2015年高考数学(理)试题(重庆题)含答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工类）
数学试题卷（理工农医类）共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；
2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

特别提醒：
（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（
）（A）A＝B （B）A B =∅∩（C）A B
Ü（D）B A Ü（2）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝（
）（A）－1（B）0（C）1（D）6
（3）重庆市2013年各月的平均气温（ºC）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是（
）（A）19（B）20
（C）21.5（D）23（4）“1x >”是“1log (2)0x +<的”（
）
（A）充要条件
（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）（A）13π+（2）23π+（3）123π+（4）223
π+（6）若非零向量a，b
满足a =
，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（
）（A）4π（B）2π（C）34π
（D）π
（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可
填入的条件是（）（A）3s ≤（B）5s ≤（C）11
12s ≤（D）2524
s ≤（8）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C：224210x y x y +--+=的对称轴，过点A（-4，a ）作圆
C 的一条切线，切点为B，则AB ＝（
）（A）2
（B）（C）6
（D）（9）若tan 2tan 5πα=，则3cos(10sin()5παπα--＝（）
（A）1（B）2（C）3（D）410、设双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的右焦点为F，右顶点为A，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B、C 两点，过B、C 分别作AC、AB 的垂线，两垂线交于点D。

若D 到直线BC
的距离小于a +
，则该
双曲线的渐近线斜率的取值范围是（
）（A）(1,0)(0,1)
-∪（B）(,1)(1,)-∞-+∞∪
（C）∪（D）(,)
-∞∞∪二、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应的位置上。

（11）设复数(a,b R)a bi +∈()()a bi a bi +-＝（12）35(
x 的展开式中8x 的系数是（用数字作答）
（13）在△ABC ，A 的角平分线，则AC＝
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

（14）如题（14）图，圆O 的弦AB，CD 相交于点E，过点A 作圆O 的切线与DC
的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE：ED＝2：1，则BE＝
（15）已知直线l 的参数方程为11x t y t =-+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为
235cos 24(0,)44
ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为（16）若函数()1f x x x a =++-的最小值为5，则实数a ＝。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
端午节吃粽子是我国的传统习俗。

设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设x 表示取到的豆沙粽个数，求x 的分布列与数学期望。

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数2()sin()sin 3cos 2f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调性。

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
如题（19）图，三菱锥P－ABC 中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝
2
π，D，E 分别为线段AB，BC 上的点，BC 上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB＝2。

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A－PD－C 的余弦值。

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）
设函数23()()x x ax f x a R e
+=∈。

（Ⅰ）若()f x 在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[]3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如题（21）图，椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆于P、Q 两点，且1PQ PF ⊥。

（Ⅰ）若122PF =+，222PF =-，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若1PF PQ =，求椭圆的离心率e。

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
在数列{}n a 中，13a =，2
110n n n n a a a a λμ++++=()n N +∈。

（Ⅰ）若0,2λμ==-，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若0001(,2),1k N k λμ+=∈=-≥，证明:00011212k a +<+<+++2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学（理工类）参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分
（1）D (2)B (3)B
(4)B (5)A （6）D (7)C (8)C
(9)C (10)A 二、填空题：每小题5分，满分25分
（11）3(12)52
(14)2(15)()2,π（16）-6或4
三、解答题：满分75分
（17）（本题12份）
解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典型的概率计算公式有
1111235().3410
C C C P A C ==（Ⅱ）X 的所有可能值为0，1,2，且
3
78(0),31510C
P X C ===12728(1),31510
C C P X C ===21128(2),310C C P X C ===综上知，X
的分布列为故7713()0121515155
E X =⨯
+⨯+⨯=⨯（个）。

（18）（本题13分）解：
（Ⅰ）23()sin()sin cos sin (1cos 2)22
f x x x x x x x π=--=-
+1sin 22sin(2),22232
x x x π=--=--因此()f x 的最小周期为π
，最大值为
22（Ⅱ）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，02,3x ππ≤-≤从而当502,32612
x x ππππ≤-≤≤≤即时，()f x 单调递增，当02,3x ππ≤-
≤即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减。

（19）（本题13分）
（Ⅰ）证明：由PC ⊥平面ABC，DE ⊂平面ABC，故PC ⊥DE.由
得CDE ∆为等腰直角三角形，故CD ⊥DE.
由PC ⋂CD=C,DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线，故DE ⊥平面PCD。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CDE ∆为等腰直角三角形，4
DCE π∠=
.如答（19）图，过D 作DF 垂直CE 于F，已知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2.
由2ACB π∠=
得DF∥AC,23DF FB AC BC ==,故AC=32DF=32以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的方向建立空间直角坐标系，则31(0,0,0),(0,0,3),(,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,3),(1,0)22
C P A E
D ED DP DA =-=--=- 设平面PAD 的法向量为1111(,,)
n x y z =由110,0,n DP n DA == 得1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，故可取1(2,1,1)n =由（Ⅰ）可知DE ⊥平面PCD，故平面PCD 的法向量2n 可取为DE ,即2(1,1,0)n =-.
从而法向量1n ，2n
的夹角的余弦值为121212cos ,6
n n n n n n <>= 故所求的二面角A-PD-C
的余弦值为6
.（20）（本题12分）
解：（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x x
x a e x ax e x a x a f x e e +-+-+-+==因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =.
当0a =时，()f x =22336,'(),x x x x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e
==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e
-=-化简得30.x ey -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'().x
x a x a f x e -+-+=令2
()3(6),g x x a x a =-+-+由()0g x =
解得1266,66
a a x x ---+==当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；
当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；
当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；
由()f x 在[)3,+∞
上为减函数，知263,6
a x -+=≤解得9,2a ≥-
故a 的取值范围为9,.2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
（21）（本题12分）
解：
（Ⅰ）由椭圆的定义，122(2(2=2a PF PF a =+=++-，故设椭圆的半焦距为c，又已知12,
PF PF ⊥
因此1222c F F ==
,即c =
从而1.
b ==故所求椭圆的标准方程为2
2 1.4
x y +=（Ⅱ）解法一：如答（21）图，设点00(,)P x y 在椭圆上，
且12,PF PF ⊥则
2222
22200
1,,00x y x y c a b
+=+=
求得200.b x y c
=±=±由12PF PQ PF =>得00,x >
从而
42212222
() =2((b PF c c c
a b a =++-+由椭圆的定义，12122,2PF PF a QF QF a +=+=.从而由122,PF PQ PF QF ==+有1142.QF a PF =-又由121,,PF PF PF PQ ⊥=
知11,QF =
因此1(24,PF a +=
即(24,a a ++=
于是(24,++=
解得e =解法二：如答（21）图，由椭圆的定义，12122,2PF PF a QF QF a +=+=，从而由122,PF PQ PF QF ==+有1142.QF a PF =-又由11,,PF PQ PF PQ ⊥=
知11,QF =
因此1142a PF -=
得12(2,PF a =-
从而21222(21),PF a PF a a a =-=--=由12,PF PF ⊥知222
21212(2),PF PF F F c +==因此
c e a ==。

（22）（本题12分）
解：（Ⅰ）由21=0=22().n n n a a a n N λμ++-=∈，，有若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意,0.
n n N a +∈≠从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列。

故11132.
n n n a a q --== （Ⅱ）由01,1k λμ=
=-，数列{}n a 的递推关系式变为110210n n n a a a a n k +++-=，变形为10
21(().n n a a a n N n k +++=∈由上式及130a =>，归纳可得12130.n n a a a a +=>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅>因为100000
21122211100,111n n n n n a n a k k n a a k k k a a a k k +-+===-++++ 所以对01,2,,n k =⋅⋅⋅求和得0101000
12110000102000000()()11111 =()11111111 >2+()231313131k k k k k a a a a a a a k k k k a k a k a k k k k k ++=+-+⋅⋅⋅+--+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=+++++
另一方面，由上已证的不等式知00000
1211100001020000002,11111()11111111 <2+()221212121k k k k k a a a a a a k k k k a k a k a k k k k k ++>>⋅⋅⋅>>>=-+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=+++++
得综上，0100112+2.3121
k a k k +<<+++。