 图
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解 由于这里f(t)是奇函数, 故有
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3.1.3 傅立叶级数的指数形式及物理意义 三角函数形式的傅立叶级数含义比较明确, 但运算很不方
便, 因此经常采用指数形式的傅立叶级数。 将欧拉公式
代入式(3-5), 可得
sin n1t
1 2j
e jt e jt
cosn1t
1 2
e jt e jt
f
故 因此
a0
4 T
T / 2 f tdt 1
0
2
an
4 T
T 0
/2
f
t c osn1tdt
2
sinn
n
/
4
bn 0
f
t
a0
n1
an
cos
n1t
1 2
n1
2sinn π/
nπ
4
cos n1t
a0
1 2
an
2sinn π/ 4
nπ
即
a0=0.5
a1=0.45
a4=0
a5≈0.09
单边振幅频谱如图3-5所示。
f t f t T
2
则f(t)称为奇谐函数或半波对称函数。 这类函数的傅立叶级数 展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量, 不含偶次项。
(4) 偶谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期 后与原波形完全重叠, 即满足
f t f t T
2
则f(t)称为偶谐函数或半周期重叠函数。 这类函数的傅立叶级数 展开式中只含有正弦和余弦项的偶次谐波分量, 不含奇次项。
第3章 连续时间系统的频域分析
5. 周期信号的功率谱
周期信号f(t)的平均功率可定义在1 Ω电阻上消耗的平均 功率, 即
P 1 T / 2 f 2 tdt T T / 2
(3-13)
周期信号f(t)的平均功率可以用式(3-13)在时域进行计算, 也 可以在频域进行计算。 若f(t)的指数形式傅立叶级数展开式为
a0
1 T
T
f
t
dt
0
0
an
2 T
T / 2
f
T / 2
t
cosn1tdt 0
bn
2 T
T /2 T / 2
f
tsin n1tdt
4 T
T /2
A
0
sin
n1tdt
4A T
cos n1t n1
T 0
/
2
4A
n
(n 1,3,5,)
0 (n 2,4,6,)
所以, f(t)的傅立叶级数为
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f
t
4A π
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin 51t
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2. 周期信号的对称性与傅立叶系数的关系 要把已知周期信号f(t)展开为傅立叶级数, 如果f(t)为实函 数, 且它的波形满足某种对称性, 则在其傅立叶级数中有些项 将不出现, 留下的各项系数表示式也变得比较简单。 周期信 号的对称关系主要有两种: 一种是整个周期相对于纵坐标轴的 对称关系, 这取决于周期信号是偶函数还是奇函数, 也就是展 开式中是否含有正弦项或余弦项; 另一种是整个周期前后的对 称关系, 这将决定傅立叶级数展开式中是否含有偶次项或奇次 项。 下面简单说明函数的对称性与傅立叶系数的关系。 (1) 偶函数。 若周期信号f(t)波形相对于纵坐标轴是对称 的, 即满足:
f t a0 An cosn1t jn n1
(3-12)
则对应的振幅频谱An和相位频谱jn称为单边频谱。
【例 3-3】 求图3-4所示周期矩形信号f(t)的单边频谱。
第3章 连续时间系统的频域分析
图 3-4 例3-3图
第3章 连续时间系统的频域分析
解 由f(t)波形可知, f(t)为偶函数, 其傅立叶系数
f t
Fn e jn1t
n
则将此式代入式(3-13), 可得
P 1 T
T / 2 f 2 t dt
若将信号f(t)展开为傅立叶级数, 可得
Fn
1 T
/2
E
e jn1t
dt
E
Sa
n
/ 2
T 2
其中Fn为实数, 因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一起, 如
图3-8所示。
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图 3-7 周期矩形脉冲信号
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图 3-8 图3-7所示周期信号的频谱图
则f(t)可用傅立叶级数表示为
f t a0 a1 cos1t a2 cos21t a3 cos31t b1 sin 1t b2 sin 21t b3 sin 31t
a0 an cos n1t bn sin n1t n1
(3-4)
式中ω1=(2π/T), 称为f(t)的基波频率, nω1称为n次谐波; a0为f(t) 的直流分量, an和bn为各余弦分量和正弦分量的幅度。 式(3-4) 就是三角形式的傅立叶级数。