江苏省丹阳高级中学高一数学必修2第1章立体几何初步教

第1章 立体几何初步 第十一课时 1.2.3 直线与平面的位置关系(3)
【教学目标】
1.理解垂线段,斜线段,射影的概念；
2.了解直线与平面所成的角；
3.进一步理解“线线垂直” “线面垂直”的等价转换思想。

【教学重点】
直线和平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用。

【教学难点】
直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用时定理成立条件的构建。

【过程方法】
通过探究、思考，运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题，使学生进一步理解解决立体几何问题的基本指导思想，即创造条件将空间的问题转化为平面的问题来解决。

【教学过程】 一、复习引入
1．直线与平面的位置关系；
2．直线与平面平行的判定与性质； 3．直线与平面垂直的判定与性质；
4．观察长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,判断直线A 1B ，A 1C ，A 1D 与平面ABCD 的位置关系。

二、讲授新课
1．斜线、斜足、斜线段
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

斜线与这个平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

2．射影 过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P 1的直线就是斜线在这个平面内的正投影，简称射影。

3．直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做直线与这个平面所成的角。

规定：一条直线垂直于一个平面，则说它们所成的角为直角；一条直线与平面平行或在平面内，则说它们所成的角是00的角。

三、例题选讲
A B
C D A 1 B 1
D C 1
例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，22AB =。

.
（1）求A 1B 与平面AC 所成的角；
（2）设BD 与AC 的交点为O ，求D 1O 与平面ABCD 所成的角。

例2．如图AB =2a ，AC ⊥α于C ，BD ⊥α于D ，CD = a ，那么直线AB 与平面α所成的角是多少度?
例3．如图，已知AC ，AB 分别是平面α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，α⊂a ，a ⊥BC 。

求证：a ⊥AB 。

例4．如图，已知∠BAC 在平面α内，α∉P ，∠PAB=∠PAC 。

求证：点P
∠BAC 的平分线上。

四、课堂练习
1．课本书P37练习1、
2、3、4；
2．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与面对角线BD 垂直，你能说出这个结论的理由吗？ 3．已知点O 是△ABC 三条高的交点，PO ⊥面ABC ，连A 、O 并延长AO 与BC 相交，试说明PA ⊥BC 。

B A
C
D A 1
B 1
D 1
C 1
O
4．点P 在△ABC 内的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，求证O 是△ABC 的垂心。

【布置作业】
1. 在长方体1111ABCD A BC D －中，线段11,,,DB DC DC DB 中，长度等于D 到平面11BCC B 距离的是 。

2. 平面α的斜线与α所成的角是0
30，则它和α内所有不过斜足的直线所成的角中，最
大的角为 。

3. 设直线l 与平面α所成的角为θ，则θ
4. 如图（1），P A A B C D ⊥所在的平面，则当DC ⊥ 时，PD DC ⊥。

5. 如图（2），在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11
AC 的中点。

（1）画出1BD 在平面1111A B C D 上的射影 ；
（2）画出1BD 在平面11ADD A 上的射影 ；（3）画出E 点在平面1BC 上的射影 。

6. 若平面外的一条直线上的两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系 为 。

7. 已知A,B 两点到平面α的距离分别为41，
，AB 与α所成的角为060，则线段AB 在α上的射影长为 。

8. （1）两条异面直线,a b 在同一平面β上的射影可能有 种情况， 分别是 ；
（2）两条相交直线,a b 在同一平面β上的射影可能有 种情况， 分别是 。

9. ,a b 是直线，α是平面，下列判断正确的是 。

（1）α平行于α内无数条直线，则a α； （2）,,a b b α⊥⊥则a α； （3）,,a b αα⊥则a b ⊥；
B
A C D A 1
B 1
D 1 C 1 O B
A B C D P
(1)
(2) 1
α
β
（4）若,,a ααβ则a β。

10. 下列结论中，不正确的是 。

（1）;a b b a αα⎧⇒⊥⎨
⊥⎩ （2）;a a b b α
α⊥⎧⇒⎨
⊥⎩ （3）;a a b b αα
⊥⎧⇒⊥⎨⎩ （4）,a b α⊥与α不垂直⇒a 与b 可能平行。

11. 如图，已知：,l EA αβα=⊥于A ，EB β⊥于B ，,a a AB β⊂⊥。

求证：.a l
a A
B
E
l。