人教版八年级数学第二学期 第二次段考测试卷含答案

一、选择题
1．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E ，F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．当8EF =时，AEF 的面积是（ ）．
A ．8
B ．16
C ．24
D ．32
2．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，连接BC ′，E 为BC ′的中点，连接CE ,则CE 的最大值为( ).
A ．5
B ．21+
C ．21+
D ．512
+ 3．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（ ）
A 2
B 51
C ．2
D ．422-4．如图，在正方形ABCD 中，点
E ，
F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，CD 的延长线交A
G 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=︒，则BAE ∠的度数为（ ）
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
5．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：
①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552
；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（ ）个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，依此下去，第n 个正方形的面积为（ ）
A ．2n ﹣1
B ．2n ﹣1
C ．2）n
D ．2n
7．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于
F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A ．1
B ．1.3
C ．1.2
D ．1.5
8．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（ ）
A ．53cm
B ．55cm
C ．46cm
D ．45cm
9．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185
．其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=︒，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；②EOB CMB △≌△；③四边形EBFD 是菱形；④23MB =．其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段
DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．
12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
13．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．
14．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
15．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．
17．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．
18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的
点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32
S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．
20．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．
三、解答题
21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．
22．如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由．
23．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
24．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．
（1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32
cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
25．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线
段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =
132，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
26．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
（1）求证：GF GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
27．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；
（3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．
28．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．
（1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =6=BC OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =AED 是直角三角形时，求BC 的长．
29．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，
(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；
(2)如图1，若
DF=3
，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索
1
AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
30．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．
①如图1，求证：AE ＝BF ；
②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；
（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则
CF BF
的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.
【详解】
解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF=8，
∴SAFE=S△A EH=-1
2
×8×8=32.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.
2．B
解析：B
【分析】
取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到
AC ′＝AC ＝2，由三角形的中位线的性质得到EM 12=AC ′＝1，根据勾股定理得到AB ＝22，即可得到结论．
【详解】 取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．
∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2．
∵E 为BC ′的中点，∴EM 12
=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，∴CM 12=
AB 2=，∴CE ＝CM +EM 21=+． 故选B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
取AD 中点O ，连接OE ，得到△ODE ≌△HDG ，得到OE=HG,当OE ⊥AC 时，OE 有最小值，此时△AOE 是等腰直角三角形，OE=AE ，再根据正方形及勾股定理求出OE ，即可得到GH 的长．
【详解】
取AD 中点O ，连接OE ，得到△ODE ≌△HDG ，得到OE=HG,当OE ⊥AC 时，OE 有最小值，此时△AOE 是等腰直角三角形，OE=AE ，
∵AD=AB=4,
∴AO=12
AB=2 在Rt △AOE 中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4
解得2
∴GH 2
故选A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质,根据题意确定E 点的位置是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据已知条件先证明△ABE ≌△ADG ，得到AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，得到EAF GAF ∠=∠,根据30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,利用GA AE ⊥得到方程求出x 即可求解．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=︒
∵GA AE ⊥
∴90EAD DAG ∠+∠=︒
又90EAD BAE ∠+∠=︒
∴DAG BAE ∠∠=
∴△ABE ≌△ADG （ASA ）
∴AE=AG ，BE=DG,
∵BE DF EF +=
∴BE DF DG DF EF +=+=
∴EF=GF
∴△AEF ≌△AGF （SSS ）
∴EAF GAF ∠=∠
∵30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,
∴EAF GAF ∠=∠=x+30°
∵GA AE ⊥
∴90EAF GAF ∠+∠=︒
故x+30°+ x+30°=90°
解得x=15°
故选A ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．
5．C
解析：C
【分析】
①由翻折知∠ABE=∠AB'E=90º，再证∠M=∠CB'E=∠B'AD即可；②借助轴对称可知；③利
用计算，勾股定理求B′D，构造方程，求EB，在构造勾股定理求MB′=55
；④由相似
CB'：BM=CE：BE，BM=10
3
，在计算B'M>5；⑤证△BEG≌△B′PG得BE=B′P，再证菱形即
可．
【详解】
①由折叠性质知∠ABE=∠AB'E=90º，
∴∠CB'E+∠AB'D=90º
∵∠D=90º
∴∠B'AD+∠AB'D=90º
∴∠CB'E=∠B'AD，
∵CD∥MB，
∴∠M=∠CB'E=∠B'AD；
②点P在对称轴上，则B'P=BP；
③由翻折，AB=AB'=5，AD=4，
由勾股定理DB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x=B'E，CE=4-x，
在Rt△B′CE中，∠C=90º，
由勾股定理（4-x）2+22=x2，
解得x=5
2
，
∴CE=4-5
2
=
3
2
，
在Rt△ABE中，∠ABE=90º，
AE=
2
2
555
+5=
22
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；
④由BM∥CB′
∴△ECB′∽△EBM，∴CB'：BM=CE：BE，
∴2：BM=3
2
：
5
2
，
∴BM=10
3
，
则B'M=
2
2
1020
+4=
33
⎛⎫
⎪
⎝⎭
>5=CD；
⑤连接BB′，由对称性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，
BE∥B′P，
∴△BEG≌△B′PG，
∴BE=B′P，
∴四边形BPB′E为平行四边形，
又BE=EB′，
所以四边形BPB′E是菱形，
所以PB′=B'E．
故选择：C．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关
键是能够发现△BEG≌△B′PG．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．
【详解】第一个正方形的面积为1=20，
）2=2=21，
第三个正方形的边长为22，
…
第n个正方形的面积为2n﹣1，
故选B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到S n的规律是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=1
2
AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利
用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=1
2 AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由
11
22
ABC
S AB AC BC AP
=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=
12
5
，
AM=1
2
AP=
6
1.2
5
=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键. 8．D
解析：D
【分析】
连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =MN ，即可解决本题．
【详解】
解：如图，连接DE ．
由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，
由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45．
过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ．
连接DE ，交MG 于点I ．
由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°，
∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等），
∴∠NMG ＝∠EDC ．
在△MNG 与△DEC 中，
90NMG EDC MG CD
MGN DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴△MNG ≌△DEC （ASA ）．
∴MN ＝DE ＝45．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明
Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积＝
185
，得出④正确． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，
AG AG AB AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），
∴①正确；
∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，
∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，
在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，
∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2
∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2
解得：x ＝3，
∴BG ＝GF ＝CG ＝3，
∴②正确；
∵CG ＝GF ，
∴∠CFG ＝∠FCG ，
∵∠BGF ＝∠CFG ＋∠FCG ，
又∵∠BGF ＝∠AGB ＋∠AGF ，
∴∠CFG ＋∠FCG ＝∠AGB ＋∠AGF ，
∵∠AGB ＝∠AGF ，∠CFG ＝∠FCG ，
∴∠AGB ＝∠FCG ，
∴AG ∥CF ，
∴③正确；
∵△CFG 和△CEG 中，分别把FG 和GE 看作底边，
则这两个三角形的高相同． ∴35CFG CEG S FG S GE ==， ∵S △GCE ＝
12×3×4＝6， ∴S △CFG ＝35×6＝185
， ∴④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
10．B
解析：B
【分析】
连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得出BO=BC，又FO=FC，从而可得出FB⊥OC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形，故③正确；先在Rt△BCF 中，可求出BC的长，再在Rt△BCM中求出BM的长，从而可知④错误，最后可得到答案．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，
又FO=FC，BF=BF，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，∴①正确；
∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
又∠EBO=∠OBF，OE=OF，
∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确；
∵由①②知△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误，
∴②错误；
∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF，
∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴BC=23，
∴CM=1
2
BC=3，∴BM=3，故④错误．
综上可知其中正确结论的个数是2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．22
【解析】
分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以
AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明
CE=1
2
（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得
到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，
∴CE=1
2
（AC+CP），
∴OC=2CE=
2（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=2
×（2+1）=
32
2
，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=
2
2
×（2+5）=
72
2
，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=72
2
-
32
2
=22．
故答案为22．
点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
12．43或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
；
84=43
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为34；
故答案为3 4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
13．2
【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD，过A点分别作DC 和BC的垂线，垂足分别为F和E，通过证明△ADF≌△ABC来证明四边形ABCD为菱形，从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.
【详解】
解：连接AC和BD，其交点为O，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E，
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠ADF=∠ABE ，
∵两纸条宽度相同，
∴AF=AE ，
∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△ABE ，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 为菱形，
∴AC 与BD 相互垂直平分，
∴BD=2224
2AB AO -=
故本题答案为：42
【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
14．37
【分析】
如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．证明BE=DT ，BD=DW ，把问题转化为求DT+DW 的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB 到T ，使得BT=DE ，连接DT ，作点B 关于直线AC 的对称点W ，连接TW ，DW ，过点W 作WK ⊥BC 交BC 的延长线于K ．
∵△ABC ，△DEF 都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE ∥TC ，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT 是平行四边形，
∴BE=DT ，
∴BD+BE=BD+AD ，
∵B ，W 关于直线AC 对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW ，
∴∠WCK=60°，
∵WK ⊥CK ，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=12CW=32，2
， ∴TK=1+3+32=112
，
∴= ∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW ，
∴
∴BD+BE ，
．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 15．6
【分析】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到 AB ∥CD ，推出PE=12
PD ，由此得到当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，利用∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE 的最小值=
12AB=3，得到2PB+ PD 的最小值等于6.
【详解】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠EDC=∠DAB ＝30°，
∴PE=12PD ， ∵2PB+ PD=2（PB+
12PD ）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，
∵∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE 的最小值=12
AB=3， ∴2PB+ PD 的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD 转化为三点共线的形式是解题的关键.
16．1或7．
【分析】
存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等
【详解】
设点P 的运动时间为t 秒，
当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，
此时有ABP DCE ∆∆≌，
∴BP CE =，即22t =，解得1t =；
当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，
∵4AB =，6AD =，
∴6BC =，4CD =，
∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，
∴162AP t =-，
此时有ABP CDE ∆∆≌，
∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；
综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.
故答案为：1或7．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可
17．6
【分析】
先证明△AEB≌△FEB≌△DEF，从而可知S△ABE =1
3
S△DAB，即可求得△ABE的面积．
【详解】
解：由折叠的性质可知：△AEB≌△FEB ∴∠EFB=∠EAB=90°
∵ABCD为矩形
∴DF=FB
∴EF垂直平分DB
∴ED=EB
在△DEF和△BEF中
DF=BF EF=EF ED=EB
∴△DEF≌△BEF
∴△AEB≌△FEB≌△DEF
∴
1
366
6
AEB FEB DEF ABCD
S S S S
∆∆∆
====⨯=
矩形
．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB≌△FEB≌△DEF是解题的关键．
18．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到
∠EBG=1
2
∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则
DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用
相似比得到
4
3
DE AF
DF AB
==，而
6
2
3
AB
AG
==，所以
AB DE
AG DF
≠，所以△DEF与△ABG不相
似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝1
2
∠CBF+
1
2
∠ABF＝
1
2
∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt △ABF 中，AF ＝22BF AB -＝22106-＝8，
∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，
设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，
在Rt △GFH 中，
∵GH 2+HF 2＝GF 2，
∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，
∴GF ＝5，
∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；
∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，
∴∠BFE ＝∠C ＝90°，
∴∠EFD +∠AFB ＝90°，
而∠AFB +∠ABF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EFD ，
∴△ABF ∽△DFE ，
∴
AB DF ＝AF DE
， ∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43
， 而AB AG ＝63
＝2， ∴AB AG ≠DE DF ， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误．
∵S △ABG ＝
12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32
S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
19．8或3
【分析】
根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．
【详解】
解：①当AE和DF相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF=BC＋EF
∴2AB=11＋5
解得：AB=8；
②当AE和DF不相交时，如下图所示
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，
∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD
∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD
∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC
∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF
∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF
∴BE=AB，CF=CD
∴BE=AB= CD= CF
∵BE＋CF＋EF =BC
∴2AB＋5=11
解得：AB=3
综上所述：AB=8或3
故答案为：8或3．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．
20．25﹣2
【分析】
连接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2.
【详解】
解：如图，连接AF，CF，AC，
∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，
∴AC＝25，AF＝2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC﹣AF，
∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2，
故答案为：25﹣2．
【点睛】
此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.
三、解答题
21．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝
2DF或|AF－CF|2
【分析】
（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；
（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得
△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，
∠BEA=∠ABE=1
2
（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰
直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出
CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰
直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得
CF=HA ，即可得出；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得
∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS
证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；
③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直
角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出
；
④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得
∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，
，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出DF ．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=CB ，∠BCD=90°，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴CB ，
当点E 、F 与点B 重合时，则CF ，
故答案为：CF ；
（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
设BC 交DF 于P ，
∵BF ⊥DE ，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB ，
∴∠CDP=∠FBP ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
连接BE ，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE ，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，
∴2CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
∵∠FPD=∠BPC ，
∴∠FDP=∠PBC ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴DE=FG ，
∴2CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：
由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ），
∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴2，DH=DF ，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC ，
在△HDA 和△FDC 中，
DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△HDA ≌△FDC （SAS ），
∴CF=HA ， 2，即2DF ；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：
设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，
∴∠DCN=2α，
∴∠NCB=90°-2α，
∵CN=CD=CB ，
∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，
∴△BFN 是等腰直角三角形，
∴BF=NF ，
在△CNF 和△CBF 中，
CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△CNF ≌△CBF （SSS ），
∴∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，
∴2，DF=DH ，
∵∠ADC=∠HDE=90°，
∴∠ADF=∠CDH ，
在△ADF 和△CDH 中，
AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADF ≌△CDH （SAS ），
∴CH=AF ，
∴FH=CH+CF=AF+CF ，。